DS 03

2ndes 1-2-3-4-5- DEVOIR SURVEILLE de MATHEMATIQUES 23 janvier 2009 NOM :……… Calculatrice autorisée

La présentation, l’orthographe et la rédaction seront prises en compte dans l’attribution des points.

-Barème indicatif- exercice 1:2,5points ; exercice 2 :4,5points; exercice 3 :4points ; exercice 4 :5points ; exercice 5 :4points.

Exercice 1

Dans le plan muni d’un repère

on considère les points B(-1 ;1) et D(2 ;7).

1. Soit un point M de coordonnées (x ;y) . Ecrire les coordonnées des vecteurs

et

. 2. A quelle condition sur

et

, le point M appartient-il à la droite (BD) ? 3. Exprimer alors cette condition à l’aide des coordonnées des vecteurs

et

. 4. En déduire l’équation réduite de la droite (BD).

Exercice 2

ABC est un triangle tel que AB=3, AC=4, BC=4,5 (unité 1cm). Les points E,F,G sont définis par :

AE 3AC

=8

;

=4

;

= +3

. 1. Faire une figure.

2. Exprimer le vecteur

en fonction des vecteurs

et

. 3. Montrer que

3 4

= − +

.

4. Que peut-on en déduire pour les droites (BE) et (FG) ? Justifier.

Exercice 3

Pour le cross du lycée, Roberto et Simone vont à la boulangerie acheter des viennoiseries . Roberto dépense 40 € pour 10 croissants et 20 chaussons aux pommes.

Simone achète 15 croissants et 50 chaussons aux pommes pour un montant de 90 €.

1. Si x désigne le prix d’un croissant en euros et y celui d’un chausson aux pommes en euros, montrer que le système

x 2y 4

(S) 3x 10y 18 + =



+ =



modélise la situation.

2. Résoudre le système (S).

3. Donner le prix en euros d’un croissant ainsi que celui d’un chausson aux pommes.

4. Dans le plan muni d’un repère donner l’interprétation géométrique du système (S) et vérifier

graphiquement le résultat de la question 3.

NOM :……….

Exercice 4

ABCD un carré de côté 1,

DCF est un triangle équilatéral en dehors du carré ABCD , BEC est un triangle équilatéral à l’intérieur du carré ABCD, I est le milieu de [DC] et J est le milieu de [BC].

1. Compléter la figure ci-contre.

2. Calculer la hauteur du triangle équilatéral DCF.

3. Quelle conjecture peut-on formuler pour les points A, E, F ? 4. Justifier que (A ;

) est un repère orthonormé du plan.

Donner les coordonnées de A, B, C, D dans ce repère.

5. Déterminer en le justifiant les coordonnées de I puis de F.

Donner les coordonnées de J puis de E.

6. La conjecture formulée à la question 3 est-elle vraie ? Justifier.

Exercice 5

Le plan est muni d’un repère orthogonal

, unités 1cm en abscisses et 1,5 cm en ordonnées.

1. a. Tracer la droite d

d’équation y =

−3 +

.

b. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite d

.

c. Déterminer en justifiant les coordonnées du point A, intersection de d

avec l’axe des abscisses . d. Déterminer en justifiant les coordonnées du point B , intersection de d

avec l’axe des ordonnées.

2. Déterminer l’équation réduite de la droite d

parallèle à d

et passant par le point C(2 ;3) ; Tracer d

. 3. a. Construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme et déterminer ses coordonnées.

b. Déterminer une équation de la droite (BD).

BONUS Dans l’unité Celsius, l’eau se transforme en glace à 0°C et bout à 100°C. Dans l’unité Fahrenheit, l’eau bout à 212°F et se transforme en glace à 32°F. Etablir la relation de type affine entre les températures en degrés Celsius et les températures en degrés Fahrenheit.

A B

C D

Corrigé du DS de Seconde (Merci à Mme Khaletsky)

Exercice 1.

