Traitement du signal sur graphe pour modéliser les WLANs

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Traitement du signal sur graphe pour modéliser les WLANs

Marija Stojanova, Thomas Begin, Paulo Gonçalves

To cite this version:

Marija Stojanova, Thomas Begin, Paulo Gonçalves. Traitement du signal sur graphe pour modéliser

les WLANs. GRETSI 2019 - XXVIIème Colloque francophonede traitement du signal et des images,

Aug 2019, Lille, France. pp.1-4. �hal-02154891�

Traitement du signal sur graphe pour mod´ eliser les WLANs

Marija Stojanova , Thomas Begin , Paulo Gonc ¸alves

Univ Lyon, Inria, CNRS, ENS de Lyon, UCB Lyon 1, LIP UMR 5668, F-69342, Lyon, France marija.stojanova@ens-lyon.fr thomas.begin@ens-lyon.fr paulo.goncalves@inria.fr

R´ esum´ e – Les WLANs font d´ esormais partie de notre quotidien et il devient de plus en plus n´ ecessaire d’augmenter leur capacit´ e de transmission et la couverture sans fil. En r´ eponse ` a ce besoin croissant, les administrateurs r´ eseau souvent intensifient le d´ eploiement de points d’acc` es (AP). Cependant, si elle n’est pas correctement effectu´ ee, cette densification d’AP peut conduire

`

a des r´ eseaux mal planifi´ es et non coordonn´ es et une utilisation sous-optimale des ressources disponibles. Dans cet article, nous proposons une approche utilisant le traitement du signal sur graphe et un ensemble de signaux d’entr´ ee/sortie pour capturer le comportement d’un WLAN et en d´ eriver un mod` ele de performance. Compte tenu de la simplicit´ e et de la nouveaut´ e du mod` ele propos´ e, nous pensons que son erreur relative d’environ 10-20% en mod´ elisation et de 25% en pr´ ediction est un point de d´ epart prometteur pour de nouvelles approches dans la mod´ elisation des WLANs.

Abstract – As WLANs have become part of our everyday life, there is an increasing need for more transmission capacity and wireless coverage. In response to this growing need, network administrators tend to intensify the deployment of Access Points (APs). However, if not correctly done, this AP densification may lead to badly planned and uncoordinated networks with sub- optimal use of the available resources. In this paper, we propose a data-driven approach using graph signal processing and a set of input/output signals to capture the behavior of a WLAN and derive a predictive performance model. Given the simplicity and the novelty of the proposed model, we believe that its relative error of around 10-20% in modeling and 25% in prediction may represent a promising start for new approaches in the modeling of WLANs.

1 Introduction

Au cours des deux derni` eres d´ ecennies, les r´ eseaux lo- caux sans fil (WLAN) ont gagn´ e en popularit´ e, principa- lement en raison de la mobilit´ e des utilisateurs qu’ils per- mettent. Une approche classique pour aborder le besoin de plus de capacit´ e de transmission et de couverture sans fil consiste ` a augmenter le nombre de ressources r´ eseau. Les administrateurs r´ eseau intensifient souvent le d´ eploiement de points d’acc` es (AP), ce qui entraˆıne une densification du r´ eseau. Cependant, la densification des AP peut cau- ser des r´ eseaux mal planifi´ es et non coordonn´ es avec des performances sous-optimales en terme d’utilisation des res- sources disponibles.

De nombreux mod` eles analytiques et simulateurs de r´ e- seaux ont ´ et´ e d´ evelopp´ es pour en faciliter la planification et l’´ evaluation des performances. La plupart des mod` eles WLAN reposent sur une approche constructive, c’est-` a- dire qu’ils tentent de capturer le vrai comportement du r´ eseau en mettant en œuvre une version simplifi´ ee de ses m´ ecanismes internes. Le travail pr´ ecurseur de Bianchi [2]

utilise des chaˆınes de Markov pour mod´ eliser le r´ eseau ` a un niveau d’abstraction tr` es fin, en tenant compte du com- portement de chaque transmission de paquet individuelle.

