DS du 18-01-10

(1)

Lundi 18 janvier 2010.

Mathématiques. 1S.

4 heures.

Calculatrice autorisée.

EXERCICE I.

Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on dispose d’une feuille de carton carrée de 30 cm de côté.

On découpe deux bandes identiques de x cm de largeur (voir figure), on replie le patron obtenu suivant les pointillés et on colle les arêtes.

1. Donner les valeurs possibles de x et exprimer, en fonction de x, les trois dimensions de la boîte.

2. Justifier que le volume V de la boîte obtenue est V(x) = 2x³ – 60x² + 450x.

3. Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume V est maximum.

Quelles sont alors les dimensions et le volume de la boîte ?

4. Montrer qu’il existe deux valeurs de x dont vous trouverez des valeurs approchées à 10⁻²près, pour lesquelles V = 0,5 l.

EXERCICE II.

Le but de l’exercice est d’obtenir une construction géométrique des tangentes aux courbes représentatives des fonctions carrée et inverse.

Vous compléterez les figures données en annexe.

I. Pour la parabole d’équation y = x²

(P) est la parabole d’équation y = x² dans un repère orthogonal (O ; i^→ , j^→).

A est un point quelconque de (P) d’abscisse a (a ≠ 0) Pour construire la tangente en A à (P) :

− on construit le projeté orthogonal H de A sur l’axe des ordonnées,

− on construit le symétrique I de H par rapport à O,

− la droite (IA) est alors la tangente à (P) en A.

1. Trouver l’équation de la droite (IA).

2. Trouver l’équation de la tangente (T) à (P) au point A et conclure.

3. Construire, par cette méthode, les tangentes aux points d’abscisses 1 et −3/2 .

II. Pour l’hyperbole d’équation y = 1/x.

(H) est l’hyperbole d’équation y = 1/x dans un repère orthogonal (O ; i^→ ; j^→).

M est un point quelconque de (H) d’abscisse a (a ≠ 0) 1. Trouver une équation de la tangente à (H) en M.

2. Déterminer les coordonnées du point A d’intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.

3. Illustrer les questions précédentes sur la figure.

4. En déduire une construction géométrique (avec règle et compas … pas de calculs) de la tangente à (H) en un point.

5. Construire, par cette méthode, les tangentes aux points d’abscisses 1 et −2

Bonus : Qu’en est−il de l’intersection des tangentes avec l’axe des ordonnées ? Proposer alors une autre construction.

(2)

EXERCICE III.

Pour chacune des questions, donner le numéro de la question et indiquer la bonne réponse par a, b ou c.

Aucune justification n’est demandée.

1. f est définie sur IR\{6} par f(x) = 1

x - 6 .Alors …

a. lim_x→6 f(x) = + ∞ b. lim_x→6 f(x) = 0 c. limx→6 et x>6 f(x) = +∞

2. f est définie sur IR\{−3} par f(x) = 1

(x + 3)² . Alors C_f a pour asymptote la droite d’équation …

a. x = −3 b. y = 1 c. y = −3

x - 1 . Alors … a. lim

x→+∞ f(x) = 1 b. lim

x→+∞ f(x) = 0 c. lim

x→+∞ f(x) = −1 4. f est définie sur IR\{4} par f(x) = 1

x - 4 . Alors C_f a pour asymptote horizontale la droite d’équation …

a. y = 4 b. y = 0 c. y = 1

5. f est définie sur IR\{−2} par f(x) = −3x + 4 + 1

(x + 2)² . Alors C_f a pour asymptote en +∞, la droite d’équation…

a. y = −3x + 4 b. y = 0 c. y = 1

(x + 2)²

6. Utiliser le théorème sur la limite d’une somme pour étudier la limite en –∞ de x → x² − x conduit à … a. lim_x→-∞ (x² − x) = 0 b. lim_x→-∞ (x² − x) = +∞ c. une forme indéterminée

7. lim_x→+∞ f(x) = +∞ et lim_x→+∞ g(x) = 0.