Dans le plan muni d’un repère (O;i, j) on considère les points B(-1 ;1) et D(2 ;7).

1. Soit M de coordonnées (x ;y) . Les coordonnées de BM

sont (x+1,y-1) et celles de BD

sont (3,6).

2. Le point M appartient à la droite (BD) à condition que les vecteurs BM

et BD

soient colinéaires.

3. Cette condition s’écrit à l’aide des coordonnées des vecteurs BM

et BD

grâce au déterminant de ces

vecteurs : ^{det( , ) 0 1 3 0 6( 1) ( 1) 3 0 6 3 9 0}

1 6

BM BD BM BD x x y x y

y

⇔ = ⇔ + = ⇔ + − − × = ⇔ − + =

−

րր

4. On en déduit l’équation réduite de la droite (BD) en isolant le y dans l’équation précédente :

6 9

6 3 9 0 3 6 9 2 3

3 3

x− y+ = ⇔ y= x+ ⇔ =y x+ ⇔ =y x+ .

Exercice 2 :

ABC est un triangle tel que AB=3, AC=4, BC=4,5 (unité 1cm). E,F,G

AE 3AC

=8

; 3

BF AC

=4

; 1

AG AC AB

= +3

.

1. D’après la relation de Chasles et les données ci-dessus, on peut écrire : 3

BE=BA+AE= −AB+8AC

2. De même :

3 1

4 3

3 1 2 1

1 1

4 3 3 4

FG FB BA AG AC AB AC AB

AC AB AB AC

= + + = − − + +

−

   

= +  + −  = − +

   

3. On en déduit que les droites (BE) et (FG) sont parallèles ; en effet, on remarque que ²

3BE=FG

ce qui prouve la colinéarité des vecteurs BE

et FG

.

Deux vecteurs colinéaires ont la même direction donc les droites (BE) et (FG) sont parallèles . Exercice 3

1. Si x désigne le prix d’un croissant en euros et y celui d’un chausson aux pommes en euros, La dépense de Roberto s’écrit : 10x+20y=40 soit en divisant par 10 : x+2y=4

La dépense de Simone s’écrit : 15x+50y=90 soit en divisant par 5 : 3x+2y=18 et ainsi le système

x 2y 4

(S) 3x 10y 18 + =



+ =

 modélise la situation.

2. Résolution de (S): dét(S)= 1×10-3×2=4≠0 donc (S) admet un unique couple solution.

Par substitution, par exemple (ici cela s’y prête bien) :

x 2y 4 x 4 2y x 4 2y x 4 2y x 1

(S) 3x 10y 18 3(4 2y) 10y 18 4y 12 18 4y 6 y 1,5

+ = = − = − = − =

    

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

    

+ = − + = + = = =

     (1;1,5) est l’unique solution

de (S)

3. Le prix d’un croissant est 1€ et celui d’un chausson aux pommes est 1,50€ .

4. Dans le plan muni d’un repère le système (S) se traduit par l’étude de la position relative des droites

D1 d’équation 2 4 ¹ 2

x+ y= ⇔ = −y 2x+ et D2 d’équation 3 10 18 ³ 1,8

x+ y= ⇔ = −y 10x+

On vérifie bien que graphiquement que ces droites sont sécantes au point I (1 ;1,5), ce qui correspond

au couple solution du système.

Exercice 4

1. Figure ci-contre

2. Calculons la hauteur du triangle équilatéral DCF :

La médiane [FI] est aussi hauteur aussi le triangle équilatéral DIF est rectangle en I et le théorème de Pythagore donne :

FI²+ID² = FD² soit FI² =1-(1/2)² = 1-1/4=3/4 or FI > 0 donc FI = 3/2.

3. Conjecture : les points A,E,F semblent alignés.

4. (A ; AB, AD) est un repère orthonormé du plan , en effet : A est un point du plan , les vecteurs AB

etAD

sont orthogonaux et 1

AB = AD =

.