Les mod` eles qui impl´ ementent un niveau d’abstraction tr` es fin rencontreront des probl` emes de complexit´ e pour des r´ eseaux plus grands. Les auteurs de [1] proposent une approche de mod´ elisation ` a deux niveaux. Le mod` ele de

bas niveau est une version de la chaˆıne de Markov originale de Bianchi, tandis que le mod` ele de haut niveau consiste en un ensemble de files d’attente de type M/M/1/K, o` u chaque file d’attente repr´ esente un nœud donn´ e du r´ eseau.

D’autres auteurs ont choisi de mod´ eliser les WLANs en utilisant uniquement un haut niveau d’abstraction et en ne prenant pas en compte le comportement de chaque trans- mission de trame. ` A l’inverse, ils mod´ elisent le r´ eseau dans son ensemble en fonction de sa topologie. Dans [4], les chaˆınes de Markov sont utilis´ ees pour mod´ eliser et ´ evaluer l’´ equit´ e et la r´ eutilisation spatiale. Les auteurs de [8] uti- lisent un espace d’´ etat similaire ` a [4] pour construire un mod` ele Markovien de type Divide and Conquer. Le mod` ele pr´ edit les d´ ebits des nœuds dans les WLANs non satur´ es avec des topologies al´ eatoires.

Cependant, la complexit´ e et la taille croissante des

WLANs peuvent entraver l’utilisation de mod` eles

constructifs. Une solution possible pourrait ˆ etre

d’impl´ ementer les m´ ethodes existantes d’apprentis-

sage automatique (ML pour Machine Learning). Les

techniques de ML gagnent en popularit´ e dans tous les

domaines o` u d’immenses quantit´ es de donn´ ees sont

disponibles. Le traitement du signal sur graphe (GSP) est

r´ ecemment apparu comme un outil pour le traitement des

donn´ ees d´ efinies sur une structure de r´ eseau sous-jacente,

cod´ ee par un graphe. Cette structure peut repr´ esenter les

connexions d’amiti´ e dans un r´ eseau social, les connexions

neuronales dans le cerveau ou les liens dans un r´ eseau in- formatique. Shuman et al. [7] ont d´ evelopp´ e une approche d’analyse spectrale utilisant le Laplacien de graphe comme la base de GSP. ` A partir de la d´ ecomposition spectrale du Laplacien, ils d´ efinissent des op´ erations ´ el´ ementaires telles que le filtrage, la translation et la convolution.

Sandryhaila et Moura [6] abordent le sujet du point de vue du traitement du signal alg´ ebrique et d´ eveloppent la m´ ethodologie de traitement du signal num´ erique sur graphes (DSP

). Les auteurs fournissent la base de DSP

en choisissant la matrice d’adjacence comme op´ erateur de translation. Ils montrent alors comment leur approche peut ˆ etre utilis´ ee dans un cadre de pr´ ediction lin´ eaire.

De nombreux travaux ont utilis´ e la th´ eorie d´ evelopp´ ee dans ces deux articles pour r´ epondre ` a des questions telles que la reconstruction du signal de graphe [3] ou la classification semi-supervis´ ee [5].

A notre connaissance, les m´ ` ethodes GSP n’ont pas en- core ´ et´ e appliqu´ ees ` a la mod´ elisation des performances des WLANs. Dans cet article, nous proposons une traduction et une adaptation de la m´ ethodologie GSP et DSP

de [6]

au contexte des WLANs. Nous consid´ erons que le fonction- nement interne du WLAN est inconnu et que nous n’avons acc` es qu’` a la topologie et ` a la demande de d´ ebit de chaque nœud. Cette approche nous permet d’´ eviter une partie de la complexit´ e associ´ ee aux mod` eles constructifs, car les fonctions et param` etres du r´ eseau ne sont jamais explici- tement mod´ elis´ es. Notre mod` ele utilise des op´ erateurs de translation “sur mesure” qui nous permettent de capturer plus pr´ ecis´ ement le comportement du WLAN.