Utiliser le théorème sur la limite d’un produit pour étudier la limite en +∞ de f × g conduit à … a. lim_x→+∞ (f(x)×g(x)) = 0 b. lim_x→+∞ (f(x)×g(x)) = +∞ c. une forme indéterminée

EXERCICE IV.

f est la fonction définie par f(x) = 2x – 1 + 1

x² et C_f est sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i^→ , j^→ ) (unités : 2 cm sur l’axe (O ; i^→ ) et 1 cm sur l’axe (O ; j^→ ))

1. Déterminer le domaine de définition D_f de f

2. Etudier les limites de f aux bornes de ce domaine. C_f a−t−elle une asymptote horizontale ? une asymptote verticale ? Justifier.

3. Soit ∆ la droite d’équation y = 2x – 1.

a. M étant un point de C_f et P un point de ∆ de même abscisse x, exprimer la distance PM en fonction de x.

b. Que fait cette distance PM quand x tend vers –∞ ou +∞ ? Que peut−on en déduire ? c. Etudier les positions relatives de C_f et ∆.

4. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

5. Déterminer l’équation de la tangente (T) à C_f au point d’abscisse −1.

6. Montrer que C_f coupe l’axe des abscisses en un unique point d’abscisse α dont on trouvera une valeur approchée à 10⁻²près.

7. Construire ∆, (T),C_f et autres droites ou tangentes remarquables dans le repère.

8. En discutant suivant les valeurs du réel m, donner graphiquement le nombre de solutions de l’équation f(x) = m.

(3)

2 -1

-2 -3

2 3 4 5

-1

-2

-3

0 1

1

x y

A

Annexe pour l’exercice II. A rendre avec la copie. NOM :

Parabole d’équation y = x²

Hyperbole d’équation y = 1/x

2 3 4 5

-1 -2

-3 -4

-5

2

-1

-2

-3

0 1

1

x y

M

a

(4)

Corrigé.

EXERCICE I.

Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on dispose d’une feuille de carton carrée de 30 cm de côté.

On découpe deux bandes identiques de x cm de largeur (voir figure), on replie le patron obtenu suivant les pointillés et on colle les arêtes.

1. Donner les valeurs possibles de x et exprimer, en fonction de x, les trois dimensions de la boîte.

Il est évident que 0 < x < 15

Les dimensions de la boîte seront : BE = x, AC = 30 – 2x, AB = 15 – x (= AE – BE) 2. Justifier que le volume V de la boîte obtenue est V(x) = 2x³ – 60x² + 450x.

on aura donc : V = x(15 – x)(30 – 2x) = 2x(15 – x)² = 2x³ – 60x² + 450x 3. Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume V est maximum.

Pour répondre à cette question, on étudie, dans ]0 ; 15[, les variations de la fonction V.

V’(x) = 6x² − 120x + 450 = 6(x² − 20x + 75)

ce trinôme a pour discriminant ∆ = 100 et donc 2 racines 20 - 10

2 = 5 et 20 + 10 2 = 15 V’(x) ≥ 0 pour x ≤ 5 (x ≥ 15 est ici impossible), V est alors

V’(x) ≤ 0 pour 5 ≤ x ≤ 15, V est alors . On sait alors que V est maximum pour x = 5 Quelles sont alors les dimensions et le volume de la boîte ?

pour x = 5 cm, 30 – 2x = 20 cm, 15 – x = 10 cm

les dimensions de la boîte sont 5 cm, 10 cm et 20 cm et son volume 1000 cm³ soit 1 litre.

4. Montrer qu’il existe 2 valeurs de x dont vous trouverez des valeurs approchées à 10⁻²près, pour lesquelles V = 0,5 l.

Quand x = 0 ou x = 15, v = 0 Pour 0 < x ≤ 5 : V est dérivable

V est strictement croissante V prend des valeurs de 0 à 1000

donc il existe une unique valeur a de x dans ]0 ; 5[ telle que V(x) = 500

par balayage à la calculatrice on obtient V(1,33) < 500 et V(1,34) > 500 donc 1,33 < a < 1,34 Pour 5 ≤ x < 15 : V est dérivable

V est strictement décroissante V prend des valeurs de 1000 à 0

donc il existe une unique valeur b de x dans ]5 ; 15[ telle que V(x) = 500 par balayage à la calculatrice on obtient V(10) = 500 donc b = 10

EXERCICE II.

