Chapitre IX : Proportionnalité.

Chapitre IX : Proportionnalité. ²⁰¹²

L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e

I- Tableau de proportionnalité :

Définition :

Deux séries



;

;

;





;

;

;



que k

y x y

x y x

n n 





 

2 2 1

1 .

Le nombre k : est appelé coefficient de proportionnalité.

Propriété :

a c

b d

Est un tableau de proportionnalité signifie que : adbc _



 



 

d c b car a

II- Représentation graphique :

Si les séries sont proportionnelles, alors les points













M_{1 1}; ₁ ; _{2 2}; ₂ ;; ; sont alignés avec l’origine O du repère. La réciproque est vraie.

III- Exemples d’application :

a. Distance, temps et vitesse.

Dans un mouvement uniforme, la distance parcourue est proportionnelle à la durée. Dans ce cas le coefficient de proportionnalité est appelé vitesse :

t v d .

x1

y1

x2

y2

y2

xn

M2

M1

Mn

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Exemple :

Une voiture roule à vitesse constante .

Déterminer la distance parcourue pendant .

Déterminer la durée nécessaire, pour aller d’une ville A à une ville B, si la distance entre ces deux villes est égale à 360 km.

La première étape, on exprime la durée en heure.

5 , 60 1 90 90

1 90 60

60

1  x donc x  x 

1,5 heure correspond à 1 heure 30 minutes.

 Soit

 Soit

 D’après le tableau de proportionnalité ci-dessus.

t d

360

5 , 1 1

90

 Calcul de la distance.

km d

d1901,5 135

La distance entre les deux villes est égale à 135 km.

 Calcul de la durée.

t t t 4 t 4heures

9 36 90 360 360

90 1

360

90       

A vitesse constante de 90 km/h, la durée nécessaire est égale à 4 heures.

b. Echelle.

 Echelle d’une carte.

On sait que 1 cm sur une carte représente 10 kilomètres sur le terrain.

Distance sur la carte (en cm) 1 Distance sur le terrain (en cm) 1 000 000

Attention : Il faut utiliser la même unité.

Durée en heure 1 x

Durée en minute 60 90

Distance en (km) 90 d 360

Durée en (heure) 1 1,5 t

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L’échelle est donc de

000 000 1

1 (un millionième).

c. Pourcentages.

 Notion de pourcentage.

Lorsqu’une variété de blé fournit 80 pour cent de son poids de farine.

On traduit cette phrase de la manière suivante : Cent kilogrammes de blé de cette variété permettent d’obtenir 80 kilogrammes de farine.

La notion de pourcentage est très utilisée dans la vie courante. Car elle facilite les comparaisons.

Exemple :

 Une somme de 200 000 €, placée dans une entreprise, a rapporté en un an 10 000 €.

 Une somme de 350 000 €, placée dans une autre entreprise, a rapporté en un an 14 000 €.

 Quel est le placement le plus avantageux ?

 On calcule l’intérêt annuel de 100 € dans les deu entreprises et la comparaison deviendra facile.

Dans la première entreprise :

Somme investit (en €) 200 000 100 L’intérêt en un an (en €) 10 000 x

x 100 10000

200000  Donc

200000

100

10000

200000 5 10000

100 

 x

x

Dans le premier placement l’intérêt annuel de 100 € est : 5 € On dit que le taux de placement est de 5 %.

Dans la Deuxième entreprise :

Somme investit (en €) 350 000 100 L’intérêt en un an (en €) 14 000 x

x 100 14000

350000  Donc

350000

100

14000

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350000 4 14000

100 

 x

x

Dans le deuxième placement l’intérêt annuel de 100 € est : 4 € On dit que le taux de placement est de 4 %.

Conclusion : C’est le premier placement qui est le plus avantageux.