Chapitre 5: proportionnalité (on utilisera la calculatrice dans ce chapitre)

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Chapitre 5: proportionnalité

(on utilisera la calculatrice dans ce chapitre)

I Proportionnalité : vocabulaire

Définition : deux grandeurs sont dites proportionnelles si on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de

proportionnalité.

Formule : coefficient de proportionnalité = grandeur n∘2 grandeur n∘1 a) Reconnaître un tableau de proportionnalité

On présente souvent les situations de proportionnalité à l’aide d’un tableau

; par exemple :

Grandeur n°1 5 7,5

Grandeur n°2 12 18

Les grandeurs n°1 et n° 2 sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est 12

5 =2,4 . Remarque : 18

7,5 = 2,4 Exemple 2 :

Masse d'un gigot ( en kg) 1 2 Temps de cuisson ( en

min) 45 60

Pour vérifier qu'un tableau correspond à une situation de proportionnalité : Il suffit de vérifier si tous les rapports sont égaux :

45

1 = 45 et 60

2 = 30 Comme 45 ≠

30 , le tableau n'est pas un tableau de proportionnalité, la masse d'un gigot n’est pas proportionnelle à son temps de cuisson.

× 2,4

× …...

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II Compléter un tableau de proportionnalité

a) Utiliser le coefficient de proportionnalité

Grandeur n°1 5 20

Grandeur n°2 12 24

b) Propriétés, sur les colonnes, d'un tableau de proportionnalité

On peut ajouter une nouvelle colonne à un tableau de proportionnalité en multipliant ( ou en divisant) l’une des colonnes par un nombre non nul :

On peut ajouter une nouvelle colonne à un tableau de proportionnalité en additionnant deux de ses colonnes :

c) Passage à l'unité

On insère une colonne dans notre tableau avec un ''1'' à côté de la case non vide.

On utilise les propriétés d'un tableau

Pour 'passer' de 5 à 1 : on divise par 5, on fait de même avec 12 . 12 5 = 2,4

Pour 'passer' de 1 à 21 : on multiplie par 21, on fait de même avec 2,4. 2,4 × 21 = 50,4

d) Quatrième proportionnelle ( coefficient de proportionnalité avec fraction)

Grandeur

n°1 5 21 6,25

Grandeur

n°2 12 50,4 15

Calculs : 21 × 12

5 = 50,4 15

÷

12 5 = 15 × 5

12. = 6,25

Remarques : Pour les méthodes a, c et d, les calculs sont les mêmes.

On peut aussi utiliser les opérations sur les colonnes.

5 × 3 = 15 et 12 × 3= 36

× 3

+

grandeur n° 1 5 7,5 15 12,5 grandeur n° 2 12 18 36

grandeur n° 1 5 15

grandeur n° 2 12

grandeur n° 1 5 1 21

grandeur n° 2 12

× 12/5 :

12/5

5 + 7,5= 12,5 et 12 + 18 = 30

Coefficient de proportionnalité : 12 5 = 2,4 20 × 2,4 = 48

24÷2,4

= 10

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III Pourcentages

1. Calculer un pourcentage

Dans une classe de 25 élèves il y a 11 garçons ; pour déterminer le pourcentage des garçons dans la classe, on peut compléter le tableau de proportionnalité suivant :

ce qui donne x =

¹¹₂₅ ^× ¹⁰⁰

et donc x = 44.

Les garçons représentent 44% des élèves de la classe.

Revenir à un tableau de proportionnalité est toujours une méthode gagnante ! Formule : le pourcentage d'une quantité A parmi une quantité B est

^{quantité A}_{quantité B}^×100

2. Appliquer un pourcentage

Dans un bureau de vote, il y a eu 450 votants, et 40% d’entre eux ont voté pour le candidat A ; pour

déterminer combien de voix le candidat A a recueilli dans ce bureau de vote, on peut compléter le tableau de proportionnalité suivant :

ce qui donne x =

⁴⁵⁰ ^× ₁₀₀⁴⁰

et donc x = 180.

Le candidat A a recueilli 180 voix dans ce bureau de vote.

Formule : prendre t % d'une quantité A revient à calculer : 'quantité A' ×

₁₀₀^t

IV Echelle

Définition :

Un plan dont les longueurs sont proportionnelles à la réalité est dit « à l'échelle ».

Cette échelle est un quotient e = longueur sur Ie dessin longueur enréalité

Si une échelle e est plus petite que le nombre, s'il s'agit d'une réduction : on représente (maquette ).

Exemple n° 1 : La plus connue est celle des cartes routières au 1

250 000 1cm sur le plan représente 250 000 cm en réalité soit 2,5 km.

Si une échelle est un rapport supérieur à 1, s'il s'agit d'un grossissement, dans ce cas, on omet souvent le dénominateur.

Exemple n°2 : on représente la vue d'un microscope à l'échelle 50 ou 50

1 . Cela veut dire que le dessin représente des choses 50 fois plus grandes que la réalité.

En cas de doute, on peut toujours revenir au formidable tableau de proportionnalité :

classe 25 100

garçons 11

votant 450 100

votant pour A 40

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Exemple n°1 :

Exemple n°2 :

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