Exercices sur les series numériques

(1)

Séries numériques

Nature de séries numériques

Exercice 1 [ 01020 ][correction]

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : a)un= n

n²+ 1 b)un= ch(n)

ch(2n) c)un= 1

√n²−1 − 1

√n²+ 1 d)un= e−

1 + 1 n

ⁿ

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : a) u_n=

n n+ 1

n²

b)u_n= 1

ncos²n c) u_n = 1 (lnn)^lnⁿ

Déterminer la nature de la série de terme général u_n=

1 n

¹⁺_n¹

Déterminer la nature de la série de terme général un =

1/n sinest un carré 1/n² sinon

Nature de la série de terme général

e− 1 + ¹_nn

n^3/2− n^3/2

+n

a) EtudierPun oùun=R1 0

dx 1+x+···+xⁿ. b) EtudierPvn oùvn=R1

0

xⁿdx 1+x+···+xⁿ. Exercice 7 [ 03881 ][correction]

Poura >0, étudier la convergence de

X

n>1

a

n

P

k=1 1 k

Soit (un) une suite de réels strictement positifs vérifiant un+1

un

= 1−α n+O

1 n²

avecα∈R a) Pour quelles valeurs deαla sériePun converge ? b) Pour quelles valeurs deαla sérieP(−1)ⁿun converge ?

[Règle de Raabe-Duhamel]

Soient (un) et (vn) deux suites de réels strictement positifs.

a) On suppose qu’à partir d’un certain rang un+1

u_n 6vn+1

v_n Montrer queu_n =O(v_n).

b) On suppose que

u_n+1 un

= 1−α n+o

1 n

avecα >1

Montrer, à l’aide d’une comparaison avec une série de Riemann, que la sérieP un

converge.

c) On suppose cette fois-ci que un+1

un

= 1−α n+o

1 n

avecα <1 Montrer que la sériePun diverge

(2)

a) Soient (un)n>0et (vn)n>0 deux suites réelles,λ∈R. On suppose :

∀n∈N, un>0 ; X

|vn| converge et un+1

un

= 1−λ n+vn

Montrer que (n^λu_n) converge.

b) Nature de la série de terme général nⁿ n!eⁿ? Exercice 11 [ 02516 ][correction]

Soient

un= 1 3ⁿn!

n

Y

k=1

(3k−2) etvn = 1 n^3/4 a) Montrer que pournassez grand,

un+1

un >vn+1

vn

b) En déduire queP

un diverge. (on pourra utiliser ^u_vⁿ

n) Exercice 12 [ 01040 ][correction]

Donner la nature de la série des ^√^jⁿ_n.

Nature de séries de signe non constant

Déterminer la nature deP

un pour : a)u_n= (−1)ⁿ

n²+ 1 b)u_n= (−1)ⁿ

√n+ 1 c)un= ln

1 + (−1)ⁿ n+ 1

d)un= cos πp

n²+n+ 1

Déterminer la nature de

X

n>1

(−1)ⁿ

√n

n!

Déterminer la nature de

X

n>1

sin nπ+π

n

Donner la nature de la série de terme général

u_n = cos n²πln(1−1/n)

Déterminer la nature de la série de terme général : un= (−1)ⁿ

n

P

k=1

√1

k+ (−1)ⁿ⁻¹

Déterminer la nature dePun pour : a) un=p

n+ (−1)ⁿ−√

n b)un= (−1)ⁿ

ln(n+ (−1)ⁿ) c) un = (−1)ⁿ ln(n) + (−1)ⁿ

Convergence de la série de terme généralun= sin π√ n²+ 1

.

Nature de la série de terme général un = sin

π(2 +√ 3)ⁿ

Etudier la série de terme général

un= (−1)ⁿsin(lnn) n

(3)

Montrer la divergence de la série

Xcos(lnn) n

Quelle est la nature de la série de terme général eⁱ

√n

√n ?

αdésigne un réel strictement positif.

