MC4 – Approche descriptive du fonctionnement d’un véhicule à roues I – Présentation du véhicule
I-1) Véhicule à roues en translation uniforme
Le véhicule est constitué de plusieurs systèmes : - Les roues
- Le reste du système que l’on modélisera par un plateau.
Le véhicule est donc constitué de cinq solides : les roues sont supposées identiques et possèdent une masse m et le plateau à une masse M. Le plateau est animé d’un mouvement de translation uniforme à la vitesse 𝑉𝑉�⃗ = 𝑉𝑉 𝑢𝑢����⃗𝑥𝑥.
Les roues sont modélisées par des disques pleins de rayon a, de masse m et de moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation J.
Les roues tournent à la vitesse angulaire ω. Comme le véhicule possède un mouvement rectiligne uniforme, le référentiel lié au véhicule est donc galiléen.
On étudiera dans un premier temps un véhicule tracté puis un véhicule motorisé.
I-2) Roulement sans glissement
a) Condition de roulement sans glissement
À l’instant t, le point de contact de la roue sur le sol est I(t). Il coïncide avec le point I du sol.
À l’instant t +dt, ce point de contact est J(t +dt), qui coïncide avec le point J du sol. Le point I(t) est maintenant en I(t+dt) alors que le point J(t+dt) se trouvait à l’instant t en J(t).
Si la roue ne glisse pas on a alors :
𝐼𝐼(𝑡𝑡)𝐽𝐽(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡)𝐽𝐽(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) = 𝐼𝐼′𝐽𝐽′ Or :
� 𝐼𝐼′𝐽𝐽′ = 𝑉𝑉𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐼𝐼(𝑡𝑡)𝐽𝐽(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎ω𝑑𝑑𝑡𝑡
b) Vitesse de glissement
On appelle vitesse de glissement 𝑣𝑣����⃗𝐺𝐺(𝐼𝐼) de 𝑆𝑆1 sur 𝑆𝑆2 en I à l’instant t, le vecteur :
𝑣𝑣����⃗(𝐼𝐼) =𝐺𝐺 𝑣𝑣⃗�𝐼𝐼𝑆𝑆1��𝑅𝑅 − 𝑣𝑣⃗�𝐼𝐼𝑆𝑆2��𝑅𝑅
La condition de non glissement de la roue sur le sol s’écrit : 𝑎𝑎ω = 𝑉𝑉
Dans notre cas : 𝑣𝑣𝐺𝐺
����⃗(𝐼𝐼) = 𝑣𝑣⃗(𝐼𝐼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟)|𝑅𝑅𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
La vitesse de glissement de la roue est définie comme étant la vitesse du point de contact dans le référentiel où le support est fixe.
Quand il n’y a pas de glissement, cette vitesse est nulle.
On définit le référentiel 𝑅𝑅𝐶𝐶, d’origine C, en translation par rapport au référentiel lié au sol. Dans ce référentiel, chaque point de la roue est animé d’un mouvement circulaire de centre C à la vitesse angulaire ω.
- La vitesse du point de contact I dans 𝑅𝑅𝐶𝐶 est donc : 𝑣𝑣⃗(𝐼𝐼)|𝑅𝑅𝑐𝑐 = −𝑎𝑎ω 𝑢𝑢����⃗𝑥𝑥
- La vitesse d’entraînement : 𝑣𝑣���⃗𝑟𝑟 = 𝑉𝑉 𝑢𝑢����⃗𝑥𝑥 Donc :
𝑣𝑣⃗(𝐼𝐼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟)|𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 = (𝑉𝑉 − 𝑎𝑎ω )𝑢𝑢����⃗𝑥𝑥
La condition de roulement sans glissement s’écrit : 𝑣𝑣⃗(𝐼𝐼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟)|𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 = 0�⃗ ⇒ 𝑉𝑉 = 𝑎𝑎ω
II – Véhicule tracté
II-1) Bilan des forces
Le véhicule est par exemple une voiture à cheval, l’attelage exerçant une force constante 𝐹𝐹⃗ = 𝐹𝐹 𝑢𝑢����⃗ 𝑥𝑥 sur la voiture.
L’étude se fait dans le référentiel lié au sol dans lequel la voiture est animée d’un mouvement de translation rectiligne et uniforme de vitesse : 𝑉𝑉�⃗ = 𝑉𝑉 𝑢𝑢����⃗𝑥𝑥. Ce référentiel est considéré comme étant galiléen.
La route est horizontale.