Le but de l’exercice est d’obtenir une construction géométrique des tangentes aux courbes représentatives des fonctions carrée et inverse.

I. Pour la parabole d’équation y = x²

(P) est la parabole d’équation y = x² dans un repère orthogonal (O ; i^→ , j^→). A est un point quelconque de (P) d’abscisse a (a ≠ 0) Pour construire la tangente en A à (P) :

− on construit le projeté orthogonal H de A sur l’axe des ordonnées,

− on construit le symétrique I de H par rapport à O,

− la droite (IA) est alors la tangente à (P) en A.

1. Trouver l’équation de la droite (IA).

A est un point quelconque de (P) d’abscisse a (a ≠ 0) donc A(a ; a²)

(il n’est pas question de donner une valeur particulière à a pour que la démonstration qui suit soit valable …) Le projeté orthogonal H de A sur l’axe des ordonnées a pour coordonnées : (0 ; a²)

Le symétrique I de H par rapport à O a pour coordonnées (0 ; −a²) La droite (IA) a pour coefficient directeur m = y_A - y_I

xA - xI = (a²−(−a²))/(a−0) = 2a

et pour ordonnée à l’origine −a² (ordonnée du point I). Donc (IA) a pour équation y = 2a x − a² 2. Trouver l’équation de la tangente (T) à (P) au point A et conclure.

La tangente (T) à (P) au point A a pour équation y = f’(a)(x − a) + f(a) or f(x) = x² donc f’(x) = 2x.

f’(a) = 2a et f(a) = a² donc (T) a pour équation y = 2a(x − a) + a² c’est à dire y = 2a x − a² On retrouve l’équation de (IA) trouvée à la question 1. donc (IA) est la tangente (T).

(5)

o a M

2a

2 3 4 5

-1 -2 -3 -4

2

-1

-2

0 1

1

x y

M A

B

3. Construire, par cette méthode, les tangentes aux points d’abscisses 1 et −−−−3/2.

Construction de la tangente au point d’abscisse 1 :

on place A d’abscisse 1 sur (P), on projette orthogonalement A en H sur l’axe des ordonnées, le symétrique de H par rapport à O donne le point I. (AI) est la tangente cherchée.

Construction de la tangente au point d’abscisse −3/2 :

on place B d’abscisse −3/2 sur (P), on projette orthogonalement B en H’ sur l’axe des ordonnées, le symétrique de H’ par rapport à O donne le point I’. (BI’) est la tangente cherchée.

II. Pour l’hyperbole d’équation y = 1/x.

(H) est l’hyperbole d’équation y = 1/x dans un repère orthogonal (O ; i^→ ; j^→).

M est un point quelconque de (H) d’abscisse a (a ≠ 0) donc M(a ;1/a).

1. Trouver une équation de la tangente à (H) en M.

La tangente (T) à (H) en M a pour équation y = f’(a)(x−a) + f(a) avec f(x) = 1/x f’(x) = −1/x² donc f’(a) = −1/a²

f(a) = 1/a donc (T) a pour équation y = (−1/a²)x + 2/a

2. Déterminer les coordonnées du point A d’intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.

(T) coupe l’axe des abscisses quand y = 0, on a alors (−1/a²)x + 2/a = 0 et donc x = 2a.

donc (T) coupe (Ox) en A(2a ; 0)

3. Illustrer les questions précédentes sur la figure.

4. En déduire une construction géométrique (avec règle et compas … pas de calculs) de la tangente à (H) en un point.

La construction géométrique de la tangente se déduit du fait qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point dont l’abscisse est le double de celle du point de tangence.