Déterminer la nature de la série de terme général un=

Z (−1)ⁿ/n^α 0

p|x|

1 +xdx

Convergence de séries à termes positifs

Soient (un) une suite de réels positifs et (vn) la suite déterminée par vn =u2n+u2n+1

Montrer

Xu_n converge si, et seulement si, X

v_n converge

SoientP

un et P

vn deux séries à termes strictement positifs convergentes.

Montrer que les suivantes sont aussi convergentes Xmax(u_n, v_n), X√

u_nv_n et X u_nv_n un+vn

SoitPun une série à termes positifs convergente.

Montrer que X√

unun+1 est aussi convergente

Soitaune suite de réels positifs. Comparer les assertions (i) la série de terme généralan converge ;

(ii) la série de terme général√

anan+1 converge.

SoitPu_n une série à termes positifs. On suppose que

√n

u_n →`∈R⁺ a) Montrer que si` >1 alors P

un est divergente.

b) Montrer que si` <1 alorsPu_n est convergente.

c) Observer que, lorsque`= 1, on ne peut rien conclure.

Soient (un) une suite de réels positifs et vn = un

1 +u_n

Montrer que les sériesPu_n etPv_n sont de même nature.

Soit (un) une suite de réels strictement positifs.

a) Pour toutn∈N, on pose

vn = un

1 +un

Montrer quePu_n etPv_n sont de même nature.

b) Même question avec

vn= un

u₁+· · ·+u_n

On pourra étudier ln(1−vn) dans le cadre de la divergence.

Soient (u_n)_n_>₀ et (v_n)_n_>₀ dans (R⁺)^Ntelles que

∀n∈N, vn= 1 1 +n²un

Montrer que si la série de terme généralvn converge alors la série de terme généralun diverge.

(4)

Soit (un)n>1une suite de réels positifs. On considère la suite (vn) définie par v_n= 1

n(n+ 1)

n

X

k=1

ku_k

Montrer que les sériesPun etPvn ont même nature et qu’en cas de convergence

+∞

X

n=1

u_n=

+∞

X

n=1

v_n

SoitPan une série à termes strictement positifs convergente.

Etablir la convergence de la sérieP a^1−1/nn .

SoitP

an une série à termes positifs convergente.

Peut-on préciser la nature de la série de terme général un=a0a1. . . an?

Soit (un) une suite réelle strictement positive et convergeant vers 0. On pose v_n =u_n+1

Sn

avecS_n=

n

X

k=0

u_k

Montrer que les sériesP

un etP

vn ont même nature.

Soit (un)n>1une suite de réels strictement positifs.

On pose, pourn∈N^?,

v_n =u_n/S_n oùS_n=u₁+· · ·+u_n Déterminer la nature dePv_n.

Soit (un) une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général un converge.

On note le reste d’ordren

Rn=

+∞

X

k=n+1

uk

Etudier la nature des séries de termes générauxun/Rn et un/R_n−1. Exercice 39 [ 02959 ][correction]

Soit (un)une suite réelle strictement positive et strictement croissante.

Nature de la série de terme général

un+1−un

un

Soient (an) une suite de réels strictement positifs etSn=

n

P

k=0

ak.

a) On suppose que la sériePa_n converge, donner la nature dePa_n/S_n. b) On suppose que la sériePa_n diverge, montrer

∀n∈N^?,an

S_n² 6 1 S_n−1 − 1

Sn

En déduire la nature dePan/S_n².

c) On suppose toujours la divergence de la sériePan. Quelle est la nature deP

an/Sn? Exercice 41 [ 03225 ][correction]

Soitf : [1,+∞[→Rde classeC¹ strictement positive telle que xf⁰(x)

f(x) −−−−−→

x→+∞ `∈ ¯ R

a) On suppose` >−1 ou`=−1⁺. Montrer la divergence de la série X

n>1

f(n)

b) On suppose` <−1. Montrer la convergence de la série X

n>1

f(n)

(5)

Critère spécial

a) Justifier la convergence de la série numérique X

k>1

(−1)^k k

On pose

Rn =

+∞

X

k=n+1

(−1)^k k

b) Montrer que

R_n+R_n+1=

+∞

X

k=n+1

(−1)^k k(k+ 1) c) Déterminer un équivalent deR_n.

d) Donner la nature de la série de terme généralR_n.