2 Description du Syst` eme

Le syst` eme que nous consid´ erons est un WLAN, que nous d´ efinissons comme un r´ eseau sans fil impl´ ementant le standard IEEE 802.11 dans les couches physiques et le contrˆ ole d’acc` es au canal. Pour une description plus d´ etaill´ ee, nous invitons le lecteur ` a consulter nos travaux pr´ ec´ edents [8]. Chaque WLAN est compos´ e des points d’acc` es (AP) et des stations utilisateur. La port´ ee d’un nœud contient tous les autres nœuds dont les transmis- sions peuvent ˆ etre d´ etect´ ees. Les port´ ees jouent un rˆ ole important dans l’´ evaluation de la capacit´ e de transmis- sion du WLAN car elles d´ eterminent avec qui et com- ment les nœuds doivent partager la capacit´ e du canal.

Par cons´ equent, on utilise g´ en´ eralement les port´ ees pour repr´ esenter un WLAN comme un graphe de conflit. Dans un graphe de conflit deux sommets partagent un lien si les nœuds du r´ eseau correspondant sont ` a la port´ ee l’un de l’autre.

Les nœuds qui partagent un lien dans le graphe de conflit sont dits voisins et nous supposons que les port´ ees sont sym´ etriques (si le noeud m est ` a la port´ ee du noeud n, alors n est aussi ` a la port´ ee de m). Par example, les trois nœuds en gris dans la Fig. 1a peuvent ´ emettre simultan´ ement car

ils ne d´ etectent pas les transmissions des (deux) autres.

Notons que seuls les AP du r´ eseau sont pris en compte dans le graphe de conflit (les stations utilisateur ne le sont pas), car les t´ el´ echargements depuis les AP constituent la grande majorit´ e du trafic r´ eseau.

(a) N = 9. (b) N = 10. (c) N = 11.

Figure 1: Des graphes de conflit.

Chaque AP est caract´ eris´ e par le d´ ebit maximal qu’il peut atteindre s’il ´ etait seul dans le r´ eseau, c’est-` a-dire en utilisant toute la capacit´ e disponible. Nous d´ esignons le d´ ebit maximal de l’AP n par t

, une quantit´ e exprim´ ee en Mbps. L’AP n’a pas n´ ecessairement besoin d’´ emettre ` a son d´ ebit maximal, parce que la demande de d´ ebit peut ˆ

etre inf´ erieure. Nous d´ esignons la demande de d´ ebit de l’AP par t

(t

≤ t

) et nous en d´ eduisons le taux d’entr´ ee. Le taux d’entr´ ee de l’AP n, not´ e x

, est sim- plement la proportion de son d´ ebit maximal qu’il sou- haite utiliser : x

=

n,max

. Par d´ efinition, x

∈ [0, 1], o` u x

= 0 signifie que l’AP ne veut jamais transmettre, alors que x

= 1 signifie que l’AP souhaite transmettre ` a pleine capacit´ e (en saturation). De mani` ere analogue, nous d´ efinissons le taux de sortie d’un AP, y

, comme le rapport du d´ ebit atteint par l’AP et son d´ ebit maximal. Il va de soi que y

≤ x

, car l’AP ne peut pas atteindre un d´ ebit sup´ erieur au d´ ebit demand´ e.

3 Approche de Mod´ elisation

Le traitement de signal sur graphe est un nouveau do- maine de recherche qui cherche ` a ´ etendre la th´ eorie du trai- tement des s´ eries temporelles (DSP) aux donn´ ees struc- tur´ ees, c’est ` a dire dont le support de mesure peut ˆ etre un graphe, g´ en´ eralisation de la chaine ou du cycle des temps discrets des s´ eries temporelles. Nous proposons ici un mod` ele de traitement de signal sur graphe (GSP) pour pr´ edire le d´ ebit atteint de chaque nœud en fonction de la topologie du r´ eseau et des demandes de d´ ebit. Les m´ ethodes pr´ esent´ ees ici sont inspir´ ees de la th´ eorie du trai- tement du signal discret sur graphes (DSP

) d´ evelopp´ ee dans [6].

