3. ´ Enonc ´es des exercices
Exercice 2.1 1. Rappelez les crit `eres classiques de divisibilit ´e :
Un entier est divisible par 2 ssi . . . . . . . . Un entier est divisible par 3 ssi . . . . . . . . Un entier est divisible par 5 ssi . . . . . . . . Citez ´eventuellement d’autres crit `eres de divisibilit ´e : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Cochez les cases correspondantes :
Divisible par 2 Divisible par 3 Divisible par 5 Divisible par 11 66
87 231 302 438 725 520 4824 56289
Exercice 2.2 D ´eterminer l’ensemble des entiers naturelsntels quen−2divisen+ 5.
Exercice 2.3 D ´eterminer les entiers naturels tels quen3+ 4n= 240. On pourra distinguer les casnpair etn impair.
Exercice 2.4 On consid `ere deux entiers relatifsaetb.
D ´emontrer l’ ´equivalence suivante :7|(2a+ 5b)⇔7|(5a+ 2b).
Exercice 2.5 Def 01:Une partie non videAdeRest diteminor ´eessi il existe un r ´eelmt.q. pour toutade A,m6a.mest appel ´e unminorantde l’ensembleA.
Def 02:Une partie non videAdeRadmet unplus petit ´el ´ementdssi : (d∈A
pour touta∈A, d6a
1. DansR
(a) Montrer que si une partie deRadmet un plus petit ´el ´ement, alors elle est minor ´ee.
(b) Montrer `a l’aide d’uncontre-exempleque la r ´eciproque est fausse.
2. DansNLes partiesAdeNsuivantes ont-elles un plus petit ´el ´ement ? Si oui, on pr ´ecisera sa valeur.
(a) A=N
(b) Aest l’ensemble des entiers naturels impairs (c) Aest l’ensemble des multiples non nuls de2013 (d) Aest l’ensemble desdiviseurs propres* de53×74
(e) Aest l’ensemble des diviseurs communs `a3et5autres que1
* Lesdiviseurs propresd’un entier naturel sont ses diviseurs positifs autres que lui-m ˆeme.
On admettra quetoute partie non vide deNadmet un plus petit ´el ´ement.
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Exercice 2.6 D ´emonstration de la Pt ´e 2.3 Soitnun entier sup ´erieur ou ´egal `a2.
Pour d ´emontrer l’ ´equivalence :npremier⇔nn’a pas de diviseur premier inf ´erieur ou ´egal `a√
n, on va
”d ´ecouper” cette ´equivalence en deux implications:
• (⇒).Sinpremier , alorsnn’a pas de diviseur premier inf ´erieur ou ´egal `a√ n.
• (⇐) .Sinn’a pas de diviseur premier inf ´erieur ou ´egal `a√
n, alorsnest premier.
1. On suppose quenest premier. Justifier que1est le seul diviseur deninf ´erieur ou ´egal `a√ n.
En d ´eduire quenn’a pas de diviseur premier inf ´erieur ou ´egal `a√ n.
2. On suppose quenn’a pas de diviseur premier inf ´erieur ou ´egal `a√ n.
On varaisonner par l’absurde, c’est- `a-dire que l’on va supposer le contraire de ce que l’on veut d ´emontrer, et essayer d’aboutir `a une contradiction.
Supposons donc quenn’estpas premier.nadmet donc des diviseurs autres que1et lui-m ˆeme, et l’ensemble de ces diviseurs admet un plus petit ´el ´ement, que l’on noteram.
(a) Justifier quemest premier
(b) Justifier qu’il existe un entierktel que1< m6k < netn=mk.
(c) En d ´eduire quem26net conclure.
Exercice 2.7 D ´emonstration de la Pt ´e 2.4 Soitnun entier sup ´erieur ou ´egal `a2.
On veut montrer que :nest premier ounpeut s’ ´ecrire comme produit de nombres premiers.
Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe des entiers sup ´erieurs ou ´egaux `a2qui ne sont ni premiers ni produits de nombres premiers.
Soitmle plus petit d’entre eux.
1. Justifier l’existence d’entiersqetktels que :
m=k×q 26q < m 26k < m
2. Justifier queqetksont soit premiers, soit produit de nombres premiers.
3. Conclure
Exercice 2.8 D ´ecomposition en facteurs premiers : tutoriel en vid ´eo, chaˆıne Youtube Maths Langella, titre de la vid ´eo : ”Decomposition d’un entier en facteurs premiers”
1. D ´eterminer la d ´ecomposition en facteurs premiers des entiers suivants : 117;665;16184;4554;19343
2. D ´eterminerP gcd(117; 4554), en d ´eduire la forme irr ´eductible de 4554117. Simplifier√
19343.
Exercice 2.9 R ´epartition des nombres premiers : de moins en moins nombreux ? (Recherche)Pourn∈N∗, on noten!et on appelle ”factorielle n” le produit des entiers de1 `an:
n! = 1×2×3×...×n
1. Pour tout entierk∈J2;nK, donner un diviseur de(n! +k)autre que1et(n! +k)(on appelle cela un diviseur propreoudiviseur non trivial).
2. Utiliser ce r ´esultat pour donner5entiers cons ´ecutifs non premiers
3. Existe-t-il une liste de cent milliards d’entiers cons ´ecutifs ne comportant aucun nombre premier ? Le r ´esultat pr ´ec ´edent donne l’impression qu’ `a mesure que l’on s’ ´eloigne de0, les nombre premiers sont de plus en plus rares. Cependant, une conjecture du math ´ematicien Franc¸ais Joseph Bertrand (1822-1900) d ´emontr ´ee par son confr `ere Russe Pafnouti Tchebychev (1821-1894) temp `ere cette impression : Sin >3, il y a toujours un nombre premier compris entrenet2n.
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