M étant un point de (H) on projette M orthogonalement en N sur l’axe des abscisses. Le symétrique de O par rapport à N donne le point A. (MA) est la tangente cherchée. (ou : le cercle de centre M et rayon OM recoupe l’axe (Ox) en A …)

5. Construire, par cette méthode, les tangentes aux points d’abscisses 1 et −2 Construction de la tangente (T₁) à (H) au point d’abscisse 1 :

on place M d’abscisse 1 sur (H), le cercle de centre M et rayon OM recoupe l’axe (Ox) en A (d’abscisse 2) on a alors (T₁) = (MA).

Construction de la tangente (T₂) à (H) au point d’abscisse −2 :

on place M d’abscisse −2 sur (H), le cercle de centre M et rayon OM recoupe l’axe (Ox) en A (d’abscisse −4) on a alors (T₁) = (MA).

Bonus : Qu’en est−il de l’intersection avec l’axe des ordonnées ? Proposer une autre construction.

(T) d’équation y = (−1/a²)x + 2/a coupe l’axe des ordonnées en 2/a qui est le double de l’ordonnée du point M.

On en déduit la construction suivante :

on projette orthogonalement M en P sur l’axe des ordonnées on construit le symétrique Q de O par rapport à P

(QM) est alors la tangente à (H) en M.

2 -1

-2

2 3

-1

-2

-3

0 1

1

x y

H A

I K B

J C

L E

(6)

EXERCICE III.

Pour chacune des questions, donner le numéro de la question et indiquer la bonne réponse par a, b ou c.

Aucune justification n’est demandée.

x - 6 .Alors …

a. lim_x→6 f(x) = + ∞ b. lim_x→6 f(x) = 0 c. limx→6 et x>6 f(x) = +∞

Quand x → 6 et x > 6, x – 6 → 0 et x – 6 > 0 donc … 2. f est définie sur IR\{−3} par f(x) = 1

(x + 3)² . Alors C_f a pour asymptote la droite d’équation …

a. x = −3 b. y = 1 c. y = −3

Quand x → −3, (x + 3)² → 0 et (x + 3)² > 0 donc f(x) → +∞

x - 1 . Alors … a. lim

x→+∞ f(x) = 1 b. lim

x→+∞ f(x) = 0 c. lim

x→+∞ f(x) = −1 Quand x → +∞, x – 1 → +∞ donc …

x - 4 . Alors C_f a pour asymptote horizontale la droite d’équation …

a. y = 4 b. y = 0 c. y = 1

quand x → −∞, x – 4 → −∞ donc f(x) → 0 quand x → +∞, x – 4 → +∞ donc f(x) → 0 5. f est définie sur IR\{−2} par f(x) = −3x + 4 + 1

(x + 2)² . Alors C_f a pour asymptote en +∞, la droite d’équation…

a. y = −3x + 4 b. y = 0 c. y = 1

(x + 2)² f(x) – (−3x + 4) = 1

(x + 2)²

quand x → +∞, (x + 2)² → +∞ donc 1

(x + 2)²→ 0 c'est à dire lim

x→+∞ f(x) – (−3x + 4) = 0

6. Utiliser le théorème sur la limite d’une somme pour étudier la limite en –∞ de x → x² − x conduit à … a. lim_x→-∞ (x² − x) = 0 b. lim_x→-∞ (x² − x) = +∞ c. une forme indéterminée

quand x → −∞ , x² → +∞ et –x → +∞ donc par addition, x² − x → +∞ 7. lim_x→+∞ f(x) = +∞ et lim_x→+∞ g(x) = 0.

Utiliser le théorème sur la limite d’un produit pour étudier la limite en +∞ de f × g conduit à … a. lim_x→+∞ (f(x)×g(x)) = 0 b. lim_x→+∞ (f(x)×g(x)) = +∞ c. une forme indéterminée

EXERCICE IV.

f est la fonction définie par f(x) = 2x – 1 + 1

x² et C_f est sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i^→ , j^→ ) (unités : 2 cm sur l’axe (O ; i^→ ) et 1 cm sur l’axe (O ; j^→ ))

1. Déterminer le domaine de définition DDDD_f de f

f(x) existe ⇔ x² ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 donc D_f = IR* = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[

