Terminale S2 DS 1 Septembre 2003
Exercice 1
(4 points)Soit(un)la suite définie pour toutnnaturel par un+1 =u2n+un
1. Démontrer que la suite(un)est croissante.
2. Démontrer que si la suite(un)converge, sa limite est forcément 0.
3.Démontrer que siu20+u0>0,alors la suite(un)diverge.
4. Démontrer par récurrence que siu20+u0<0,alors, pour toutndeNon a−1< un<0.
Conclure alors sur la convergence de la suite (un).
Exercice 2
(0.5 point par réponse juste,−0.25par réponse fausse)Pour chacune de deux suites définies dans la première ligne du tableau ci-dessous, dire laquelle ou lesquelles des propositions sont vraies.
1).n≥1;un=(−1)n
n 2).n≥1;un= sin(n)
n+ sin(n) a).(un)diverge car(−1)n diverge a). (un)converge vers0 b).(un)est bornée b). Pour toutn≥1, un≥0 c).(un)converge vers0 c). Pour tout n≥1,|un|≤ 1
n+ 1 d).(un)est croissante d). (un)est bornée
Exercice 3
(2 points)La suite(un)définie pour tout entiet naturelnnon nul parun= 1 n2£
1 + tan2(n)¤ converge-t-elle, et si oui, vers quelle limite.
Exercice 4
(3 points)Après avoir déterminé l’ensemble de dérivabilité des fonctionsf etg, calculer leur dérivée.
f(x) =
µ1 + cos(x) 3 + cos(x)
¶
etg(x) = tan(x2−1)
Exercice 5
(7 points) Soit la fonctionf(x) = x−2√x2+ 4
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f
2. Etudier la limite def(x)en+∞et en −∞.En déduire des asymptotes à la courbe def.
3. Calculer la dérivée def et montrer qu’elle peut s’écriref0(x) =2√
x2+ 4 (x+ 2) (x2+ 4)2
4. En déduire les variations de la fonctionf et donner son tableau de variations sur l’ensemble de définition.
5. Déterminer l’équation de la tangente(T1)au point de la courbe d’abscisse 0. Tracer cette droite.
6. Déterminer l’équation de la tangente(T2)au point d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.
7. Tracer dans un même repère orthonormal, pourx∈[−5; +5],la courbe def ainsi que les tangentes (T1)et(T2)
