TS : contrôle n

TS : contrôle n

1 (1 heure)

I (3 points)

Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturelnÊ2, µ

1− 1 2²

¶

× µ

1− 1 3²

¶

× · · · × µ

1− 1 n²

¶

= n+1

2n

II (6 points)

Calculer, en justifiant, les limites des suites (u_n) définies par : 1. u_n=2n²−3n+2

1−n

2. u_n= 3n n+1−

µ1 2

¶ⁿ

3. u_n=

n+(−1)ⁿ n²+1 4. u_n=5ⁿ−4ⁿ

III (5 points)

On poseu₁=1

2et pour tout n non nulu_n+1= n+1

2n u_n. 1. Calculeru₂,u₃,u₄.

2. On posev_n= u_n

n pournnon nul.

(a) Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison1 2. (b) Exprimerv_npuisu_nen fonction denavecnnon nul.

(c) On admet que lim

n→+∞

2ⁿ n

= +∞; en déduire la limiteℓde la suite (u_n) quandntend vers+∞

IV (6 points)

uetvsont deux suites définies paru₀=20,v₀=60 et pour tout nombre entier natureln, u_n+1=2u_n+v_n

4 etv_n+1=

u_n+2v_n 4 a) Montrer que les suitesu+v etv−usont géométriques.

b) Exprimeru_n+v_netv_n−u_nen fonction den.

c) En déduire l’expression deu_netv_nen fonction den. d) Déterminer la limite chaque suiteuetv.