Montrer que

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ8ⁿ (2n)!

est un réel négatif.

On rappelle la convergence de l’intégrale de Dirichlet I=

Z +∞

0

sint t dt En observant

I=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ Z π

0

sint nπ+tdt déterminer le signe deI.

Etude de séries à termes positifs

Soit (un) une suite décroissante réelle. On suppose que la sériePun converge.

a) On poseS_n=

n

P

k=0

u_k. Déterminer la limite deS_2n−S_n. b) En déduire 2nu2n→0.

c) Conclure quenun→0.

Soient (u_n) une suite décroissante de réels positifs etαun réel positif.

On suppose la convergence de la série

Xn^αun

Montrer

n^α+1un→0

Soit (un) une suite réelle strictement positive, décroissante, de limite nulle.

On suppose que la suite de terme général

n

X

k=1

uk−nun

est bornée.

Montrer que la série de terme généralu_n converge.

Séries dont le terme général est défini par récur- rence

Soit (un) la suite définie paru0∈[0, π] et pour toutn∈N, un+1= 1−cosun

Montrer queu_n →0 et déterminer la nature de la série de terme généralu_n.

(6)

Soit (un) la suite définie paru0>0 et pour toutn∈N, u_n+1=√

1 +u_n Montrer que (un) converge vers un réel`.

Quelle est la nature de la série de terme généralun−`?

a) Déterminer la limite de la suite définie par

u₀>0 et∀n∈N, u_n+1= e^−uⁿ n+ 1 b) Déterminer la limite de la suite définie par

vn=nun

c) Donner la nature de la sériePu_n et celle de la sérieP

(−1)ⁿu_n

La suite (a_n)_n_>₀ est définie para₀∈]0, π/2[ et

∀n∈N, an+1= sin(an) Quelle est la nature de la série de terme générala_n?

Soientu0∈]0, π/2[ etun+1= sinun pour toutn∈N. a) Montrer queun→0⁺.

b) Exploiterun+1−un pour montrer que P

n>0

u³_n converge.

c) Exploiter lnu_n+1−lnu_n pour montrer que P

n>0

u²_n diverge.

Soit (un) une suite réelle telle queu0>0 et pour toutn >0, u_n = ln(1 +u_n−1)

Etudier la suite (un) puis la série de terme généralun.

Soit (an)n>0 une suite définie para0∈R^+? et pourn∈N, a_n+1= 1−e^−aⁿ

a) Etudier la convergence de la suite (an).

b) Déterminer la nature de la série de terme général (−1)ⁿan. c) Déterminer la nature de la série de terme générala²_n.

d) Déterminer la nature de la série de terme généralan à l’aide de la série Xln

an+1

a_n

Soit (u_n) la suite définie paru₀∈]0,1[ et pour toutn∈N, un+1=un−u²_n

a) Existence et éventuellement calcul de

+∞

X

n=0

u²_n et

+∞

X

n=0

ln(1−un) b) Nature de la série de terme généralu_n?

Soit (un)n>0la suite définie par u0∈[0,1] et

∀n∈N, u_n+1=u_n−u²_n a) Quelle est la nature de la série de terme généralun?

b) Même question lorsqueun est définie par la récurrenceun+1=un−u^1+α_n (avec α >0).

Soient (an) une suite positive et (un) la suite définie paru0>0 et pour toutn∈N un+1=un+an/un

Montrer que la suite (un) est convergente si, et seulement si, la série de terme généralan est convergente.

(7)

Soitu∈R^N telle queu0∈]0,1] et que, pour un certainβ >0 et pour toutn∈N, u^β_n+1= sinu^β_n

Etudier la nature de la série de terme généralun.

Soitα >0 et (un)n>1 la suite définie par :

u₁>0 et∀n>1,u_n+1=u_n+ 1 n^αu_n a) Condition nécessaire et suffisante surαpour que (un) converge.

b) Equivalent deun dans le cas où (un) diverge.

c) Equivalent de (un−`) dans le cas où (un) converge vers`.