Nous commen¸ cons par la d´ efinition du graphe et son signal. Nous utilisons le graphe de conflit du r´ eseau, G = (V, A), o` u V = {v

, v

, ..., v

} est l’ensemble des nœuds du r´ eseau, et A est la matrice d’adjacence pond´ er´ ee :

A

=

t

, si n et m sont voisins

0, sinon. (1)

Nous soulignons que notre choix d’utiliser une matrice

non-sym´ etrique est compatible avec le cadre th´ eorique de

DSP

d´ evelopp´ e par Sandryhaila et Moura [6]. Le signal

x est une fonction ` a valeur r´ eelle d´ efinie sur les nœuds du graphe, de sorte que chaque nœud v

est associ´ e ` a un scalaire donn´ e x

. Dans notre mod` ele, le signal d’entr´ ee x correspond aux taux d’entr´ ee sur les nœuds et le signal de sortie y, aux taux de sortie.

Le traitement du signal classique nous fournit les ou- tils n´ ecessaires pour analyser et transformer les signaux ` a l’aide de filtres lin´ eaires. Le filtre le plus ´ el´ ementaire est la translation temporelle, qui prend un signal d’entr´ ee et le retarde d’un ´ echantillon. Dans le traitement du signal sur graphe, les signaux ne sont pas li´ es ` a un instant donn´ e, mais ` a un nœud d’un graphe. Ainsi, la notion de compo- sante temporelle est perdue au profit de celle de compo- sante structurelle (ou spatiale). L’´ equivalent de la transla- tion temporelle devient alors la translation sur graphe [6]

˜

x, d´ efinie comme l’action de la matrice d’adjacence sur le signal : ˜ x = Ax.

Les filtres qui nous int´ eressent sont les filtres de moyenne mobile (MA) ` a r´ eponse impulsionnelle finie, o` u la sortie du filtre correspond ` a la somme pond´ er´ ee de toutes les p = 0, . . . P it´ erations de la translation, o` u P d´ esigne l’ordre du filtre. La relation d’entr´ ee-sortie d’un filtre MA sur graphe s’´ ecrit alors :

y =

P

X

p=0

α

A

x , (2)

o` u α = [α

α

... α

] est le vecteur des coefficients du filtre d’ordre P . L’action de A

a pour effet de diffu- ser l’information initialement localis´ ee en un nœud du r´ eseau ` a ses voisins distants de p sauts dans le graphe.

Par cons´ equent, l’ordre du filtrage doit logiquement ˆ etre limit´ e au diam` etre du r´ eseau. De plus, nous savons que dans un r´ eseau WLAN, les voisins situ´ es ` a plus de trois ou quatre sauts ont un impact n´ egligeable sur le d´ ebit d’un nœud. Cette propri´ et´ e physique des r´ eseaux WLAN contraint donc l’ordre des filtres raisonnables ` a de faibles valeurs de P, et ce, mˆ eme pour des r´ eseaux de grands diam` etres. Un ordre de filtre trop ´ elev´ e conduirait ` a un surapprentissage.

L’op´ erateur A

dans l’expression (2) ayant pour effet de connecter deux nœuds du graphe distants de p sauts, le nombre de chemins possibles entre deux nœuds risque donc d’augmenter rapidement avec l’ordre du filtre. Ainsi, l’effet de deux nœuds directement connect´ es sera captur´ e par le coefficient α

, et si ces deux mˆ emes nœuds se re- trouvent connect´ es par un autre chemin ` a p > 1 sauts, les op´ erateurs A et A

deviennent ici redondants. Cela ce tra- duira donc par un coefficient α

tr` es petit. En revanche, si la distance (i.e, plus court chemin) entre deux nœuds du graphe est ´ egale ` a p > 1, α

ayant ´ et´ e sous-estim´ e par les configurations pr´ ec´ edentes, il risque de ne pas rendre compte de l’impact des plus courts chemins ` a p sauts. Pour corriger ce probl` eme, nous proposons ci-dessous deux nou- velles matrices de translation mieux adapt´ ees au contexte particulier des WLANs.

