D10179. Th´ eor` eme de la pizza
Une pizza est un disque circulaire, agr´ement´e de garnitures diverses (pˆate d’anchois, coulis de tomate, mozzarella, . . .`a votre goˆut), ´egalement de formes circulaires mais ces cercles sont de centres diff´erents. Il existe cependant un pointP qui est int´erieur `a chacun de ces disques.
Montrer que 2n coups de couteau rectilignes passant par P permettent de donner `anconvives des parts ´egales de la pizza et de chacune des garnitures.
Solution
Lemme : si deux cordes orthogonales AB et CD d’un cercle de rayon r se coupent en un point int´erieurP, l’expressionP A2+P B2+P C2+P D2 = 4r2, quel que soitP.
En notantI etJ les milieux deAB etCD, on a P A2+P B2 = 2P I2+ 2IA2 = 2P I2+ 2r2−2OI2, et de mˆeme P C2+P D2 = 2P J2+ 2r2−2OJ2,
d’o`u le lemme carP IOJ est un rectangle, P I=OJ,P J =OI.
Si un tel couple de cordes orthogonales tourne autour deP d’un angledθ, il balaye (en 4 secteurs) une aire 2r2dθproportionnelle `a cet angle. En tournant d’un angleπ/2n, il balaye la fraction 1/nde l’aire du cercle.
Ainsi, 2n coups de couteau espac´es de π/2n autour de P ´equivalent `a n couples de cordes orthogonales et d´ecoupent dans chacun des cercles (pizza et garnitures) 4n secteurs partageant ´equitablement l’ensemble entre les n convives.
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