Comparaison séries intégrales

A l’aide d’une comparaison avec une intégrale, donner la nature de la série X

n>2

1 nlnn

Déterminer la nature de la série de terme général

un= 1

(ln 2)²+· · ·+ (lnn)²

Soita∈]0,1[. Déterminer la nature de la série P

n>0

a^√ⁿ.

Déterminer la nature de la série de terme général u_n=

+∞

X

k=n+1

1 k²

Pourα >1, on pose

S_N =

N

X

n=1

1

n^α etR_N =

+∞

X

n=N+1

1 n^α

Etudier, selonα, la nature de la série P

n>1 R_n Sn.

Soit P

n>0

un une série divergente de réels strictement positifs. On noteSn=

n

P

k=0

uk. Montrer, à l’aide d’une comparaison intégrale que pour toutα >1, il y a

convergence de la série

X

n>1

un

S_n^α converge

Pourα >1 on pose

ζ(α) =

+∞

X

n=1

1 n^α

Déterminer la limite de (α−1)ζ(α) quandαtend vers 1⁺

En exploitant une comparaison avec des intégrales établir : a)

n

X

k=1

√ k∼ 2

3n√

n b) ln(n!)∼nlnn c)

n

X

k=2

1

klnk ∼ln(lnn)

En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer

a→+∞lim

+∞

X

n=1

a n²+a²

(8)

Soita >0, b >0 et pourn∈N^?, A_n= 1

n

X

k=1

(a+bk),B_n =

n

Y

k=1

(a+bk)^1/n Trouver lim

n^∞ B_n

A_n en fonction de e.

Soit, pourx∈R,

f(x) = cos x^1/3 x^2/3 a) Nature la série de terme général

un= Z n+1

n

f(x) dx−f(n) b) Nature de la série de terme généralf(n).

(indice : on pourra montrer que sin n^1/3

n’admet pas de limite quandn→+∞

c) Nature de la série de terme général

sin n^1/3 n^2/3

On posef(x) =^sin(ln_x ^x) pour toutx>1 etun=Rn

n−1f(t) dt−f(n) pour tout entiern>2.

a) Montrer quef⁰ est intégrable sur [1,+∞[.

b) Montrer que la série de terme généralun est absolument convergente.

c) Montrer que la suite (cos(lnn)) diverge.

d) En déduire la nature de la série de terme généralf(n).

Soitf : [1,+∞[→Cune fonction de classeC¹telle quef⁰ est intégrable sur [1,+∞[.

a) Montrer que la série numériqueP

f(n) converge si, et seulement si, la suite Rn

1 f(t) dt

converge.

b) Application : Etudier la convergence de

+∞

X

n=1

sin√ n n

Pourn∈N^?, soit

f_n :x∈]n,+∞[→

n

X

k=1

1 x−k

Soita >0. Montrer qu’il existe un unique réel, noté xn tel que fn(xn) =a.

Déterminer un équivalent dexn quandn→+∞.

Etudier

n→+∞lim n

+∞

X

k=n

1 k²eⁿ^k

Soitf : [0,+∞[→Rcontinue, positive et croissante.

Etablir que les objets suivants ont même nature Z +∞

0

f e^−t

dt, X

f e⁻ⁿ

et X1 nf

1 n

Comportement asymptotique de sommes

Montrer la convergence de

+∞

X

k=0

1 k!

puis la majoration du reste

+∞

X

k=n+1

1 k! 6 1

n.n!

Soitα <1. Déterminer un équivalent de

n

X

k=1

1 k^α

(9)

Soitα >1. Donner un équivalent simple à RN =

+∞

X

n=N+1

1 n^α

On pose

Sn=

n

X

k=1

1 k+√

k Donner un équivalent simple deSn.

Montrer que

S_n = lnn+C+o(1)

On pose

S_n=

n

X

k=1

1 k²+√

k Montrer que (Sn) converge vers une constanteC.