La voiture subit :
- Son poids, 𝑃𝑃�⃗ = (𝑀𝑀 + 4𝑚𝑚) 𝑔𝑔⃗ = 𝑀𝑀𝑇𝑇𝑔𝑔⃗
- La force de traction de l’attelage : 𝐹𝐹⃗ = 𝐹𝐹 𝑢𝑢����⃗𝑥𝑥 - La résistance de l’air : 𝑓𝑓������⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟 = −ℎ𝑉𝑉2𝑢𝑢����⃗𝑥𝑥
- L’action du sol sur chacune des roues, comportant une composante normale à la route et une force de frottement tangente à celle-ci. Nous supposerons pour raison de symétrie que l’action de la route est la même sur chaque roue :
𝑅𝑅�⃗ = 𝑅𝑅�����⃗𝑁𝑁 + 𝑅𝑅�����⃗𝑇𝑇
- La composante tangentielle de la réaction s’oppose toujours à la vitesse de glissement, ainsi son sens dépendra de la situation envisagée :
𝑅𝑅𝑇𝑇
�����⃗ = 𝑅𝑅𝑇𝑇𝑢𝑢����⃗ 𝑜𝑜ù 𝑅𝑅𝑥𝑥 𝑇𝑇 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔é𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑢𝑢𝑒𝑒 II-2) Loi de la quantité de mouvement
La voiture est en translation rectiligne et uniforme, sa quantité de mouvement totale, somme des quantités de mouvement des éléments qui la compose, est donc constante au cours du temps. La loi de la quantité de mouvement appliquée à la voiture dans le référentiel lié à la route s’écrit donc :
𝑝𝑝⃗ + 𝐹𝐹⃗ + 4𝑅𝑅�⃗ + 𝑓𝑓������⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟 = 0�⃗
D’où en projection :
� −𝑀𝑀𝑇𝑇𝑔𝑔⃗+ 4𝑅𝑅𝑁𝑁 = 0 𝐹𝐹 + 4𝑅𝑅𝑇𝑇 − ℎ𝑉𝑉2 = 0
II-3) Cas où les roues sont bloquées
Si les roues étaient bloquées, la relation entre 𝑅𝑅𝑇𝑇 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑅𝑅𝑁𝑁 serait, d’après les lois de Coulomb sur le frottement :
|𝑅𝑅𝑇𝑇| = µ𝑅𝑅𝑁𝑁
Où µ est le coefficient de frottement entre la roue et le sol. De plus, 𝑅𝑅𝑇𝑇
�����⃗ s’opposant au mouvement, est dirigée selon −𝑢𝑢����⃗𝑥𝑥 donc 𝑅𝑅𝑇𝑇 < 0.
Roues bloquées Dans ce cas :
� −𝑀𝑀𝑇𝑇𝑔𝑔⃗+ 4𝑅𝑅𝑁𝑁 = 0
𝐹𝐹 − 4|𝑅𝑅𝑇𝑇|− ℎ𝑉𝑉2 = 0 𝑑𝑑𝑜𝑜𝑑𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒 𝐹𝐹 = ℎ𝑉𝑉2 + µ𝑀𝑀𝑇𝑇𝑔𝑔
La force de traction doit compenser la résistance de l’air et les frottements du sol.
II-4) Théorème du moment cinétique
Le référentiel lié au véhicule est en translation rectiligne et uniforme par rapport au référentiel lié à la route. Il est donc galiléen.
Dans ce référentiel, chaque roue est animée d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe.
Une roue est soumise à :
- Son poids, appliqué en son centre de masse C ;
- L’action de liaison avec l’axe de la roue que l’on supposera parfaite ;
- L’action de la route.
On applique la loi du moment cinétique à une roue dans le référentiel lié à la voiture par rapport à son axe ∆, fixe dans ce référentiel :
𝐽𝐽𝑑𝑑𝐽𝐽
𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑀𝑀���∆�𝑃𝑃�⃗�
0,𝑝𝑝𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑠𝑠′𝑎𝑎𝑥𝑥𝑟𝑟
+ 𝑀𝑀∆�𝑅𝑅�⃗� + 𝑀𝑀���������∆(𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑)
0 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟
𝐽𝐽𝑑𝑑𝐽𝐽
𝑑𝑑𝑡𝑡 = −𝑎𝑎𝑅𝑅𝑇𝑇 Mais ω = 𝑉𝑉
𝑎𝑎 = 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒 s’il n’y pas de glissement, donc finalement : En l’absence de glissement : 𝑅𝑅𝑇𝑇 = 0 et 𝐹𝐹 = ℎ𝑉𝑉2
II-5) Théorème de l’énergie cinétique
Le théorème de l’énergie cinétique appliquée au véhicule donne :
∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = � 𝑊𝑊(𝑝𝑝⃗ + 𝐹𝐹⃗ + 4𝑅𝑅�⃗ + 𝑓𝑓������⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟)
⇔ ∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊�𝐹𝐹⃗� + 𝑊𝑊�𝐹𝐹⃗𝑝𝑝𝑟𝑟𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑓𝑓𝑟𝑟𝑓𝑓𝑝𝑝𝑠𝑠� 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑃𝑃�⃗ 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑅𝑅�����⃗𝑁𝑁 ⊥ 𝑉𝑉�⃗
Le travail fourni par l’attelage (opérateur) sert uniquement à compenser les frottements.
