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TS – Contrôle n°4
Exercice n°1 (Thème : les complexes) [ 3,5 points]
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; ⃗u ; ⃗v ) . On considère les points A d'affixe i, B d'affixe -¤i et D d'affixe 1.
On appelle E le point tel que le triangle ABE soit équilatéral direct (c'est à dire que, si on tourne autour du triangle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, les points apparaissent dans cet ordre).
Soit f l'application qui à tout point M d'affixe z (z ≠ i), associe le point M' d'affixe z' définie par :
z'=/f{#1z – i;iz + 1}.
1. [1] Démontrer que le point E a pour affixe /calc{#1+1}/f{/rc{3};2} – /f{/calc{#1- 1};2}i (On pourra utiliser le fait que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a a pour longueur /f{/rc{3};2}a.)
2. [1] Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D', image du point D par l'application f.
3. a. [1] Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, (z' + #1i)(z – i) = /calc{#1-1}
b. [0.5] En déduire que, pour tout point M d'affixe z (z ≠ i), BM' × AM=/calc{#1-1}.
Exercice n°2 (Thème : fonctions) [12 points]
Partie A : Restitution Organisée de Connaissance
[1] On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de f(u(x)), ainsi que ses conditions d'utilisation.
On suppose aussi que la fonction ln est dérivable sur ]0;+ ∞[ et que, pour tout x de ]0;+ ∞[ , on a : exp(ln(x))=x.
À partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur ]0;+ ∞[ qui à x associe /f{1;x}.
Partie B – É tude de fonction
On considère la fonction f définie sur ]0;+ ∞[ par f(x)=µx + /f{§[lnx]§;x}.
Le but du problème est l'étude de cette fonction et le calcul d'une aire.
On note c la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un
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repère orthonormal (O; ⃗u ; ⃗v) d'unité graphique 3 cm.
I) É tude d'une fonction auxiliaire.
On considère la fonction g définie sur ]0;+ ∞[ par g(x)=#3x2 + 1 – lnx. 1. [2] Étudier les variations de g sur ]0;+ ∞[ .
2. [0.5] En déduire le signe de g sur ]0;+ ∞[ . II) Étude de f
1. [1,5] Déterminer la limite en 0+ de la fonction f. Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ?
2. [1,5] Déterminer la limite en + ∞ de f. Que peut-on dire de /lim{x;+infinity;f(x) –
#3x} ? Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ? 3. [1] Calculer f '(x).
4. [1] En déduire le sens de variation de f sur ]0;+ ∞[.
5. [1] Déterminer le point A de c en lequel la tangente t est parallèle à la droite d'équation y=#3x.
III) Calcul d'une aire.
1. [1] Soit h la fonction définie sur ]0;+ ∞[ par h(x)=(ln(x))² . Calculer la dérivée de h.
2. [1] En déduire ∫
1 e lnx
x dx.
3. [0.5] Quelle aire utilisant la courbe c peut-on déduire de ce résultat ?
Exercice n°3 (Thème : suites) [7 points]
On considère la suite de nombres réels (un) définie sur N par :
u0= –µ, u1=/f{1;¤} et, pour tout entier naturel n plus grand que 1, un+2=un+1 –/f{1;4} un.
1. [1] Calculer u2 et en déduire que la suite (un) n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2. On définit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n : vn= un+1 – /f{1;2}un.
a. [0.5] Calculer v0.
b. [1] Exprimer vn+1en fonction de vn .
c. [1] En déduire que la suite (vn) est géométrique de raison /f{1;2}.
d. [1] Exprimer vn en fonction de n.
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3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n : wn
=/f{§[u_n]§;§[v_n]§}.
a. [0.5] Calculer w0
b. [1] En utilisant l'égalité un+1=vn+ /f{1;2}un, exprimer wn+1en fonction de un et vn, puis en déduire que wn+1=wn+2.
c. [1] Exprimer wn en fonction de n et en déduire l'expression de unen fonction de n.
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