Etablir que

Sn =C−1 n+o(1

n)

Former un développement asymptotique à deux termes de

+∞

X

k=n+1

1 k²

a) Sous réserve d’existence, déterminer pourα>1

n→+∞lim

2n

X

k=n+1

1 k^α

b) Sous réserve d’existence, déterminer

n→+∞lim

2n

X

k=n+1

sin 1

k

On pose

un =

n

Y

k=1

3k−1 3k

a) Montrer qu’il existe des constantesαet β telles que lnun=αlnn+β+o(1) En déduire un équivalent deu_n.

b) Déterminer la nature de P

n>1

u_n.

Déterminer

n→+∞lim 1 n

n

Y

k=1

(3k−1)^1/n

Déterminer un équivalent simple de : a)

+∞

X

k=1

1

k(nk+ 1) b)

+∞

X

k=1

1 k(n+k)

Pourn∈N^?, on pose

Hn=

n

X

k=1

1 k Pourp∈N, on pose

n_p= min{n∈N/H_n>p}

Déterminer un équivalent denp quandp→+∞

(10)

Soitj∈N. On note Φj le plus petit entierp∈N^? vérifiant

p

X

n=1

1 n>j

a) Justifier la définition de Φj. b) Démontrer que Φj−−−−→

j→+∞ +∞.

c) Démontrer ^Φ_Φ^j+1

j −−−−→

j→+∞ e.

Soit (u_n)_n_>₁une suite d’éléments deR^+?. On pose

vn= 1 nun

n

X

k=1

uk

!

etwn= 1 n²un

n

X

k=1

kuk

!

On suppose que (v_n) tend versa∈R^+?. Etudier la convergence de (w_n).

On pose

Hn=

n

X

k=1

1 k a) Montrer la convergence de la série

X1 k + ln

1−1

k

On pose

γ= 1 +

+∞

X

k=2

1 k+ ln

1−1

k

b) Etablir

H_n= lnn+γ+ε_n

avecεn qu’on exprimera à l’aide du reste d’une série convergente.

c) En déduire

Hn = lnn+γ+ 1 2n+o

1 n

Nature de séries dépendant d’un paramètre

Etudier en fonction deα∈Rla nature de X

n>2

1 n^αlnn

Déterminer la nature de la série de terme général un= 1

n(lnn)^α

Déterminer la nature de la série de terme général un=

√1 +√

2 +· · ·+√ n

n^α (avecα∈R) Même question avec la série de terme général (−1)ⁿun.

Soitα∈R^?. On pose, pourn∈N^?

un= 1

n

P

k=1

k^α

Nature de la série de terme généralun?

Nature de la série de terme général n^α

n

P

k=2

ln²k oùαest réel.

(11)

Déterminer en fonction du paramètreα∈Rla nature des séries de termes généraux :

a)u_n= e⁻ⁿ^α b) u_n= lnn

n^α c)u_n= exp(−(lnn)^α) Exercice 96 [ 01083 ][correction]

Soienta, b∈R. Déterminer la nature de la série X

n>1

lnn+aln(n+ 1) +bln(n+ 2) Calculer la somme lorsqu’il y a convergence.

Soienta, b∈R. Déterminer la nature de la série X

n>1

√n+a√

n+ 1 +b√ n+ 2 Calculer la somme lorsqu’il y a convergence.

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réelsa, b, cpour qu’il y ait convergence de la suite de terme général

√a 1 + b

√ 2+ c

√ 3 + a

√ 4 + b

√ 5 + c

√ 6+· · · Exercice 99 [ 01086 ][correction]

Soitλun réel. Etudier la nature des séries de terme général un = λⁿ

1 +λ²ⁿ, vn = λ²ⁿ

1 +λ²ⁿ, wn= 1 1 +λ²ⁿ Exercice 100 [ 01088 ][correction]

Déterminer en fonction deα∈R, la nature de X (−1)ⁿ

n^α+ (−1)ⁿ

Soitα >0. Préciser la nature de la série P

n>2

un avec

un= (−1)ⁿ pn^α+ (−1)ⁿ

Etudier la nature de la série de terme général un= ln

1 + sin(−1)ⁿ n^α

pourα >0.