Si la roue ne glisse pas alors 𝑅𝑅�����⃗𝑇𝑇 = 0�⃗ et le travail fourni par l’attelage sert à compenser la résistance de l’air.
La force de traction compense exactement la résistance de l’air.
Elle est plus faible que si les roues étaient bloquées.
III – Véhicule motorisé
III-1) Loi de la quantité de mouvement
Le véhicule est maintenant une voiture munie d’un moteur.
Celui-ci exerce sur les roues avant le couple moteur Γ⃗ = Γ 𝑢𝑢����⃗𝑦𝑦. La route est toujours horizontale.
Le bilan des forces appliquées à la voiture est le même que dans la partie précédente, à l’exception de la force 𝐹𝐹⃗. Maintenant, l’action de la route sur les roues avant et arrière ne peut pas être identique, compte tenu de la dissymétrie imposée par la présence du moteur. Il vient donc :
𝑃𝑃�⃗ + 2𝑅𝑅�⃗𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑅𝑅�⃗𝑎𝑎𝑟𝑟 + 𝑓𝑓⃗𝑎𝑎𝑝𝑝𝑟𝑟 = 0�⃗
En projection, on obtient :
�𝑆𝑆𝑢𝑢𝑏𝑏 𝑂𝑂𝑂𝑂 ∶ −𝑀𝑀𝑇𝑇𝑔𝑔 + 2𝑅𝑅𝑁𝑁,𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑅𝑅𝑁𝑁,𝑎𝑎𝑟𝑟 = 0 𝑆𝑆𝑢𝑢𝑏𝑏 𝑂𝑂𝑂𝑂 ∶ −ℎ𝑉𝑉2 + 2𝑅𝑅𝑇𝑇,𝑎𝑎𝑟𝑟 + 2𝑅𝑅𝑇𝑇,𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0 III-2) Loi du moment cinétique pour les roues
Une roue avant est soumise à :
- Son poids, appliqué en son centre de masse C ;
- L’action de liaison avec l’axe de la roue supposée parfaite ; - Au couple moteur ;
- L’action de la route.
On applique la loi du moment cinétique à une roue avant dans le référentiel lié à la voiture :
𝐽𝐽𝑑𝑑𝐽𝐽
𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑀𝑀���∆�𝑃𝑃�⃗�
0,𝑝𝑝𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑠𝑠′𝑎𝑎𝑥𝑥𝑟𝑟
+ 𝑀𝑀∆�𝑅𝑅�⃗� + 𝑀𝑀∆(𝑚𝑚𝑜𝑜𝑡𝑡𝑒𝑒𝑢𝑢𝑏𝑏) + 𝑀𝑀���������∆(𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑)
0 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟
Donc :
0 = −𝑎𝑎𝑅𝑅𝑇𝑇,𝑎𝑎𝑎𝑎 + Γ Et pour les roues arrière : 0 = −𝑎𝑎𝑅𝑅𝑇𝑇,𝑎𝑎𝑟𝑟 2
Par conséquent la projection sur Ox devient :
−ℎ𝑉𝑉2 + 2𝑅𝑅𝑇𝑇,𝑎𝑎𝑟𝑟 + 2𝑅𝑅𝑇𝑇,𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0
⇔ ℎ𝑉𝑉2 = 2𝑅𝑅𝑇𝑇,𝑎𝑎𝑎𝑎
⇔ ℎ𝑉𝑉2 = Γ
Ce qui montre que c’est parce qu’il y a des frottements avec la route, 𝑎𝑎 donc parce 𝑅𝑅𝑇𝑇,𝑎𝑎𝑎𝑎est non nulle, que la voiture avance.
III-3) Bilan de puissance
Le bilan de puissance cinétique s’écrit : 𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑝𝑝𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑓𝑓𝑝𝑝 + 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑥𝑥𝑝𝑝 = 0 - Le poids ne travaille pas car déplacement horizontal.
- La voiture roule sans glisser sur le sol donc le point de la roue en contact avec le sol a une vitesse nulle par rapport à celui-ci.
La réaction de la route est appliquée en un point de vitesse nulle, sa puissance est nulle.
- Les liaisons sont parfaites Donc :
0 = −ℎ𝑉𝑉3 + Γω ⇔ ℎ𝑉𝑉3 = Γ𝑉𝑉
𝑎𝑎 ⇔ ℎ𝑉𝑉2 = Γ
Si la route monte, le moteur sert également à compenser la 𝑎𝑎 pesanteur. Finalement, sur une route horizontale, c’est essentiellement à cause de la résistance de l’air que l’on doit s’arrêter à la station-service pour faire le plein.
L’action tangentielle de la route sur la roue sans glissement est :
� 𝑅𝑅𝑇𝑇,𝑎𝑎𝑟𝑟 = 0 𝑅𝑅𝑇𝑇,𝑎𝑎𝑎𝑎 = Γ 2𝑎𝑎
