Programme de Colle n

Programme de Colle n

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3 - PCSI

(Du 14 Octobre au 08 Novembre 2019)

Une colle de math´ematiques en PCSI comporte obligatoirement une question de cours suivie de un (ou deux) exercice(s) sur les chapitres ci-dessous.

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOM´

ETRIE

• NOMBRES COMPLEXES :

— Construction de C, partie r´eelle, partie imaginaire, somme et produit de nombres complexes, — Le plan complexe associ´e, notion d’affixe,

— Conjugu´e, module, in´egalit´e triangulaire,

• NOMBRES COMPLEXES DE MODULE 1 et TRIGONOM´ETRIE : — Les complexes de module 1, exponentielle eiθ_{, U,}

— Formules d’Euler et de Moivre,

— Application `a la trigonom´etrie (Lin´eariser , polynˆomes trigonom´etriques, calcul de sommes),

• FORME TRIGONOM´ETRIQUE, ARGUMENT : — Forme polaire, argument, propri´et´es de l’argument — Exponentielle d’un complexe.

• R´ESOLUTION D’´EQUATIONS COMPLEXES : — Recherche de la racine carr´ee d’un complexe, — ´Equation du second degr´e,

— Application `a la r´esolution d’un syst`eme somme produit,

• ´EQUATIONS DU TYPE Zn _{= 1 :}

— Racines n-i`emes de l’unit´e, — ´Equations du type Zn _{= z.}

• TRANSFORMATIONS DU PLAN COMPLEXE : — Alignement et orthogonalit´e,

— Translation, Homoth´etie, Rotation plane, Sym´etrie axiale.

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3 - PCSI

(Du 14 Octobre au 08 Novembre 2019)

PRIMITIVES

• PRIMITIVES :

— D´efinition d’une primitives, existence, unicit´e avec condition initiale, fonctions `_{a valeurs dans C,} — Primitives usuelles, primitives de compos´ees usuelles,

— Primitives d’une fonction rationnelle.

• CALCUL D’INT´EGRALES : — D´efinition de l’int´egrale,

— Th´eor`eme fondamentale de l’analyse, propri´et´es de l’int´egrale, — Int´egration par partie, changement de variable

Questions de cours

D´emonstrations exigibles :

Il vous sera demand´e une ou deux formules de primitives ou formes usuelles ET une d´emonstration :

• Propri´et´e du calcul de l’int´egrale (p. 12) : Z b

a

f (t) dt = F (b) − F (a).

• Ensemble des racines n-i`emes de l’unit´e. (p.15) • In´egalit´e triangulaire (avec cas d’´egalit´e) (p.6) • Calcul de n X k=0 cos(kt) et n X k=0 sin(kt). (p.10)

Il peut aussi vous ˆetre demand´e `a tout moment pour v´erifier que vous connaissez bien votre cours de donner n’importe quelle d´efinition ou propri´et´e essentielle du cours.