Nature de la série de terme général u_n = ln

1 +(−1)ⁿ n^a

oùa >0.

Nature de la série de terme général un= ln

√

n+ (−1)ⁿ

√n+a

oùa >0.

On noteun=Rπ/4

0 (tant)ⁿdt.

a) Déterminer la limite deun.

b) Trouver une relation de récurrence entreun etun+2. c) Donner la nature de la série de terme général (−1)ⁿun.

d) Discuter suivantα∈R, la nature de la série de terme généralun/n^α.

(12)

Soientα∈Retf ∈ C⁰([0,1],R) telle quef(0)6= 0. Etudier la convergence de la série de terme général

un = 1 n^α

Z 1/n 0

f(tⁿ) dt

Soientα >0 et (u_n) une suite de réels strictement positifs vérifiant u^1/n_n = 1− 1

n^α +o 1

n^α

La série de terme généralun converge-t-elle ?

Soient (a, α)∈R⁺×Ret, pourn∈N^? :

un =a

n

P

k=1

1/k^α

a) Pour quels couples (a, α) la suite (u_n) est-elle convergente ? Dans la suite, on suppose que tel est le cas, on note`= limun et on pose, sin∈N^?,

vn=un−`

b) Nature des séries de termes générauxv_n et (−1)ⁿv_n.

Soientp∈Netα >0. Déterminer la nature des séries de termes généraux vn = n+p

p

!−α

etwn= (−1)ⁿ n+p p

!−α

a) En posantx= tant, montrer Z π/2

0

dt

1 +asin²(t)= π 2√

1 +a

b) Donner en fonction deα >0 la nature de la série XZ π

0

dt 1 + (nπ)^αsin²(t) c) Même question pour

XZ (n+1)π nπ

dt 1 +t^αsin²(t) d) Donner la nature de l’intégrale

Z +∞

0

dt 1 +t^αsin²(t)

On pose

u_n=

+∞

X

p=n

1

(p+ 1)^α et v_n=

+∞

X

p=n

(−1)^p (p+ 1)^α a) Déterminer la nature de la série de terme généralun selonα.

b) Déterminer la nature de la série de terme généralvn selonα.

On notea_n le nombre de chiffres dans l’écriture décimale de l’entiern>1. Pour quelles valeurs dex∈Ry a-t-il convergence de la série

Xx^aⁿ n³ ?

Calcul de somme

Après en avoir justifiée l’existence, calculer

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)² sachant

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6

(13)

Nature puis somme de

X

n>1

1 n(n+ 1)(n+ 2)

On donne

+∞

P

k=1 1

k² = ^π₆². Calculer

+∞

X

k=1

1 k²(k+ 1)² après en avoir justifié l’existence.

Existence et valeur de

+∞

X

n=2

ln

1 +(−1)ⁿ n

Existence et calcul de

+∞

X

n=2

ln

1− 1 n²

En utilisant la formule de Stirling, calculer

+∞

X

n=1

(−1)ⁿln

1 + 1 n

Sachant

+∞

P

n=0 1

n! = e, calculer

+∞

X

n=0

n+ 1 n! et

+∞

X

n=0

n²−2 n!

Nature et calcul de la somme de la série de terme général

+∞

X

k=n

(−1)^k k²

Calculer pourx∈]−1,1[

+∞

X

n=1

xⁿ

(1−xⁿ)(1−xⁿ⁺¹)

Existence et valeur pourm>1 de Sm=

+∞

X

n=1

1

n(n+ 1). . .(n+m)

Calculer la somme de la série de terme général un= arctan 1

n²+ 3n+ 3 Exercice 124 [ 01057 ][correction]

Pourp∈N, on pose

ap=

+∞

X

n=0

n^p 2ⁿ

a) Montrer queap existe puis exprimerap en fonction dea₀, . . . , a_p−1. b) En déduire queap∈N.

