{ Chapitre 7: Fonctions exponentielles. Tstg

(1)

Chapitre 7: Fonctions exponentielles. Tstg

Introduction : Résoudre graphiquement les équations lnx=1 ; lnx=2 ; lnx=3 et lnx=–1

Valeurs exactes des solutions 

Généralisation : La fonction logarithme népérien, notée ^ln , définie sur ^]^{0 ;∞[} vérifie la propriété suivante : quelque soit le nombre réel y, il existe un unique x0 tel que

y=lnx.

Question: Est-il possible de trouver une fonction qui permet de trouver cet unique x ?

I. Fonction exponentielle : ^x ^exp^^x

Définition : Par la fonction logarithme népérien, tout réel y est image d'un et un seul nombre ^x strictement positif.

Ce nombre ^x est appelé exponentielle de ^y et est noté expy ou e^y.

On a donc {^y=ln^x0^^x^^⇔ ^x=^exp^y^=e^y

Exemples: ln1=0 ⇔ exp0=1 ; lne=1 ... ; ln(5)=... exp(...)=... ⇔ ⇔ Propriétés :

Ensemble de définition : La fonction exponentielle est définie sur , elle n'a pas deℝ valeur interdite.

Signe :

Propriété caractéristique : expab=...

D'autres propriétés :

2010©My Maths Space Page 1 / 3

(2)

Dérivées & conséquences

Pour tout x réel, exp'x=expx

La fonction exponentielle est sa propre fonction dérivée.

Comme expx0 pour tout ^x réel, exp'x0 donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur .ℝ

On en déduit que :

e^x=e^y ⇔ x=y ; e^xe^y ⇔ xy . Courbe représentative de la fonction exponentielle.

x –∞ +∞

f '(x) +

f(x) 0

+∞

Dérivée de expu où u est une fonction.

Pour tout x appartenant à l'ensemble de définition de u, si f x=expux alors : f 'x=u 'xexp[ux ]

exercice:

Déterminer l'équation de la tangente à C_f en A d'abscisse –1 où f x=expx²–1 ( f x=e^x²^–¹ )

0 1

(3)

II. Fonction x _a^x ( où a est un réel strictement positif ) Définition : Soit a un réel strictement positif.

La fonction exponentielle de base a est la fonction f définie sur par ℝ x a^x^oùa^x=e^xlna^. Conséquence: On a vu précédemment que pour tout X réel, e^X0 donc pour tout x réel

a^x=e^xlna0^. En particulier :

si a=2 alors 2^x= ; si a=10 alors 2¹⁰= ;

si a=e alors ... remarque : ...

Dérivée de x _a^x .

Comme f : x a^x est une fonction de la eûâvecû^: ^x xlna, on en déduit que : pour tout x réel , f 'x=

...

Exemples : Soit g définie sur ℝ par gx=5^x. Calculer g 'x. Quel est le sens de variation de g ?

Mêmes questions avec h : x ¹2^x^.

Propriétés :

Si a1 alors ...

Si a1 alors ...

Si a=1 alors ...

Exercices :

1. Simplifier l'écriture de chaque réel : a=exp2 ln3 ; b=exp–ln2

2. Résoudre, dans l'ensemble ℝ, l'équation et l'inéquation : e^x1e^x–2=0^et exp2x13.

3. Résoudre exp4x –5=1 ; lne^x3=0^;3 e^2x–20

4. a. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1. Montrer que cette tangente passe par l'origine du repère.

b. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur par ℝ f x=exp2x–expx et étudier son signe.

c. Dresser le tableau de variations de f. Construire son graphique sur [–3;1].

5. Soit h la fonction définie sur par ℝ hx=e^2x– xe–1. Calculer h 'x, puis étudier les variations et construire la courbe représentative de h sur l'intervalle [–1;1].

6. Le poids idéal, en kilogrammes, d'un enfant de 4 à 14 ans peut être exprimé, en fonction de sa taille x en mètres, suivant la formule : px=2,1×7,24^x.

a. Rachid, un garçon de 4 ans, mesure 118 cm. Estimer son poids idéal.

b. Margot, une fille de 11ans, mesure 1,43 m. Estimer son poids idéal.

c. Construire un tableau de valeurs pour x entre 1 et 1,6 avec un pas de 0,1.

d. A l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle taille, à 1 cm près, le poids idéal est supérieur à 30 kilogrammes.

7. Déterminer le plus petit entier n tel que 10^–⁹×5,7ⁿ5^.