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G1916. Entrainement au basket Solution de Kee-Wai Lau
Supposons que Zig réussit 𝑝 lancers sur les 𝑞 premiers lancers et par la suite sa probabilité de réussir le kième lancer (𝑘 > 𝑞) est égale au pourcentage de réussite des (𝑘 − 1) lancers précédents. Pour 𝑛 > 𝑞 et 𝑛 + 𝑝 − 𝑞 ≥ 𝑚 ≥ 𝑝 soit 𝑃(𝑛, 𝑚) la probabilité que Zig réussisse exactement 𝑚 lancers à l’issue de 𝑛.
Soit 𝑃(𝑞, 𝑝) = 1. On a
𝑃(𝑛, 𝑚) = 𝑚 − 1
𝑛 − 1 𝑃(𝑛 − 1, 𝑚 − 1) + (1 − 𝑚
𝑛 − 1) 𝑃(𝑛 − 1, 𝑚).
Par induction sur 𝑛 + 𝑚, nous obtenons que
𝑃(𝑛, 𝑚) = (𝑚−1)!(𝑛−𝑚−1)!(𝑞−1)!(𝑛−𝑞)!
(𝑝−1)!(𝑞−𝑝−1)!(𝑛−1)!(𝑚−𝑝)!(𝑛+𝑝−𝑞−𝑚)!. (1)
Pour 𝑛 > 𝑞, soit 𝐸(𝑛) l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue de 𝑛 essais. Soit 𝐸(𝑞) = 𝑝. Nous montrons que
𝐸(𝑛) = 𝑝𝑛
𝑞. (2) Puisque 𝐸(𝑛) = ∑𝑛+𝑝−𝑞𝑚=𝑝 𝑚 𝑃(𝑛, 𝑚), donc par (1), nous voyons que (2) est
équivalente à
∑ (𝑚
𝑝 ) (
𝑛 − 𝑚 − 1 𝑞 − 𝑝 − 1)
𝑛+𝑝−𝑞
𝑚=𝑝 = (𝑛
𝑞). (3)
Clairement, (3) est vrai pour 𝑛 = 𝑞 et 𝑞 + 1. Supposons que (3) est vrai pour 𝑛 = 𝑡 ≥ 𝑞 + 1. Par hypothèse d’induction, on a
2
∑ (𝑚
𝑝 ) ( 𝑡 − 𝑚 𝑞 − 𝑝 − 1)
𝑡+𝑝−𝑞+1
𝑚=𝑝
= ∑ (𝑚
𝑝 ) (
𝑡 − 𝑚 − 1 𝑞 − 𝑝 − 1)
𝑡+𝑝−𝑞+1
𝑚=𝑝
+ ∑ (𝑚
𝑝 ) (
𝑡 − 𝑚 − 1 𝑞 − 𝑝 − 2)
𝑡+𝑝−𝑞+1
𝑚=𝑝
= ∑ (𝑚 𝑝 ) (
𝑡 − 𝑚 − 1 𝑞 − 𝑝 − 1)
𝑡+𝑝−𝑞
𝑚=𝑝
+ ∑ (𝑚
𝑝 ) (
𝑡 − 𝑚 − 1 (𝑞 − 1) − 𝑝 − 1)
𝑡+𝑝−(𝑞−1)
𝑚=𝑝
= (𝑡 𝑞) + (
𝑡 𝑞 − 1)
= (𝑡 + 1 𝑞 ).
Ainsi (3) est vrai pour 𝑛 = 𝑡 + 1 et donc pour tout 𝑛 > 𝑞.
En mettant 𝑝 = 3, 𝑞 = 4 dans (1) et (2), nous obtenons
∑ 𝑃(10, 𝑚) = 7
12
9𝑚=8 comme réponse à 𝑄1, 3(𝑘−1)(𝑘−2)
(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3) comme réponse à 𝑄2, et 𝐸(100) = 75 comme réponse à 𝑄3. Pour 𝑝 et 𝑞 en général, la réponse à 𝑄4
est 𝑝𝑛
𝑞 par (2).