SoientαdansR^?,aet bdansR\N. On pose

u₀=αet∀n∈N, u_n+1=n−a n−bu_n

Etudier la nature de la série de terme généralun et calculer éventuellement sa somme.

(14)

On pose

un= Z 1

0

xⁿsin(πx) dx Montrer que la sérieP

un converge et que sa somme vaut Z π

0

sint t dt

Convergence et somme de la série P

k>2 1 k²−1. Convergence et somme de

X

k>2

√ k+ 1

−j√

kk k

Etudier

n→∞lim lim

m→∞

n

X

i=0 m

X

j=0

(−1)^i+jt^i+j+1

Calcul de somme par la constante d’Euler

Justifier et calculer

+∞

X

n=1

1 n(2n−1)

+∞

X

n=1

5n+ 6 n(n+ 1)(n+ 2)

+∞

X

n=1

1

n(n+ 1)(2n+ 1)

On rappelle l’existence d’une constanteγ telle qu’on ait

n

X

k=1

1

k = lnn+γ+o(1)

a) Calculer la somme de la série de terme généralun= (−1)ⁿ⁻¹/n.

b) Même question avecun= 1/nsin6= 0 [3] etun=−2/nsinon.

Convergence puis calcul de

+∞

X

n=1

1

1²+ 2²+· · ·+n²

Calculer

∞

X

n=0

1

4n+ 1 − 3

4n+ 2 + 1

4n+ 3 + 1 4n+ 4

a) Donner un développement asymptotique à deux termes de u_n=

n

X

p=2

lnp p

On pourra introduire la fonctionf :t7→(lnt)/t.

b) A l’aide de la constante d’Euler, calculer

+∞

X

n=1

(−1)ⁿlnn n

(15)

On pose

f(x) = lnx x

a) Nature des séries de termes générauxf(n) puis (−1)ⁿf(n).

b) Montrer la convergence de la série de terme général f(n)−

Z n n−1

f(t) dt c) Calculer

+∞

X

n=1

(−1)ⁿf(n) Indice : On pourra s’intéresser à la quantité

2

n

X

k=1

f(2k)−

2n

X

k=1

f(k)

Calcul de somme par dérivation ou intégration

Soitα >0. Montrer

+∞

X

k=0

(−1)^k k+α =

Z 1 0

x^α−1 1 +xdx

Soitx∈]−1,1[. Calculer

+∞

X

k=0

kx^k

Calculer

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 4n+ 1

Calculer

+∞

X

n=0

1 (4n+ 1)(4n+ 3)

Application à l’étude de suites

Calculer la limite de un = 1 +1

2+· · ·+ 1 n−

1

n+ 1 + 1

n+ 2+· · ·+ 1 n²

On pose

an = 1

n+ 1+ 1

n+ 2 +· · ·+ 1 3n a) Montrer que la suite (a_n) converge et trouver sa limite λ.

b) Trouver un équivalent simple dean−λ.

Pour toutn∈N, soit

un= (2n)!

(2ⁿn!)² a) Déterminer un équivalent de

lnun+1−lnun

En déduire queun→0.

b) En s’inspirant de ce qui précède, établir que√

nu_n→C >0 (on ne cherchera pas expliciter la valeur deC).

Pour toutn∈N, on pose

u_n= (2n)!

(2ⁿn!)²

a) Déterminer un équivalent de lnun+1−lnun. En déduire queun →0.

(16)

b) Montrer quenun→+∞. En déduire la nature de la sérieP un. c) On posevn =_n+1^uⁿ . En observant et en sommant les égalités (2k+ 4)vk+1= (2k+ 1)vk calculerTn=

n

P

k=0

vk en fonction denet vn+1. En déduire la valeur de

+∞

X

n=0

un

n+ 1

Soient 0< a < bet (u_n) une suite strictement positive telle que pour toutn∈N, u_n+1

un

=n+a n+b a) Montrer queu_n→0. On pourra considérer lnu_n.

