Annexe : Démonstration de la division euclidienne TS Spé
Théorème & définition Soit
a
un entier naturel etb
un entier naturel non nul.Il existe un unique couple
q ; r
d'entiers naturels tel que :{ a=bq 0r b r
q
est le quotient etr
le reste de la division euclidienne dea
parb
. ---1. Existence
a ∈ ℕ
etb ∈
ℕ* , on pose E={n ∈ ℕ tels que abn
} a. Cet ensemble E contient-il des éléments ?b. Prouver que E admet un plus petit élément. On l'appelle
p
2. On pose
q= p – 1
.q
appartient-il à E ?3. Quelle est la conséquence de la réponse à la question précédente ?
4. Donner un encadrement de
a
.5. On pose
r =a – bq
. Quelle est la nature der
? Quelles sont les valeurs possibles der
?6. Unicité supposons qu'il existe deux couples d'entiers q1;
r
1 et q2;r
2 vérifiant la relation de la division euclidienne.a. Écrire une relation qui prouve que
r
2– r
1 est un multiple deb
b. Écrire les encadrements vérifiés par
r
1 etr
2 ; en déduire un encadrement der
2– r
1.c. A quelle contradiction est-on confrontée ?
d. Conclure que
q
1=q
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