7. ´ Enonc ´es des exercices
Exercice 7.1 Donner l’ensemble de d ´erivabilit ´e de chacune des fonctions suivantes, et calculer l’expression de sa fonction d ´eriv ´ee :
1. f :x7→√ 3x−7 2. g:x7→√
4x2+ 4x+ 1 3. h:x7→√
2x2−3x−2
Exercice 7.2 Donner l’ensemble de d ´erivabilit ´e de chacune des fonctions suivantes, et calculer l’expression de sa fonction d ´eriv ´ee :
1. f :x7→ 5x3−42 2. g:x7→ 5x4−3x+ 26
3. h:x7→
1 x+6
3
Exercice 7.3 Donner l’ensemble de d ´erivabilit ´e de chacune des fonctions suivantes, et calculer l’expression de sa fonction d ´eriv ´ee :
1. f :x7→(−7x+ 3)5 2. g:x7→ −5x+24 +√
x−7 3. h:x7→ 3x5−1+√
2x+ 5
Exercice 7.4 On consid `ere la fonctionf :x7→√
−3x2+ 11x+ 4.
1. Donner l’ensemble de d ´efinition de la fonctionf 2. ´Etudier les variations de la fonctionf
Exercice 7.5 :
Premi `ere partie On consid `ere la fonctionf d ´efinie sur[0; 4]par :
f(x) =p
x(4−x)
On noteCf sa courbe repr ´esentative dans un rep `ere.
1. D ´emontrer que la fonctionf est d ´erivable sur l’intervalle]0; 4[et donner l’expression de sa d ´eriv ´eef′ sur cet intervalle.
2. D ´emontrer quef n’est d ´erivable ni en0ni en4.
3. ´Etudier les variations de la fonctionf
4. Donner l’ ´equation de la tangente `a la courbeCfau point d’abscisse2 5. Tracer la courbeCf et sa tangente au point d’abscisse2.
Deuxi `eme partie On consid `ere la fonctiongd ´efinie sur[0; 4]par :
g(x) =xp
x(4−x)
On noteCgsa courbe repr ´esentative dans un rep `ere.
1. D ´emontrer que la fonctiongest d ´erivable sur l’intervalle]0; 4[et donner l’expression de sa d ´eriv ´eeg′sur cet intervalle.
2. La fonctiongest-elle d ´erivable en0? En4? 3. ´Etudier les variations de la fonctiong
4. (a) D ´emontrer que l’ ´equationg(x) = 1admet une unique solution dans l’intervalle[0; 3]
(b) A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de cette solution `a0,01pr `es 5. Donner l’ ´equation de la tangente `a la courbeCgau point d’abscisse2
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6. Tracer la courbeCget sa tangente au point d’abscisse2dans le m ˆeme rep `ere que la courbe de la fonctionf (utiliser de la couleur ou des pointill ´es pour diff ´erencier les courbes).
Troisi `eme partie On consid `ere la fonctionkd ´efinie sur]0; 4]par :
k(x) =
px(4−x)
x On noteCk sa courbe repr ´esentative dans un rep `ere.
1. ´Etudier la limite de la fonctionken0.
2. D ´emontrer que la fonctionkest d ´erivable sur l’intervalle]0; 4[et donner l’expression de sa d ´eriv ´eek′sur cet intervalle.
3. La fonctionkest-elle d ´erivable en4? 4. ´Etudier les variations de la fonctionk
5. Donner l’ ´equation de la tangente `a la courbeCkau point d’abscisse2
6. Tracer la courbeCket sa tangente au point d’abscisse2, dans le m ˆeme rep `ere que les courbesCf etCg (utiliser de la couleur ou des pointill ´es pour diff ´erencier les courbes).
Exercice 7.6 Soitf la fonction d ´efinie sur[0; +∞[parf(x) =x+11 . Calculerf′(x)puisf′′(x)pour tout r ´eelxde[0; +∞[.
Exercice 7.7 Soitf la fonction d ´efinie surRparf(x) =x+ 1 +xe−x.
1. (a) D ´eterminer, pour tout r ´eelx, la d ´eriv ´eef′ def et la d ´eriv ´ee secondef′′def. (b) ´Etudier le signe def′′surR
(c) En d ´eduire les variations def′.
(d) D ´emontrer que pour tout r ´eelx,f′(x)>0.
(e) En d ´eduire le tableau de variations def.
2. SoientCf la courbe repr ´esentative def dans un rep `ere orthonorm ´e etDla droite d’ ´equationy=x+ 1.
(a) En ´etudiant le signe def(x)−(x+ 1), pr ´eciser la position relative deCf et deD. (b) La courbeCf admet en un pointAune tangente parall `ele `a la droiteD. d ´eterminer les
coordonn ´ees deA.
Exercice 7.8 Soientf,uetvles fonctions d ´efinies sur]0; +∞[par : f(x) = x12 u(x) =−x1 v(x) =3xx−1
1. Montrer queuetvsont des primitives def sur]0; +∞[ 2. Simplifieru(x)−v(x), et expliquer ce r ´esultat.
Exercice 7.9 Soientf etF deux fonctions d ´efinies surRpar : f(x) =xsin(x) et F(x) = sin(x)−xcos(x)
1. D ´eterminer la d ´eriv ´ee de la fonctionFsurR
2. Expliquer pourquoi la fonctionF est une primitive def surR
Exercice 7.10 SoientF etf les fonctions d ´efinies surRrespectivement parF(x) =xe3xet f(x) = (1 + 3x)e3x.
1. Justifier que pour tout r ´eelx:F′(x) =f(x) 2. Que peut-on en d ´eduire pour la fonctionF? Exercice 7.11 Soitf la fonction d ´efinie surI=1
2; +∞ par :
f(x) = 2 2x−1
1. V ´erifier quef est sous la forme uu′, o `uuest une fonction positive surIdont on donnera l’expression.
2. En d ´eduire une primitive de la fonctionF surI.
Exercice 7.12 Soitf la fonction d ´efinie surI=3 2; +∞
par :
f(x) = 1
√2x−3
1. ´Ecriref sous la formek√u′u, o `ukest un r ´eel etuune fonction `a d ´eterminer.
2. En d ´eduire une primitive def surI.
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Exercice 7.13 D ´eterminer la primitive de la fonctionf sur l’intervalleIqui prend la valeury0enx0∈I 1. f(x) = cos(3x),I=R,x0= 0,y0= 1
2. f(x) =e4x−x,I=R,x0= 0,y0=−2
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