U.E. Biologie Mathématique et Modélisation Master "Santé-Populations" - M1
Épreuve écrite - Printemps 2007/2008 Jeudi 13 mars 2008 - Durée : 2h
Ceci est une épreuve individuelle. Sans préjuger des sanctions prises ultérieurement par le conseil de discipline de l’Université, toute tentative de copie pendant l’épreuve sera sanc- tionnée par la répartition des points de la plus mauvaise copie entrele copieur etle copié.
1 Premier exercice
Etudier le système dynamique suivant :
½ dx
dt =y
dy
dt =−2x+µy−x2y−x3 pour des valeurs deµ∈R. Caractériser la bifurcation.
2 Second exercice
On considère la matrice de jeu suivante : A=
0 −1 −1
1 0 1
−1 1 0
2.1
Ecrire les équations du réplicateur en prenant comme variablesx,y etz.
2.2
Montrer que le système s’écrit de la façon suivante dans R2 :
½ dx
dt =−x[1−x+ 2(y−x)(1−x−y)]
dy
dt =y[1−y−2(y−x)(1−x−y)]
2.3
Rechercher les points d’équilibre. Faire l’étude de stabilité local au voisinage des points d’équilibre.
2.4
Dessiner le portrait de phase dans le triangle x+y+z = 1avec quelques trjectoires bien choisies et d’éventuelles séparatrices.
1
