Feuille d’Exercices 7

U P M C - Paris 6 LM260-CNED

Math´ematiques 2008/2009

Feuille d’Exercices 7

Int´egrales `a param`etre - Convergence domin´ee

Exercice 7.1.—D´eterminer les limites des suites suivantes : (i)u_n=

Z ^π₂

0

cos(t)ⁿdt, (ii)v_n = Z +∞

0

e^−nt2dt, (iii)w_n= Z 1

0

dt (1 +tⁿ)¹⁺ⁿ¹, (iv)x_n=

Z 1

0

√dt

t+n, (v)y_n = Z +∞

0

e^−nt

1 +n²t²dt, (vi)z_n= Z +∞

0

1 + t n

ⁿ e^−2tdt.

Exercice 7.2.—Soitf :R→R⁺ une application continue born´ee avecf(0)6= 0.

1. Justifier l’existence de

a_n= Z +∞

0

e^−ntf(t)

√t dt.

2. En effectuant un changement de variable et en utilisant le th´eor`eme de convergence do- min´ee, trouver un ´equivalent de a_n quand n tend vers l’infini. (On rappelle l’int´egrale de Gauss R+∞

0 e^−t2dt=

√π 2 .)

Exercice 7.3.—Soitf :]0,+∞[→Cune fonction continue telle que la fonction g:t→e^−tf(t) soit int´egrable surR^∗+. Montrer que

Z +∞

0

e^−tf(t)dt= lim

n→+∞

Z n

0

1− t

n n

f(t)dt.

Exercice 7.4.—Soitf ∈C⁰(R+,R). On suppose quef est born´ee surR+. Montrer que : Z +∞

0

nf(t)

1 +n²t²dt →

n→+∞

π 2f(0).

Exercice 7.5.—Soitf :R−→Rla fonction d´efinie parf(x) = 1 π

Z π

0

cos(xsint)dt

1. Montrer que la fonction f est de classe C¹. Pour tout nombre r´eel x, exprimer f⁰(x) comme int´egrale `a param`etre.

2. Montrer que la fonctionf est de classeC².

3. Montrer quef est solution de l’´equation diff´erentiellexy⁰⁰+y⁰+xy= 0.

Exercice 7.6.—Soitf :]0,+∞[−→Rla fonction d´efinie par f(x) =

Z π/2

0

ln(x²cos²t+ sin²t)dt.

1. Montrer que la fonctionf est de classeC¹.

2. Soitx >0 tel quex6= 1. Calculerf⁰(x) `a l’aide du changement de variable u= tant.

3. En d´eduire une expression explicite def(x) pour toutx >0.

Exercice 7.7.—Soitf :R−→Rla fonction d´efinie parf(x) = Z 1

0

e^−(t2+1)x2 1 +t² dt.

1. Montrer que la fonctionf est de classeC¹. 2. Montrer qu’il existea∈Rtel quef(x) =a−

Z x

0

e^−t2dt ²

pour toutx∈R. 3. Montrer que l’on a lim

x7→+∞f(x) = 0. En d´eduire l’´egalit´e Z +∞

0

e^−t2dt=

√π 2 ·

Exercice 7.8.—Soitf :R−→Rla fonction d´efinie parf(x) = Z +∞

0

e^−t2cos(tx)dt.

1. Montrer que la fonctionf est de classeC¹.

2. Montrer quef est solution de l’´equation diff´erentielley⁰=−x 2y.

3. En d´eduire une expression explicite def(x) pour toutx∈R.

Exercice 7.9.— 1. Montrer que pour tout r´eel x on a lim

t7→0

arctan(tx)

t(1 +t²) =x. En d´eduire que l’applicationϕ:R×[0,+∞[−→R, d´efinie parϕ(x, t) = arctan(tx)

t(1 +t²) pourt >0 etϕ(x,0) =xest continue.

2.Montrer que l’int´egrale Z +∞

0

arctan(tx)

t(1 +t²) dtest convergente pour toutxr´eel. On noteF(x) cette int´egrale.

3. Montrer que la fonctionF ainsi d´efinie est impaire et continue.

4. Montrer que la fonctionF est de classeC¹.

5. CalculerF⁰(x) pourx6= 1. On pourra utiliser la d´ecomposition suivante : 1

(1 +T)(1 +aT) = 1 1−a

1

1 +T − a 1 +aT

.

6. CalculerF(0) et d´eduire de ce qui pr´ec`ede une expression explicite de la fonctionF (on pourra faire le calcul d’abord pourx >0).