Matrice des nouveaux chemins. Not´ ee A

, cette

matrice est telle que l’´ el´ ement (n, m) de A

corres- pond au nombre de nouveaux chemins de longueur p entre les nœuds n et m. Si un chemin de longueur inf´ erieure

`

a p sauts existe d´ ej` a entre n et m, alors le (n, m)-` eme

´

el´ ement de A

vaut z´ ero. Notons que pour un r´ eseau donn´ e toutes les valeurs de A

pour p plus grand que le diam` etre du r´ eseau sont des z´ eros.

Matrice des nouvelles cliques. Nous avons ´ etabli dans [8] que le comportement d’un nœud WLAN d´ epend for- tement du nombre maximal de cliques auquel il appar- tient. Nous proposons donc la matrice nouvelles cliques, A

, qui ` a l’ordre p est simplement la matrice d’adja- cence pond´ er´ ee par le nombre de cliques que le noeud n peut atteindre en p sauts. Par exemple, pour p = 2 et le r´ eseau ` a neux nœuds de la Fig. 1a, nous avons C

= diag(2, 2, 2, 2, 5, 3, 3, 3, 2) et A

= A C

. L’ordre de cette matrice est ´ egalement limit´ e par le diam` etre du graphe. Il est important de noter qu’en utilisant ces nouveaux objets (A

et A

), nous sortons du cadre alg´ ebrique des filtres MA classiques, car les ordres p des ces op´ erateurs dans l’expression (2) ne correspondent plus

`

a la puissance p de l’op´ erateur de translation.

4 R´ esultats Num´ eriques

Nous ´ etudions maintenant la pr´ ecision de notre mod` ele en comparant ses r´ esultats avec ceux fournis par le simu- lateur de r´ eseau ns-3, et ceci, pour diff´ erentes topologies de r´ eseau. Nous utilisons comme crit` ere de comparaison, l’erreur relative moyenne, E = P

n=1

| b y

− y

|/ P

y

, o` u y b

est le taux de sortie du noeud n pr´ edit par notre mod` ele, et y

est le taux de sortie fourni par le simula- teur. Par manque de place, nous ne pr´ esenterons ici que les r´ esultats obtenus pour les trois r´ eseaux de la Fig. 1.

Toutefois ces trois r´ eseaux pr´ esentent des caract´ eristiques diff´ erentes. En particulier, les degr´ es des noeuds du r´ eseau de la Fig. 1b sont plus h´ et´ erog` enes.

Les nœuds g´ en` erent un trafic de type Poisson d’intensit´ e al´ eatoire r´ epartie uniform´ ement sur [0.1, t

] Mbps. Le simulateur ns-3 nous donne alors des jeux d’apprentissage (x, y) sur lesquels calibrer notre mod` ele (2). Le vecteur de param` etres α est obtenu par r´ egression lin´ eaire du mod` ele, impliquant l’inversion d’une matrice de taille N × N P , o` u N d´ esigne le nombre de nœuds et P l’ordre du filtre.

Compte tenu de la taille des WLANs et de P N , cette op´ eration n’est jamais tr` es coˆ uteuse. Pour une topologie donn´ ee, nous identifions les coefficients α pour plusieurs r´ ealisations ind´ ependantes du jeu d’apprentissage (x, y).

Nous choisissons la moyenne

des α ainsi calcul´ es comme jeu de param` etre du filtre de pr´ ediction.

Nous d´ eterminons tout d’abord la taille de l’ensemble d’apprentissage n´ ecessaire pour atteindre une pr´ ecision d’estimation des coefficients du filtre satisfaisante. En fai- sant varier le nombre de r´ ealisations de (x, y) de 10 ` a 100, on voit (cf. Fig. 2a) que dans le cas d’un r´ eseau ` a neuf

1. Le choix de la m´ediane donne des r´esultats comparables.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.2

0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3

(a) Coeff. de variation de α.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28

(b) Erreur de mod´ elisation.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38

(c) Erreur de pr´ ediction.

