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APPROCHE DESCRIPTIVE D’UN VÉHICULE À ROUES
L'objet de ce chapitre est l'étude simplifiée d'un véhicule à roues. Nous étudierons le cas d'un véhicule tracté puis celui d'un véhicule motorisé, en essayant de mettre en évidence le rôle des différents éléments dans la propulsion du véhicule.
Pour simplifier, nous nous limiterons au cas d'un véhicule en translation rectiligne et uniforme.
1. Présentation du dispositif
a. Description
Dans une première partie, nous étudierons un véhicule tracté, comme on en voit dans beaucoup de films. Ce pourrait être par exemple une calèche tirée par des chevaux, comme dans un western, ou un char romain comme dans le film Ben-Hur.
Dans la seconde partie, le véhicule sera motorisé. Ce sera par exemple une voiture où les roues motrices sont les roues avant.
Dans les deux cas, nous décomposerons le véhicule en deux parties : les roues d'une part, le reste du véhicule de l'autre.
Le reste du véhicule est assimilé à un solide de masseM , en translation à la vitesse constante V=V ex
.
Les roues sont identiques, elles sont représentées par des disques de rayona , de massem , en rotation autour de leur axe à la vitesse angulaireω . Le moment d'inertie d'une roue par rapport à son axe est notéJ .
Le véhicule ne glisse pas sur le sol, sauf dans le paragraphe 2.3 où on suppose les roues bloquées, donc glissant parfaitement sur le sol.
b. Condition de non glissement
Figure 1 : Non glissement de la roue sur le sol
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À l'instantt , le point de contact de la roue sur le sol estI t
( )
. Il coïncide avec le point I' du sol. À l'instantt + dt , ce point de contact estJ t(
+ dt)
, qui coïncide avec le point J' du sol. Le point( )
I t est maintenant en I t
(
+ dt)
alors que le point J t(
+ dt)
se trouvait à l'instant t enJ t( )
. La distance I J' ' est égale à I J' ' = Vdt et la longueur de l'arc de cercle I t J t( ) ( )
est égale à la longueur de l'arc de cercleI t(
+ dt J t) (
+ dt)
, avec :( ) ( ) (
) (
)
I t J t =I t + dt J t + dt =aωdt
Imaginons que la roue laisse une trace sur le sol au fur et à mesure qu'elle avance. La longueur de la trace I J' ' est exactement égale à la longueur de l'arc de cercle
( ) ( )
( ) ( )
I t J t = I t + dt J t+ dt puisque la roue ne glisse pas sur le sol.
La condition de non glissement de la roue sur le sol s'écrit : aω=V 2. Véhicule tracté
Le véhicule est par exemple une voiture à cheval, l'attelage exerçant une force constante F=F ex sur la voiture.
a. Bilan des forces appliquées au véhicule
L'étude se fait dans le référentiel lié au sol dans lequel la voiture est animée d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme de vitesse: V=V ex
. Ce référentiel est considéré comme étant galiléen. La route est horizontale.
Figure 2 : Forces appliquées au véhicule tracté
La voiture subit:
• son poids : P=
(
M + 4m g)
;• la force de traction de l'attelage: F =F ex
;
• la résistance de l'air: fair = −hV e2x
;
• l'action du sol sur chacune des roues, comportant une composante normale à la route et une force de frottement tangente à celle-ci. Nous supposerons pour raison de symétrie que
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l'action de la route est la même sur chaque roue : R = RN + RT
où RN =R eNz , avec
N 0
R > et RT =R eTx
avec RT algébrique (donc positif ou négatif).
b. Loi de la quantité de mouvement
La voiture est en translation rectiligne et uniforme, sa quantité de mouvement totale, somme des quantités de mouvement des éléments qui la compose, est donc constante au cours du temps. La loi de la quantité de mouvement appliquée à la voiture dans le référentiel lié à la route s'écrit donc :
4 air 0 P+ +F R+ f =
. En projection sur ex etez
, on obtient :
( )
2
4 4 0
4 0
N T
M m g R
F R hV
− + + =
+ − =
On note dans la suite :MT =M +4m , la masse totale du véhicule.
c. Cas où les roues sont bloquées
Si les roues étaient bloquées, la relation entre RT et RN serait, d'après les lois de Coulomb sur le frottement vues dans le cours de première année : RT =µRN où µ est le coefficient de frottement entre la roue et le sol. De plus, RT
s'opposant au mouvement, est dirigée selon −ex
doncRT < 0 . Dans ce cas :F =hV2+µM gT . La force de traction doit compenser la résistance de l'air et les frottements du sol.
d. Loi du moment cinétique pour les roues
Le référentiel lié au véhicule est en translation rectiligne et uniforme par rapport au référentiel lié à la route. Il est donc galiléen. Dans ce référentiel, chaque roue est animée d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe.
Une roue est soumise à:
• son poids, appliqué en son centre de masseC ;
• l'action de liaison avec l'axe de la roue que l'on supposera parfaite;
• l'action de la route.
Figure 3 : Forces appliquées à une roue
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On applique la loi du moment cinétique à une roue dans le référentiel lié à la voiture:
( ) ( ) ( )
Cy Cy Cy
J d P liaison R
dt
ω = + +
• Le poids est appliqué en C donc son moment par rapport à l'axe Cy est nul.