Exercice 7.10.— Calcul de Z +∞

0

sint t dt.

Soitf :]0,+∞[→Rla fonction d´efinie parf(x) = Z +∞

0

e^−tx 1 +t²dt.

1. Montrer quef est continue.

2.Montrer quef est de classeC²sur ]0,+∞[ et qu’elle est solution sur cet intervalle de l’´equation y+y⁰⁰= 1

x.

3. Montrer quef(x) tend vers 0 quand xtend vers +∞.

4. Montrer que f est la seule solution de l’´equation diff´erentielle y+y⁰⁰= 1

x sur ]0,+∞[ ayant une limite finie en +∞.

5. A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que pour tout nombre r´eel x >0, les int´egrales impropres

Z +∞

x

sint t dtet

Z +∞

x

cost

t dtsont convergentes.

6. Montrer que pour toutx >0, on a f(x) =

Z +∞

x

sin(t−x)

t dt=

Z +∞

0

sin(t) t+xdt.

7. En d´eduire l’´egalit´e Z +∞

0

sint t dt=π

2. Exercice 7.11.— La fonction Gamma.

1. Montrer que pour tout r´eelx >0, l’int´egrale impropre Γ(x) = Z +∞

0

e^−tt^x−1dtest convergente.

2. Montrer que pour tout x >0, on a Γ(x+ 1) =xΓ(x) ; en d´eduire la valeur Γ(n) pourn entier strictement positif.

3. Montrer que la fonction Γ est de classeC² et convexe. En d´eduire que Γ atteint son minimum en un point de l’intervalle ]1,2[.

4. Montrer que lim

x→0(xΓ(x)) = 1 et dessiner l’allure du graphe de Γ.

5. On d´efinit, pourx >1 etn∈N^∗, les fonctions un(x) :]0,+∞[→Rpar [un(x)](t) =e^−ntt^x−1. a. Montrer que la s´erie de fonctionsP

un(x) converge normalement sur tout intervalle de la forme [a,+∞[, o`ua >0.

b. Montrer que Z +∞

0

[un(x)](t)dt est convergente et que l’on a Z +∞

0

[un(x)](t)dt= 1 n^xΓ(x).

c. En d´eduire l’´egalit´e

Z +∞

0

t^x−1

e^t−1dt=ζ(x)Γ(x),

o`u ζd´esigne la fonction de Riemann, d´efinie comme somme de la s´erie de fonctions

∞

X

n=1

1 n^x.

Exercice 7.12.—Montrer les ´egalit´es suivantes : (i)

Z 1

0

ln(t) t−1dt=

+∞

X

n=1

1 n², (ii)

Z 1

0

t²ln(t) t²−1dt=

+∞

X

n=1

1

(2n+ 1)², (iii) Z +∞

0

dt e^√t−1 =

+∞

X

n=1

2 n².

Exercice 7.13.—Soit−1< a <1. On consid`ere la suite de fonctions (un)_n∈Ndonn´ee par

∀t∈[0,π

2], u_n(t) = cos(t)ⁿaⁿ. 1. Montrer que

∀n∈N, Z ^π₂

0

|un(t)|dt≤ π 2|a|ⁿ. 2. En d´eduire que

Z ^π₂

0

dt 1−acos(t) =

+∞

X

n=0

Z ^π₂

0

cos(t)ⁿdt aⁿ.

Exercice 7.14.—Soita∈R. On consid`ere la suite de fonctions (un)n∈N^∗ donn´ee par

∀t∈R+, un(t) =e^−ntsin(at).

1. Montrer que

∀n∈N^∗, Z +∞

0

|un(t)|dt≤|a|

n². 2. En d´eduire que

Z +∞

0

sin(at) e^t−1dt=

+∞

X

n=1

a a²+n².

Exercice 7.15.—

1. D´eterminer l’intervalle de d´efinition et de continuit´e des fonctions suivantes : (i) ∀x≥0, f(x) =R+∞

0

√ dt

t+x(1+t⁴), (ii) ∀x∈R, g(x) =R1

0 t^txdt, (iii) ∀x≥0, h(x) =R+∞

x e^−tx√

t dt.

2. D´eterminer l’intervalle de d´efinition, de continuit´e et de d´erivabilit´e des fonctions suivantes : (iv) ∀x >0, φ(x) =R1

0 ln(t)

x+tdt, (v) ∀x≥0, ψ(x) =R+∞

0 e^−tx 1+t²dt, (vi) ∀x >0,Γ(x) =R+∞

0 t^x−1e^−tdt.