Pour x∈[0,1], on pose f(x

Licence 2 Math33

Fiche n^o 4 : Fonctions d´efinies par des int´egrales

Exercice 1. Soit

f(x) = Z ^π

2

0

ln(1 +xsin²t)dt, pourx∈[0,+∞[.

1. Justifier quef est bien d´efinie et continue.

2. Etudier la d´erivabilit´e def sur [0,+∞[ et donner l’expression de sa d´eriv´ee via le changement de variablesu= tant.

3. Etablir quef(x) =π(ln(1 +√

1 +x)−ln 2).

Exercice 2. Pour x∈[0,1], on pose f(x) =

Z 1 0

e^|x−t|sin|x−t|dt.

Montrer quef est d´erivable et calculerf⁰(x).

Exercice 3. Pour x >0, on pose f(x) =^R_−x^{x √ dt}

1+t²√ x²−t².

1. Montrer que la fonctionf est bien d´efinie et que ∀x >0, on a f(x) =

Z 1

−1

√ dt

1 +x²t²√ 1−t². 2. D´eterminer la limite def en 0⁺.

Exercice 4. Etudier l’ensemble de d´efinition et la d´erivabilit´e de la fonctionf d´efinie parf(x) =

Z e 0

dt ln(tx).

Exercice 5. Etudier la continuit´´ e au point 0 de F d´efinie par F(0) = 0 et F(x) =

Z ₁

0

ln(1 +xt²)

t² dt si x >0.

Exercice 6. Etude et calcul de Z 1

0

t−1 lnt t^xdt.

Exercice 7. Pour n∈N^∗ etx∈]0; +∞[, on poseI_n(x) = Z +∞

0

1

(t²+x²)ⁿdt.

1. Montrer queI_n est d´erivable sur ]0,+∞[ et calculer sa d´eriv´ee.

2. En d´eduire la valeur de Z +∞

0

1

(t²+x²)³dt.

Exercice 8. Soit f :R→ Ccontinue, telle que ^R_−∞^+∞f(t)dt soit absolument conver- gente. Pourx∈R, on pose ˆf(x) =^R_−∞^+∞e^−2πixtf(t)dt.

1. Montrer que ˆf est bien d´efinie et continue sur R.

2. On suppose de plus que^R_−∞^+∞tf(t)dt est absolument convergente : montrer que fˆest de classeC¹ et calculer sa d´eriv´ee.

1

Exercice 9. On rappelle que ^R₀^+∞sin_t^tdt est semi-convergente : on se propose de la calculer. Pour toutx≥0, on pose

F(x) = Z +∞

0

sint

t e^−xtdt.

1. Montrer queF est de classeC¹ sur ]0; +∞[ et d´eterminer sa d´eriv´ee.

2. CalculerF⁰(x) puisF(x) pourx >0.

3. Soit, poutt≥0,G(t) = Z t

0

sinu u du.

(a) V´erifier que pour toutx >0,F(x) =x Z +∞

0

e^−xtG(t)dt puis que

F(x)−F(0) =x Z +∞

0

e^−xt(G(t)−F(0))dt.

(b) Montrer que pour tout ε >0, il existe A >0 tel que

∀x >0,

Z +∞

A

e^−xt(G(t)−F(0))dt

≤ ε 2x et en d´eduire que lim

x→0⁺F(x) =F(0).

4. Calculer Z +∞

0

sint t dt.

Exercice 10. Soit Γ la fonction d´efinie par Γ(x) =

Z +∞

0

e^−tt^x−1dt.

1. Montrer que Γ est ind´efiniment d´erivable sur R^∗₊ et que

∀n∈N^∗, ∀x∈R^∗₊, Γ⁽ⁿ⁾(x) = Z +∞

0

e^−t(lnt)ⁿt^x−1dt.

2. Montrer que Γ(1) = 1, que∀x >0, Γ(x+1) =xΓ(x), et que ln(Γ) est bien d´efinie et de d´eriv´ee seconde positive. (Remarque : ces trois propri´et´es caract´erisent en fait la fonction Γ)

Exercice 11. Pour tout x∈R, on pose F(x) = Z +∞

0

cos(tx)e^−t2dt.

1. Montrer que l’on d´efinit ainsi une fonctionF continue sur R.

2. Montrer queF est d´erivable surRet exprimerF⁰(x) sous forme d’une int´egrale.

3. Trouver une relation simple entreF⁰(x) et F(x).

4. Pour tout x ∈ R, on pose G(x) = e^x2/4F(x). Montrer que la fonction G est constante sur R. En admettant l’´egalit´e F(0) =

√π

2 , en d´eduire une expression explicite de F(x) pour tout x∈R.

2