4. ´ Enonc ´es des exercices
Exercice 6.A Pour chacune des fonctionf suivantes, dire si elle est continue surR. 1. f est d ´efinie surRparf(x) =
(x3−8six >2
−1six62 2. f est d ´efinie surRparf(x) =
(1
x+ 3six6= 0 3six= 0 3. f est d ´efinie surRparf(x) =
(√
−3x+ 2six < 23 3x−2six> 23 4. f est d ´efinie surRparf(x) =
(4x+ 1six <2 (−2x+ 1)2six>2 5. f est d ´efinie surRparf(x) =
(|x+2|
x+2 six6=−2 1six=−2
Exercice 6.B Dans chacun des cas suivants, d ´eterminer, s’il existe, le r ´eelkpour lequel la fonctionf, d ´efinie surR, est continue surR.
1. f d ´efinie parf(x) =
−5x+ 2six <3 ksix= 3 4x−25six >3
2. f d ´efinie parf(x) =
(2x+ 1)3six <−1 5x+ 4si −16x65 ksix >5
3. f d ´efinie parf(x) =
x3−2x2+ 7six <−2 3x+ 3si −26x64 ksix >4
Exercice 6.C On consid `ere la fonctionf d ´efinie sur[0; 4]parf(x) = (−2x+ 5)3. Dire si l’ ´equationf(x) = 40admet une solution, sans r ´esoudre cette ´equation.
Exercice 6.D L’ ´equation−2x3+ 3x−4 = 0admet-elle une solution dans l’intervalle[−2; 5]? On ne demande pas de r ´esoudre cette ´equation.
Exercice 6.E On donne ci-contre le tableau de variations d’une fonctionf.
Donner, en justifiant, le nombre de solution(s) ´eventuelle(s) de chacune des ´equations suivantes et encadrer au mieux ces solutions.
1.f(x) = 8 2.f(x) = 0 3.f(x) =−3 4.f(x) = 2 5.f(x) =−4
Exercice 6.F On consid `ere la fonctionf d ´efinie sur[−3; 4]par :f(x) =x3−2x2+ 5x−4.
1. Dresser le tableau de variations def
2. Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l’ ´equationf(x) = 2.
Exercice 6.G On consid `ere la fonctionf d ´efinie sur[−1; 3]par :f(x) =25x5−8x2−3.
1. Dresser le tableau de variations def
2. D ´emontrer que l’ ´equationf(x) = 2admet une unique solution dans l’intervalle[2; 3].
3. Chercher une valeur approch ´ee de cette solution `a l’aide de la calculatrice (on arrondira `a0,01pr `es).
On pourra se r ´ef ´erer au document disponible en ligne intitul ´e : Mode_emploi_FONCTIONS_ti83.pdf
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Exercice 6.H SoientIun intervalle etf une fonction d ´efinie surItelle que∀x∈I, f(x)∈I.
Soit une suite d ´efinie paru0∈Iet∀n∈N, un+1=f(un).
On admet que la suite(un)est bien d ´efinie, et v ´erifie :∀n∈N, un∈I.
D ´emontrerpar l’absurdeque si(un)admet une limite finieℓ∈Iet sif est continue enℓ, alorsℓv ´erifie la relation :f(ℓ) =ℓ.
Exercice 6.I Partie A - ´Etude de fonction
Soitf la fonction d ´efinie surRpar :f(x) =x(2−x).
1. ´Etablir le tableau de variations de la fonctionf surR
2. R ´ealiser la repr ´esentation graphique dans un rep `ere orthonorm ´e(O;~i;~j)de la fonctionf ainsi que de la droite d’ ´equationy=x.
3. R ´esoudre, dansR, l’ ´equationf(x) =x.
Partie B - ´Etude d’une suite
Soit(un)la suite r ´ecurrente d ´efinie surRpar :u0=a, a∈Retun+1=f(un).
1. Que peut-on dire de la suite(un)siu0∈ {0; 1; 2}? 2. ´Etablir le signe dex(x−1)surR
3. Montrer que, pour toutn∈N:un+1−un =un(1−un) 4. On supposea∈]0; 1[
(a) Montrer que, pour toutn∈N,un∈]0; 1[
(b) En d ´eduire que la suite(un)est croissante et qu’elle admet une limite finie que l’on pr ´ecisera.
5. On supposea∈]1; 2[
(a) Montrer que, pour toutn∈N∗,un∈]0; 1[.
(b) En d ´eduire que la suite(un)est croissante et qu’elle admet une limite finie que l’on pr ´ecisera.
6. On supposea∈]− ∞; 0[.
(a) Justifier que la suite(un)est n ´egative, puis qu’elle est d ´ecroissante.
(b) En d ´eduire que la suite(un)n’est pas minor ´ee, puis conclure sur sa limite.
7. On supposea∈]2; +∞[.
(a) Justifier que, pour toutn∈N∗,un<0.
(b) En d ´eduire que la suite(un)est d ´ecroissante.
(c) En d ´eduire que la suite(un)n’est pas minor ´ee, puis conclure sur sa limite.
Exercice 6.J Soita∈R∗. On pose, pour toutx∈R:f(x) =ax+b.
On d ´efinit surNla suite(un)par :u0∈Retun+1=f(un).
On suppose queb6= 0.
1. Montrer que, si la suite(un)admet une limite finieℓ, alorsa6= 1.
2. On suppose quea6= 1et on poseℓ= 1−ba
(a) Montrer que la suite(vn)d ´efinie pour tout entier naturelnparvn =un−ℓest une suite g ´eom ´etrique dont on pr ´ecisera le premier terme et la raison.
(b) En d ´eduire, pour tout entier natureln, l’expression devnen fonction den.
3. ´Etablir que si la suite(un)admet une limite finie si et seulement si−1< a <1. Dans ce cas, quelle est cette limite ?
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