b) Soientα∈Retv_n=n^αu_n. En étudiant (v_n), montrer qu’il existeA >0 tel que un∼ A

n^b−a c) On supposeb−a >1. En écrivant

(n+ 1)u_n+1−nu_n=au_n+ (1−b)u_n+1 calculer

+∞

X

n=0

u_n

Soit (un) une suite de réels strictement positifs telle que un+1

un

= 1 +α n+O

1 n²

, avecα∈R

a) Pour quel(s)β ∈Ry a-t-il convergence de la série de terme général v_n = ln(n+ 1)^βu_n+1

n^βun

? b) En déduire qu’il existeA∈R^+? pour lequel

un∼An^α

Pourα∈R\Z^−?, on considère (un)n>1 définie par u₁= 1 etu_n+1= (1 +α/n)u_n

a) Pour quel(s)β∈Ry a-t-il convergence de la série de terme général v_n= ln

(n+ 1)^βu_n+1 n^βun

? b) En déduire qu’il existeA∈R^+? pour lequelun∼An^α.

Montrer que

un= n!eⁿ n^n+1/2 a une limite non nulle.

Etudier la limite de

u_n= Z 1

0

(1−u)ⁿ−1

u du+ lnn

Soit

P_n=

n

Y

k=2

1 + (−1)^k

√ k

Montrer qu’il existeλ∈Rtel que

P_n∼ e^λ

√n

Soita >0.

a) Déterminer la limite de la suite de terme général u_n =a(a+ 1). . .(a+n−1)

n!

b) Quelle est la nature de la série de terme généralun?

(17)

On fixex∈R^+?. Pourn∈N^?, on pose u_n = n!

xⁿ

n

Y

k=1

ln 1 + x

k

a) Etudier la suite de terme général ln(u_n+1)−ln(u_n).

En déduire que la suite (un)n>1converge et préciser sa limite.

b) Etablir l’existence deα∈Rtel que la série de terme général : ln(un+1)−ln(un)−αln

1 + 1

n

converge.

c) Etablir l’existence deA∈R^? tel que u_n ∼An^α. d) Etudier la convergence de la série de terme généralu_n.

Soitu0∈]0,2π[ puis

∀n∈N, un+1= sin (un/2) a) Montrer que (un) tend vers 0.

b) Montrer que lim(2ⁿun) =Apour un certainA >0.

c) Trouver un équivalent simple de (un−A2⁻ⁿ).

Soit (u_n) une suite complexe telle que pour toutp∈N^?,u_pn−u_n →0. Peut-on affirmer que la suite (u_n) converge ?

Former un développement asymptotique à trois termes de la suite (un) définie par u₁= 1 et∀n∈N^?,u_n+1= (n+uⁿ⁻¹_n )^1/n

Etudier la limite quandn→+∞de

n

X

k=1

k n

n

On note (zn)n>1 la suite de terme général z_n= 2nexp

it

√n

Etudier

n→+∞lim

2n−1 zn−1

2n−2

zn−2· · ·2n−n zn−n

= lim

n→+∞

n

Y

k=1

2n−k zn−k

Etude théorique

Montrer que la somme d’une série semi-convergente et d’une série absolument convergente n’est que semi-convergente.

Donner un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 et dont les sommes partielles sont bornées.

On dit que la série de terme généralun enveloppe le réelAsi, pour tout entier natureln, on a :

un 6= 0 et |A−(u0+u1+· · ·+un)|6|un+1|

On dit qu’elle enveloppe strictement le réelA s’il existe une suite (θn)n>1

d’éléments de ]0,1[ telle que pour tout entier natureln: A−(u0+u1+· · ·+un) =θn+1un+1

a) Donner un exemple de série divergente qui enveloppeA >0.

Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel.

Donner un exemple de série convergente qui n’enveloppe aucun réel.

b) Démontrer que, si la série de terme généralu_n enveloppe strictementA, alors elle est alternée.

Démontrer queAest alors compris entre deux sommes partielles consécutives.

c) Démontrer que, si la série de terme généralu_n est alternée et que, pour tout entiern∈N^?

A−(u0+u1+· · ·+un) est du signe de un+1, alors, elle enveloppe strictementA.