TS – Spé Math – Contrôle n°4

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TS – Spé Math – Contrôle n°4

Exercice n°1 [10 points]

On considère les matrices M de la forme M ( ^{a b 4 4} ) où a et b sont des nombres entiers.

1 [0,5] . Donner le déterminant de M , d(a,b) en fonction de a et b.

2. Dans cette question, on suppose d(a,b)≠0 . On pose N= 1

d (a , b) ( −4 ^{4 −b} a ) ^.

a ^[1] . Démontrer que N est l'inverse de M.

b ^[0,5] . On considère l'équation (E) : d(a,b)= 0. Vérifier que le couple (9;9) est une solution de (E).

c [2] . Montrer que le couple d'entiers (a,b) est solution de (E) si et seulement si 4(a – 9) = 4(b – 9).

d ^[1] . En déduire l'ensemble des solutions de (E) .

3 ^[2] . Soit µ un nombre entier. Montrer que l'équation µ×x ≡ 1 [26] a une solution si et seulement si 2 et 13 ne divisent pas µ.

4. On pose Q= ( ^{9 9} 4 4 ) . On veut mettre en place un codage de Hill avec cette matrice, en associant à la lettre A le numéro 0 , à la lettre B le numéro 1 , etc.

a ^[0,5] . Coder la séquence DO à l'aide de la matrice Q (on donnera donc les lettres résultantes).

b ^[0,5] . Calculer le déterminant de Q.

c ^[0,5] . Ce déterminant possède-t-il un inverse dans l'ensemble des restes de la division euclidienne par 26 ?

d [0,5] . Q est-elle inversible dans l'ensemble des restes de la division euclidienne par 26 ?

e ^[0,5] .[Question bonus] Si Q n'est pas inversible dans l'ensemble des restes de la division euclidienne par 26, construire une matrice Q' qui le soit, en modifiant un seul des coefficients de Q. Recalculer alors le codage de DO.

f ^[1] . Vérifier, en utilisant l'inverse de Q ou Q', que l'on peut alors décoder la séquence obtenue à la question 4.a.

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Exercice n°2

Une ville possède un réseau de vélos en libre service dont deux stations A et B se situent en haut d’une colline. On admet qu’aucun vélo des autres stations n’arrive en direction des stations A et B. On constate pour chaque heure n qu’en moyenne :

• 30 % des vélos présents à l’heure n − 1 à la station A sont toujours à cette station.

• 60 % des vélos présents à l’heure n − 1 à la station A sont à la station B.

• Les autres sont dans d’autres stations du réseau ou en circulation.

• 10 % des vélos présents à l’heure n − 1 à la station B sont à la station A.

• 30 % des vélos présents à l’heure n − 1 à la station B sont toujours à la station B.

• Les autres sont dans d’autres stations du réseau ou en circulation.

• Au début de la journée, la station A comporte 50 vélos, la station B 55 vélos.

Au bout de n heures, on note a

le nombre moyen de vélos présents à la station A et b

le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note U

la

matrice colonne : ( ^{a b}

) ^{et donc U}

^{= ( 50 55 ) .}

1. Déterminer la matrice M tel que U

= M U

. 2. Déterminer U

et U

.

3. Au bout de combien d'heures ne reste-t-il qu'un seul vélo dans la station A.

4. Le service décide d'étudier les effets d'un approvisionnement des stations A et B : il apporte chaque heure 40 vélos à la station A, et 10 vélos à la station B.

On note α

le nombre moyen de vélos présents à la station A et β

le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note V

la matrice colonne : ( ^{%beta α}

)

et V

= ( ⁵⁰ 55 ) ^.

Dans ces conditions, V

= MV

+ R avec R = ( 10 ⁴⁰ ) ^.

On note I la matrice ( ^{1 0} 0 1 ) et N la matrice I – M.

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a. On désigne par V une matrice une colonne deux lignes. Montrer que V = MV + R équivaut à NV = R .

b. Calculer N

. c. En déduire V .

d. On pose W

= V

– V . Montrer que W

= MW

.

e. En déduire W

en fonction de W

puis V

en fonction de M

et V

.

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