On lit sans difficulté les coordonnées : A(0,0) - B(1,0) - C(1,1) - D(0,1).

5. I est le milieu du segment [DC], ses coordonnées sont : ^{1 0 1 1 1} 1

2 2 2

I I

x = + = et y = + = , soit I (1/2 ;1).

Pour le point F on décompose :AF=AD+DI+IF Or IF

est colinéaire à AD

, de même sens, de norme 3/2.

Donc

(0 ;

/2) ; avec

(1/2 ;0) et

(0 ;1) on obtient :

(0+1/2+0 ;0+0+

/2) donc

(1/2 ; 1+

/2) d’où F(1/2 ; 1+

/2) puisque A est l’origine du repère considéré.

On a de même: J(1 ;1/2) et E(1-

/2 ;1/2)

6. Prouvons maintenant que les points A,E,F sont bien alignés : On calcule det(

3 1

1 2 2 3 3 1 1 3 1

, ) (1 ) (1 ) 1 0

2 2 2 2 4 4

1 3

2 1 2

AE AF

= − = − × + − × = − − = +

: donc

րր

d’où A,E,F

sont bien alignés .

I

2 3 4 5

-1 -2

2 3

-1

0 1

1

x y

2

0 1

1 y

A B

D C

E

F

I

J

Exercice 5

Le plan est muni d’un repère orthogonal (O;i, j), unités 1cm en abscisses et 1,5 cm en ordonnées 1a. Tracé de la droite d1 d’équation y = 1

3x 1

− + : ordonnée à l’origine 1, coefficient directeur ¹

−3.

1b.

:

v −3

ou mieux pour le tracé

1c.

0 0 0

0

1 1 1

1 1 0 1 3

3 3 3

y y y

y

y x x x x

= = =

  

=

   

⇔ ⇔ ⇔

   

= − + − + = =  =

  

  

d’où A(3,0).

1d. Déterminons en justifiant les coordonnées du point B , intersection de d1 avec l’axe des ordonnées.

Le couple de coordonnées de B est solution du système :

0 0

1 1 1

3

x x

y x y

=

  =

 ⇔

 

= − +  =

 d’où B(0,1).

2. Déterminons l’équation réduite de la droite d2 parallèle à d1 et passant par le point C(2 ;3) ; Deux droites parallèles, non parallèles à l’axe des ordonnées , ont même coefficient directeur.

d1 a pour coefficient directeur ¹

−3, donc d2 a pour équation ¹ y= −3x+p,

et les coordonnées de C(3,2) vérifient cette équation : 3 ¹ 2 3 ^{2 11}

3 p p 3 p 3

= − × + ⇔ = + ⇔ = .

Ainsi ^{1 11}

3 3

y= − x+ est l’équation réduite de d2 ; tracé : on place C et on trace le vecteur 3 (3, 1)v −

d’origine C.

3a. Soit le point D tel que ABCD soit un parallélogramme et déterminons ses coordonnées(x, y).

IL faut BA=CD

; or BA(3, 1)−

et CD x( −2,y−3)

, on résout x− = ⇔ =2 3 x 5 et y− = − ⇔ =3 1 y 2. Ainsi D (5 ;2).

3b. Déterminons une équation de la droite (BD) : B et D n’ont pas même abscisse donc la droite (BD) admet une équation réduite de la forme y=mx+p avec ^{2 1 1}

5 0 5

D B

D B

y y

m x x

− −

= = =

− − ; et B étant sur l’axe des ordonnées, 1 est l’ordonnée à l’origine. L’équation réduite de (BD) est ¹ 1

y=5x+

D₁

D₂

y=(-1/3)x+1

y=(-1/3)x+(11/3)

y=(1/5)x+1

y=-3x+9

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

2 3 4 5 6 7 8 9

-1

-2

-3

0 1

1 y

A B

C

D I