Figure 2: La variation des coefficients du filtre et l’erreur relative moyenne du mod` ele.

nœuds, avec des poids t

identiques ou diff´ erents pour tous les liens, le coefficient α

atteint une valeur asymp- tote ` a partir de 50 r´ ealisations. C’est donc cette valeur que nous retenons pour la taille de l’ensemble d’apprentissage, ainsi que pour l’ensemble des r´ esultats suivants.

Les figures 2b et 2c illustrent les erreurs de mod´ elisation (apprentissage) et de pr´ ediction (validation) dans le cas des trois r´ eseaux d´ ecrits et lorsque les liens ont des poids t

diff´ erents. Nous comparons les trois op´ erateurs de translation d´ efinis ` a la section 3 et l’ordre du filtre varie de P = 1 ` a 4 ou 5, selon le diam` etre du r´ eseau consid´ er´ e. Les erreurs sont ensuite moyenn´ ees sur les 50 r´ ealisations du jeu d’apprentissage, ou de validation. S’agissant de l’er- reur de mod´ elisation, nous observons que pour un type de r´ eseau donn´ e, tous les op´ erateurs conduisent ` a des er- reurs du mˆ eme ordre. On note cependant, que l’op´ erateur de nouvelles cliques A

offre tr` es souvent des perfor- mances l´ eg` erement meilleures que A et A

. Pour le filtre d’ordre 3, nous obtenons une erreur de mod´ elisation au- tour de 10 ou 20%.

Concernant l’erreur de pr´ ediction, les meilleures per- formances sont le plus souvent obtenues avec l’op´ erateur A

, avec des erreurs de pr´ ediction de l’ordre de 21%, 25% et 30% pour les r´ eseaux de Fig. 1c, 1a et 1b, respecti- vement. En approfondissant notre analyse, nous avons re- marqu´ e que les r´ eseaux qui ont des nœuds plus homog` enes (tel que le r´ eseau ` a 11 nœuds) sont plus pr´ ecis´ ement d´ ecrits par notre mod` ele. En revanche, les r´ eseaux dont le degr´ e des nœuds est tr` es h´ et´ erog` ene (tel que le r´ eseau ` a 10 nœuds), ´ echappent d’avantage ` a une mod´ elisation par un filtre de type MA. Dans ce cas, le choix de l’op´ erateur de translation sur graphe n´ ecessite certainement d’ˆ etre ex- plor´ e plus en d´ etail.

5 Conclusions

Dans cet article, nous avons propos´ e un mod` ele de trai- tement de signal sur graphe (GSP) pour les WLANs.

Cette approche peut ˆ etre une alternative int´ eressante aux mod´ elisations constructives qui sont limit´ ees par leur com- plexit´ e face ` a des tailles de WLAN trop importantes. En supposant avoir ` a disposition un nombre suffisant de jeux

d’apprentissage, nous avons montr´ e comment les tech- niques GSP peuvent ˆ etre utilis´ ees pour mod´ eliser les per- formances r´ eseau d’un WLAN. Nous avons ´ egalement pro- pos´ e diff´ erents op´ erateurs de translation sur graphe, sus- ceptibles de remplacer la matrice d’adjacence classique, et mieux adapt´ es aux propri´ et´ es sp´ ecifiques des WLANs.

Les r´ esultats num´ eriques obtenus ` a partir de donn´ ees d’apprentissage issues d’un simulateur de r´ eseau ` a

´

ev´ enements discrets : (i) valident l’int´ erˆ et de concevoir des op´ erateurs de translation ad´ equats au syst` eme phy- sique ; (ii) montrent que les performances de mod´ elisation et de pr´ ediction sur le d´ ebit des points d’acc` es, bien qu’encore modestes, nous encouragent ` a poursuivre le d´ eveloppement des outils GSP dans le cadre de l’analyse des WLANs. Dans nos prochains travaux, nous ´ etudierons de nouveaux op´ erateurs de translation mais aussi des tech- niques sur mesure de codage de graphe pour les WLANs.

Nous chercherons aussi ` a valider notre approche sur des jeux de donn´ ees provenant d’un v´ eritable banc d’essai WLAN.

R´ ef´ erences

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