A359 – Quod abundat non vitiat
Par convention, le degré d’abondance d(n) d’un entier naturel n > 0 est égal au rapport σ(n) / n où σ(n) désigne la somme des diviseurs de n, y compris 1 et n.
Q₁ Déterminez les plus petits entiers dont les degrés d’abondance sont respectivement ≥ 2, 3, 4 et 5. Justifiez votre réponse.
Q₂ Un entier k > 1 étant fixé à l’avance, prouvez qu’on sait toujours trouver au moins un entier (pas nécessairement le plus petit) tel que son degré d’abondance est au moins égal à k.
Q₃ Un entier n > 1 étant fixé à l’avance, prouvez qu’on sait toujours trouver une suite S strictement croissante de n entiers positifs telle que la suite S’ constituée par la somme des diviseurs de chacun des n termes de S est strictement décroissante.
Solution proposée par Daniel Collignon
Q₁ :
A l'aide de https://oeis.org/A000203/b000203.txt et d'un tableur on détermine les premières valeurs pour k = 2, 3 et 4
6, 120, 27720
On trouve la valeur pour k = 5, 122522400, dans https://oeis.org/A023199
Q₂ :
Si n = produit(i=1..p, p_i^a_i) avec a_i > 0,
alors sigma(n) = produit(i=1..p, sigma(p_i^a_i)) (propriété de fonction multiplicative) Or sigma(p^a) = 1 + p +... + p^a = (p^(a+1) - 1)/(p - 1).
D'où sigma(p^a)/p^a = (p^(a+1) - 1)/p^a*(p - 1) ou encore sigma(p^a)/p^a = 1 + 1/p + (p^(a-1) - 1)/p^a*(p - 1) >= 1 + 1/p sigma(n)/n est également multiplicative
D'où sigma(n)/n >= produit(i=1..p, 1 + 1/p_i) > 1+somme(i=1..p, 1/p_i).
En utilisant le fait que somme(i=1..p, 1/p_i) tend vers +oo, cela répond donc à la question en choisissant p suffisamment grand tel que somme(i=1..p, 1/p_i) >= k-1.