2. Etudier les limites de f aux bornes de ce domaine.

Limites en –∞ et +∞ :

quand x → −∞ : 2x – 1 → −∞

et x² → +∞ donc 1/x² → 0 par addition on obtient lim_x→-∞ f(x) = −∞

quand x → +∞ : 2x – 1 → +∞

et x² → +∞ donc 1/x² → 0 par addition on obtient lim

x→+∞ f(x) = +∞

Limites en 0 :

quand x → 0 : 2x – 1 → −1

et x² → 0 donc 1/x² → +∞ (x² > 0) par addition on obtient lim_x→0 f(x) = +∞

CC

CC_f a−t−elle une asymptote horizontale ou une asymptote verticale ? Justifier.

(7)

2 3 -1

-2

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5

0 1

1

x y

limx→0 f(x) = +∞ donc la droite d’équation x = 0 (l’axe des ordonnées) est asymptote à C_f . 3. Soit ∆ la droite d’équation y = 2x – 1.

a. M étant un point de CCCC_f et P un point de ∆ de même abscisse x, exprimer la distance PM en fonction de x.

M, sur C_f , a pour coordonnées x et f(x) et P, sur ∆, a pour coordonnées x et 2x − 1 PM = |y_M – y_P| = |f(x) – (2x – 1)| = |1/x²| = 1/x² car x² > 0

b. Que fait cette distance PM quand x tend vers –∞∞∞ ou +∞∞ ∞∞∞ ? Que peut−on en déduire ? quand x → ± ∞ : x² → +∞ donc 1/x² → 0 c'est à dire PM → 0

on en déduit que la droite ∆ est asymptote à C_f en –∞ et en +∞.

c. Etudier les positions relatives de CCCC_f et ∆.

les positions relatives de C_f et ∆ sont données par le signe de f(x) – (2x – 1) c'est à dire de 1/x²

∀ x ∈ IR*, 1/x² > 0 donc C_f est toujours « au dessus » de ∆.

4. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

f est une fonction rationnelle donc dérivable sur son domaine IR*

Calcul de la dérivée : f’(x) = (2x – 1)’ + (1

x²)’ = 2 + -(x²)'

(x²)² = 2 + -2x

x⁴ = 2x(x³ - 1)

x⁴ = 2x(x - 1)(x² + x + 1)

x⁴

Etude du signe de f’(x) :

dans IR*, x⁴ > 0 et x² + x + 1 > 0 car son discriminant est négatif et le coefficient de x² est positif.

donc f’(x) a le signe du trinôme 2x(x – 1) qui s’annule en 1 (rappel : 0 ∉ D_f ) f’(x) > 0 pour x < 0 ou x > 1

f’(x) < 0 pour 0 < x < 1 Tableau de variation :

5. Déterminer l’équation de la tangente (T) à CCCC_f au point d’abscisse −1.

La tangente (T) à C_f au point d’abscisse −1 a pour équation y = f(−1)(x + 1) + f(−1) or f’(−1) = 4 et f(−1) = −2 donc (T) a pour équation y = 4x + 2

6. Montrer que CCCC_f coupe l’axe des abscisses en un unique point d’abscisse αααα dont on trouvera une valeur approchée à 10⁻²près.

Pour x > 0, f(x) a pour minimum 2 donc f(x) ≠ 0

Pour x < 0 : f est dérivable et f est strictement croissante et f prend des valeurs de –∞ à +∞

donc il existe un unique réel α < 0 tel que f(α) = 0

par balayage avec la calculatrice, on obtient f(−0,66) < 0 et f(−0,65) > 0 donc −0,66 < α < −0,65

7. Construire ∆, (T),CCCC_f et autre droite ou tangentes remarquables dans le repère.

8. En discutant suivant les valeurs du réel m, donner graphiquement le nombre de solutions de l’équation f(x) = m.

Résoudre graphiquement cette équation revient à chercher le nombre de points de C_f dont l’ordonnée est m

c'est à dire le nombre de points d’intersection entre C_f et la droite d’équation y = m (parallèle à l’axe (O ; i^→ )

On obtient :

pour m < 2 1 solution pour m = 2 2 solutions pour m > 2 3 solutions