On munit l’espace produitE×F de la normek(x, y)k=kxkE+kykF,qui en fait un espace de Banach

Universit´e de Lille M1 Math´ematiques

Partiel du 6 novembre 2019

Exercice 1

SoitE=`²(N^∗,R) l’ensemble des suitesu= (un)n de carr´e sommable muni de la normekuk₂=

q P+∞

n=1|u_n|², et

C={v= (vn)n∈N^∗∈E | ∀n∈N^∗, 0≤vn+1≤vn}

1. D´eterminer la s´erie de Fourier de la fonction 2π-p´eriodique d´efinie parf(x) =x² sur ]−π;π].

2. Montrer queC est une partie convexe compl`ete deE.

3. Soitu d´efinie par un= ⁽⁻¹⁾_nⁿ. D´eterminer la projection deu surC.

4. En d´eduire la valeur de dist(u, C).

Exercice 2

Soit (E,k · k_E) et (F,k · k_F) deux espaces de Banach. On munit l’espace produitE×F de la normek(x, y)k=kxk_E+kyk_F,qui en fait un espace de Banach.

Pour une application f : E → F, on note Γ_f := {(x, f(x)) | x ∈ E} son graphe.

1. Montrer que sif est continue, alors Γ_f est ferm´e dansE×F. 2. Donner un contre-exemple `a la r´eciproque de ce r´esultat dans le cas

E=F =R(on pourra penser `a une hyperbole...).

3. On suppose maintenant quef est lin´eaireet que Γ_f est ferm´e dans E×F, et on d´efinit N(x) =kxk_E+kf(x)k_F pour toutx∈E.

(a) Montrer que (E, N) est un espace de Banach.

(b) V´erifier que l’application ι : (E, N) → (E,k · k_E) d´efinie par ι(x) =xest continue. En d´eduire que les normesN etk · k_E sont

´

equivalentes.

(c) Montrer quef est continue.

4. On prend ici E l’ensemble des fonctions continues sur [0; 1] muni de la norme k · k₁, F l’ensemble des fonctions continues sur [0; 1] muni de la normek · k∞ etf :E →F l’application identit´e.

(a) Exhiber une suite de Cauchy non convergente dans (E,k · k₁).

(b) Montrer que Γ_f est ferm´e dans E ×F, mais que l’application lin´eaire f n’est pas continue.

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Exercice 3

Soit (K, d) un espace m´etrique compact, eta∈K fix´e. On suppose que A est une sous-alg`ebre deC(K,R) v´erifiant

∀x₁6=x₂, ∃f ∈ A |f(x₁)6=f(x₂)

∀f ∈ A, f(a) = 0

1. Donner un exemple pourA lorsqueK= [−1; 1] et a= 0.

2. D´eterminer l’adh´erence de A dans (C(K,R),k · k_∞).

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