• La liaison est parfaite donc : Cy
(
liaison)
=0• La droite d'action de RN
passe par l'axe Cy donc son moment par rapport à l'axe Cy est nul.
• La force de frottement RT
a un moment non nul par rapport à l'axe de rotation de la roue.
Grâce au bras de levier, on peut dire que ce moment est égal à −a RT (le moment est négatif si RT est positif car dans ce cas RT a tendance à faire tourner la roue dans le sens négatif de l'axeCy ).
• Mais ω=V a/ , est constant, donc finalement:0=a RT , soit:RT =0 . Dans ce cas, F=hV2 . La force de traction compense exactement la résistance de l'air. Elle est plus faible que si les roues étaient bloquées, d'où l'intérêt des roues !
e. Prise en compte de la déformation des roues La modélisation précédente peut sembler simpliste.
En théorie, une roue rigide sur une surface plane devrait rouler indéfiniment puisqueRT =0 . Dans la pratique, ce n'est pas le cas en raison de la déformation du pneu :
Figure 4 : Déformation d'une roue au contact avec le sol
La déformation est fortement exagérée sur la figure 4. L'action R
de la route est appliquée en un point B tel que la droite d'action de RN
est située à la distance b en avant de la verticale passant par le centre C de la roue. Cette distance dépend des matériaux formant la roue et le sol (elle est plus grande si le chariot se déplace sur un terrain de sable mou que sur une route en asphalte) et de la pression des pneus (b est d'autant plus petite que le pneu est bien gonflé).
À faible vitesse, la résistance due à ce frottement est plus importante que la résistance de l'air.
À grande vitesse, il devient négligeable.
Typiquement : b0.01a .
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Le moment de RN
par rapport à l'axe Cy est donc maintenant égal à−bRN , que l'on notera −Γr (couple de frottement de roulement).
Le théorème du moment cinétique devient:−a RT −b RN = 0 , soit RT r a
− =Γ .
Finalement: 2 4 r 2 b T
F hV hV M g
a a
= + Γ = + .
La force de traction compense la résistance de l'air et le couple de frottement de roulement. Pour un contact caoutchouc - asphalte, µ est de l'ordre de 0,8 à 0,9, beaucoup plus grand queb a/ . La force de traction est évidemment encore une fois beaucoup plus petite que quand les roues sont bloquées : les roues sont toujours utiles!
f. Force maximale
D'après les lois de Coulomb sur le frottement vues en première année, la condition pour que la voiture ne glisse pas sur le sol est : RT <µRNoù µ est le coefficient de frottement entre la roue et le sol.
La force de traction F doit donc être inférieure à une valeur maximaleFmax :
2
max T
F <F =µM g+hV
Cette valeur maximale dépend de la masse totale du véhicule et du coefficient de frottement.
3. Véhicule motorisé
Le véhicule est maintenant une voiture munie d'un moteur. Celui-ci exerce sur les roues avant le couple moteur Γ = Γ ey
. La route est toujours horizontale.
Dans cette partie, on suppose que la vitesse du véhicule est suffisante pour que l'on puisse négliger le frottement de roulement pris en compte précédemment.
a. Loi de la quantité de mouvement
Le bilan des forces appliquées à la voiture est le même que dans la partie précédente, à l'exception de la force F
. Maintenant, l'action de la route sur les roues avant et arrière ne peut pas être identique, compte tenu de la dissymétrie imposée par la présence du moteur.
Il vient donc :
2 av 2 ar air 0 P+ R + R + f =
En projection sur ex et ez
, on obtient :
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, ,
2
, ,
2 2 0
2 2 0
N av N ar
T av T ar
Tg R R
R R hV
−M + + =
+ − =
b. Loi du moment cinétique pour les roues Une roue avant est soumise à:
• son poids, appliqué en son centre de masseC ;
• l'action de liaison avec l'axe de la roue supposée parfaite;
• au couple moteur;
• l'action de la route.
On applique la loi du moment cinétique à une roue avant dans le référentiel lié à la voiture:
( ) ( ) ( )
avCy Cy Cy
J d P moteur R
dt
ω = + +
En suivant la même démarche que pour le véhicule tracté, on obtient:0= −a RT av, + Γ . Pour les roues arrière, la même loi nous donne:0=a RT ar, .
Donc : ,
T av 2
R a
= Γ etRT ar, =0 .
c. Qu'est ce qui fait avancer le véhicule?
La loi de la quantité de mouvement permet d'écrire : hV2
a
=Γ
ce qui montre que c'est parce qu'il y a des frottements avec la route, donc parce RT av, est non nulle, que la voiture avance.
d. Bilan énergétique
La vitesse du véhicule et la vitesse de rotation des roues sont constantes donc l'énergie cinétique du véhicule également.
La voiture roule sans glisser sur le sol donc le point de la roue en contact avec le sol a une vitesse nulle par rapport à celui-ci. La réaction de la route est appliquée en un point de vitesse nulle, sa puissance est nulle.
La puissance fournie par le moteur sert donc uniquement à compenser la perte énergétique due à la résistance de l'air:
= 3 moteur hV
avec moteur= = V
ω Γa
Γ
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Si la route monte, le moteur sert également à compenser la pesanteur.
Finalement, sur une route horizontale, c'est essentiellement à cause de la résistance de l'air que l'on doit s'arrêter à la station-service pour faire le plein !
