4. ´ Enonc ´ es des exercices
Exercice 1.1 Pour tout entier natureln, d ´emontrer par r ´ecurrence que4n−1est divisible par3.
Exercice 1.2 1. R ´esoudre dansNl’in ´equation4n >2(n+ 1).
2. D ´emontrer par r ´ecurrence que pour tout entier natureln>3,2n>2n
Exercice 1.3 nest un nombre entier naturel. On consid `erendroites du plan, s ´ecantes deux `a deux, telles que trois quelconques d’entre elles ne sont pas concourantes.
1. D ´eterminer le nombre de points d’intersection entre ces droites lorsque :n= 2,n= 3,n= 4.
2. On noteun le nombre de points d’intersections entrentelles droites. Justifier que pour tout entier natureln>1,un+1=un+n.
3. D ´emontrer par r ´ecurrence que pour tout entier natureln>1,un =n(n2−1)
Je vous encourage `a faire autant d’exercices que possible sur le raisonnement par r´ecurrence, `a l’aide d’exercices corrig´es pris dans des livres ou sur Internet : ce type de raisonnement demande un entraˆınement approfondi et r´egulier.
Exercice 1.4 Dans un casino, `a chaque manche d’un jeu, le ”gain” peut ˆetre de -3e, 1eou 5e. Chaque client joue entre 0 et 3 manches.
1. D ´eterminer le nombre de parties de l’ensemble{−3; 1; 5}.
2. ´Ecrire ces parties
3. En d ´eduire les gains possibles d’un client (faire un tableau avec les gains possibles et la probabilit ´e de chaque gain).
Exercice 1.5 1. Dans une association sportive, deux sports, entre autres, sont propos ´es : stand-up paddle (SUP) et surf.
On sait que, parmi un groupe de jeunes, 16 pratiquent le SUP, 12 le surf, 5 pratiquent ces deux sports et 6 n’en pratiquent aucun.
D ´eterminer, en utilisant un tableau puis en dessinant des ensembles (diagramme de Venn), le nombre total de personnes dans ce groupe (on utilisera donc deux m ´ethodes diff ´erentes, qui devraient aboutir `a la m ˆeme conclusion).
2. Un code secret est constitu ´e de deux chiffres de 0 `a 9 suivis de deux lettres de l’alphabet en majuscules, puis d’un caract `ere sp ´ecial `a choisir parmi ? ! % $ £#.
Combien de codes secrets diff ´erents peut-on constituer ?
Exercice 1.6 Combien d’anagrammes distinctes peut-on former avec les lettres des mots suivants ? 1. ≪deux≫
2. ≪facteurs≫ 3. ≪factorielle≫
Exercice 1.7 Au poker, on appelle≪main≫tout ensemble de cinq cartes. On consid `ere un jeu de 52 cartes.
1. Combien y a-t-il de mains possibles ?
2. Combien y a-t-il de mains contenant l’as de pique ?
Exercice 1.8 On dispose de 6 plaquettes portant les chiffres : 1, 2, 3, 6, 8, 9.
1. On choisit 3 de ces plaquettes, et on fait la somme des nombres ´ecrits sur les plaquettes.
Combien de sommes distincts peut-on ainsi obtenir ?
2. On choisit successivement et sans remise 3 plaquettes, et on les range de gauche `a droite dans l’ordre du tirage. On ´ecrit ainsi un nombreabcde trois chiffres. Combien de nombres divisibles par 4 peut-on ainsi obtenir ?2
Exercice 1.9 Dans ce probl `eme, nous d ´esignons parmottoute liste finie de lettres, ind ´ependamment de l’existence de ce mot dans un dictionnaire.
1. On dispose de neuf cartes sur lesquelles sont inscrites les lettres T, E, G, P, H, A, Y, O, R.
Combien de mots de 9 lettres peut-on ´ecrire en rangeant ces cartes sur une ligne ? 2. M ˆeme question, mais les cartes portent les lettres : T, H, E, V, E, O, N, B, E.
3. M ˆeme question, mais les cartes portent les lettres : E, S, C, T, A, R, E, S, D.
2. On rappelle qu’un nombre est divisible par 4 ssi le nombre de deux chiffres form´e par le chiffre des dizaines et le chiffre des unit´es est divisible par 4.
11
