TS – Spé Math – Contrôle n°4

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TS – Spé Math – Contrôle n°4

Exercice n°1 [10 points]

On considère les matrices M de la forme M /mat{a;b;;/t{1;3;5;7;9};/t{2;4;6;8}} où a et b sont des nombres entiers.

1 ^[0,5] . Donner le déterminant de M , d(a,b) , en fonction de a et b .

2. Dans cette question, on suppose d(a,b)≠0 . On pose N=/f{1;d(a,b)} /mat{#2;-b;;-

#1;a} .

a ^[1] . Démontrer, en utilisant le produit de matrice, que N est l'inverse de M . b ^[0,5] . On considère l'équation (E) : d(a,b)=/calc{#3*#2-#4*#1} . Vérifier que le couple (/t{2;4;6;8};/t{1;2;5;7;9}) est une solution de (E) .

c ^[3] . En déduire l'ensemble des solutions de (E) dans l'ensemble des entiers relatifs.

3 ^[2] . Soit \µ un nombre entier entre 0 et 25 inclus. On définit que l'inverse de

\µ dans l'ensemble des restes de la division euclidienne par 26 est le nombre entier x tel que \µ×x ≡ 1 [26]. Montrer que \µ possède un inverse dans

l'ensemble des restes de la division euclidienne par 26 si et seulement si \µ n'est pas divisible par 2 et par 13 .

4. On pose Q=/mat{#3;#4;;#1;#2} . On veut mettre en place un codage de Hill avec cette matrice, en associant à la lettre A le numéro 0 , à la lettre B le numéro 1 , etc.

a ^[0,5] . En donnant la matrice L à une colonne et deux lignes correspondant à la séquence DO, calculer QL et en déduire le message codé correspondant à DO .

b ^[0,5] . Calculer le déterminant de Q dans l'ensemble des restes de la division euclidienne par 26 .

c ^[0,5] . Ce déterminant possède-t-il un inverse dans l'ensemble des restes de la division euclidienne par 26 ? Si oui, donner cet inverse.

d ^[0,5] . Q est-elle inversible dans l'ensemble des restes de la division euclidienne par 26 ? Si oui, donner cet inverse.

e ^[0,5] .[Question bonus] Si Q n'est pas inversible dans l'ensemble des restes de la division euclidienne par 26, construire une matrice Q' qui le soit, en modifiant un seul des coefficients de Q . Recalculer alors le codage de DO .

f ^[1] . On appelle X une matrice à une colonne et deux lignes correspondant à la

séquence de deux lettres à coder, et Y la matrice à une colonne et deux lignes

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correspondant à la séquence codée. Montrer, en utilisant l'inverse de Q ou Q', que l'on peut alors décoder la séquence obtenue à la question 4.a.

Exercice n°2

Une ville possède un réseau de vélos en libre service dont deux stations A et B se situent en haut d’une colline. On admet qu’aucun vélo des autres stations n’arrive en direction des stations A et B. On constate pour chaque heure n qu’en moyenne :

• /t{20;10;30} % des vélos présents à l’heure n − 1 à la station A sont toujours à cette station.

• /t{40;50;60} % des vélos présents à l’heure n − 1 à la station A sont à la station B.

• Les autres sont dans d’autres stations du réseau ou en circulation.

• /t{10;20;30} % des vélos présents à l’heure n − 1 à la station B sont à la station A.

• /t{20;30;40} % des vélos présents à l’heure n − 1 à la station B sont toujours à la station B.

• Les autres sont dans d’autres stations du réseau ou en circulation.

• Au début de la journée, la station A comporte /t{40;50;60} vélos, la station B /t{55;65;75} vélos.

Au bout de n heures, on note a

le nombre moyen de vélos présents à la station A et b

le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note U

la

matrice colonne : /mat{a_n;;b_n} et donc U

= /mat{#9;;#10}.

1. Déterminer la matrice M tel que U

= M U

. 2. Déterminer U

et U

.

3. Au bout de combien d'heures passe-t-on en dessous de un vélo dans la station A.

4. Le service décide d'étudier les effets d'un approvisionnement des stations A et B : il apporte chaque heure /t{20;30;40} vélos à la station A, et /t{10;20}

vélos à la station B.

On note α

le nombre moyen de vélos présents à la station A et β

le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note V

la matrice colonne :

/mat{%alpha_n;;β_n} et V

= /mat{#9;;#10}.

Dans ces conditions, V

= MV

+ R avec R = /mat{#11;;#12}.

On note I la matrice /mat{1;0;;0;1} et N la matrice I – M .

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a. On désigne par V une matrice une colonne deux lignes. Montrer que V = MV + R équivaut à NV = R .

b. Calculer N

. c. En déduire V.

d. On pose W

= V

– V . Montrer que W

= MW

.

e. En déduire W

en fonction de W

puis V

en fonction de M

et V

.

f. A la calculatrice, conjecturer le comportement du remplissage des stations A et B.

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