Zig pratique le basket depuis de longues années. Pour s’entrainer il effectue des lancers libres avec un panier de basket sur pied . Au cours de ses quatre premiers essais, il réussit trois d’entre eux.
Par la suite sa probabilité de réussir le kième lancer (k > 4) est égale au pourcentage de réussite des (k – 1) lancers précédents. Ainsi la probabilité de réussir le 5ème lancer est égale à 3/4 et s’il le réussit, la probabilité de réussir le 6ème lancer est égale à 4/5 et celle d’échouer à 1/5.
Q₁ Déterminer la probabilité que Zig réussisse au moins huit lancers à l’issue de dix lancers (incluant les quatre premiers).
Q₂ Déterminer la probabilité que Zig réussisse exactement k (entier ≥ 3) lancers à l’issue de n (entier > 4) lancers (incluant les quatre premiers).
Q₃ Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue de cent essais.
Q₄ Pour les plus courageux : Zig réussit p lancers sur les q premiers lancers et par la suite sa probabilité de réussir le kième lancer (k > q) est égale au pourcentage de réussite des (k – 1) lancers précédents. Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue de n essais (n > q).
Q1 : Pour réussir 8 lancers francs sur 10, Zig peut échouer au cinquième, avec une probabilité égale à : (1/4)(3/5)(4/6)(5/7)(6/8)(7/9)=1/24 ; au sixième, avec une probabilité (3/4)(1/5)(4/6)(5/7)(6/8)(7/9)=1/24, etc... : à chaque fois, on trouve au dénominateur le produit des entiers de 4 à 9 et au numérateur celui des entiers de 3 à 7.
Donc la probabilités de réussir 8 lancers francs sur 10 est 6*(1/24)=1/4.
Par ailleurs la probabilité d’en réussir 9 est (3/4)(4/5)...(7/8)(8/9)=1/3.
La probabilité de réussir au moins 8 lancers francs est donc 1/3+1/4=7/12
Q2 : Il y a (n-4)!/(k-3)!(n-k-1)! façons de répartir k-3 lancers réussis parmi n-4 lancers, et comme ci-dessus, la probabilité de chaque occurence sera un rapport N/D, où
D=(n-1)!/3! et N=(n-k-1)!(k-1)!/2 ; soit P(k, n)=3(k-1)(k-2)/((n-1)(n-2)(n-3))
Q3 : L’espérance est donc E=∑kP(k, n)=3∑k(k-1)(k-2)/(n-1)(n-2)(n-3), les sommations allant de k=3 à n-1. L’identité ∑k(k-1)(k-2)=n(n-1)(n-2)(n-3)/4 se démontre simplement par récurrence : elle est vraie pour n=4, et on passe de n à n+1 en ajoutant n(n-1)(n-2) au premier membre : alors (n-3)/4+1=(n+1)/4 et l’identité est encore vérifiée pour n+1.
Donc E=3n/4. Pour n=100, E=75.
Q4 : Soit En l’espérance du nombre de lancers réussis après n tentatives ; nous avons Eq=p, et si Pk est la probabilité de réussir le kième lancer, Pk+1=Ek/k, et Ek+1=Ek+Pk+1
donc Ek+1/Ek=(k+1)/k, et en multipliant ces égalités de k=q à n-1, En=pn/q.
