9. ´ Enonc ´ es des exercices
Exercice 4.1 L’espace est muni du rep `ere(O;~u;~v;w)~ ci-dessous.
1. Placer sur la figure les pointsA(2; 1; 2),B(1; 3;−1);C(1,5; 5;−2) 2. Calculer les coordonn ´ees des vecteurs−−→
ABet−−→ BC 3. Les pointsA,BetCsont-ils align ´es ?
Exercice 4.2 On consid `ere les pointsA(3; 2;−1),B(1; 1; 1)etC(−1; 4; 3).
1. D ´eterminer les coordonn ´ees du milieu du segment[AC]
2. D ´eterminer de deux fac¸ons diff ´erentes les coordonn ´ees du pointDtel queABCDsoit un parall ´elogramme
3. Calculer la longueurBC, en d ´eduireAD.
Exercice 4.3 Soient~u 2
−1 0
,~v
−1 0 3
etw~ 0
−3 1
trois vecteurs ; soientA(1; 2; 3),B(2; 0; 3)etC(6; 3; 8)trois points de l’espace.
1. D ´emontrer que les vecteurs~u,~vetw~ ne sont pas coplanaires 2. D ´eterminerα,βetγtels que :−−→
AB=α~u+β~v+γ ~w 3. D ´eterminerα′,β′ etγ′tels que :−−→
BC=α′~u+β′~v+γ′w~
4. En d ´eduire les coordonn ´ees du pointCdans le rep `ere(A;~u;~v;w)~
Exercice 4.4 Soient~u 1 2
−1 ,~v
−1
−4 2
etw~ 0 0 1
trois vecteurs ; soientA(0;−2; 1),B(3;−2; 0)etC(−3; 2; 0)trois points de l’espace.
1. Montrer que(A;~u;~v;w)~ est un rep `ere de l’espace
2. D ´eterminer les coordonn ´ees du pointBdans le rep `ere(A;~u;~v;w)~ 3. D ´eterminer les coordonn ´ees du pointCdans le rep `ere(A;~u;~v;w)~ 4. Les pointsA,B,Csont-ils align ´es ?
Exercice 4.5 EW AN est un t ´etra `edre.
Les pointsRetSsont d ´efinis par :
ER~ =12EA~ +13EW~ etES~ = 3N A~ + 2N W~ D ´emontrer que les pointsN,RetSsont align ´es.
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Exercice 4.6 ABCDEF GHest un cube.Oest le point d ´efini par : AO~ =2
3AB~ +BF~ +2 3F G~ D ´emontrer la coplanarit ´e des pointsE,F,H etO.
Exercice 4.7 1. D ´eterminer un syst `eme d’ ´equations param ´etriques de la droite(d1)passant par le point A(0; 2;−1)et de vecteur directeur~u
2
−1 3
2. D ´eterminer un syst `eme d’ ´equations param ´etriques de la droite(d2)passant par le pointB(1; 0;−1)et parall `ele `a la droite(d1)
Exercice 4.8 On consid `ere les pointsA(1;−3;−2),B(−5; 1; 3)etC(−1; 1; 1).
1. Donner une repr ´esentation param ´etrique : (a) de la droite(AB)
(b) du segment[BC]
(c) de la demi-droite[AC)
2.
x= 1 + 4t y= 1 z= 1−2t
, avect∈[0; 1], est-elle une repr ´esentation param ´etrique du segment[BC]?
Exercice 4.9 D ´eterminer un syst `eme d’ ´equations param ´etriques du planPde vecteurs directeurs~u
−1 2 1
,
~v 3 0 2
et passant par le pointA(1; 3;−1).
Exercice 4.10 SoientA(0; 2;−3),B(1;−1; 1)etC(2; 0; 1)trois points de l’espace.
1. Justifier qu’un syst `eme d’ ´equations param ´etriques du plan(ABC)est :
x=t+ 2t′ y=−3t−2t′+ 2 z= 4t+ 4t′−3
, avec
t, t′∈R
2. Le syst `eme suivant est-il un syst `eme d’ ´equations param ´etriques du plan(ABC)?
x= 2t+ 2t′ y=−6t−2t′+ 2 z= 8t+ 4t′−3
, avect, t′∈R
3. M ˆeme question avec :
x= 1 +t′ y=−1−t+t′ z= 1 +t
, avect, t′ ∈R
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