 Mot en binaire

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TD 32 - Numération et codage Page 1/4

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 01/06/2010

Exercice 1 : NUMERATION.

Question 1 : Exprimer en binaire le nombre décimal 965(10), le nombre octal 607(8) et le nombre hexadécimal A8B(16).

Question 2 : Exprimer en octal le nombre binaire 10111010(2), le nombre décimal 1157(10) et le nombre hexadécimal F1F(16).

Question 3 : Exprimer en hexadécimal le nombre binaire 10110110011101₍₂₎, le nombre octal 7106₍₈₎ et le nombre décimal 3589(10).

Question 4 : Exprimer en décimal le nombre binaire 10010111(2), le nombre octal 146(8) et le nombre hexadécimal C0E(16).

Exercice 2 : CODAGE.

Question 1 : Coder les 3 nombres décimaux 31(10), 32(10) et 33(10) en code BCD, en code binaire réfléchi, puis vérifier qu’un seul bit du codage change lorsqu’on passe de l’un à l’autre dans cet ordre.

Exercice 3 : CAPTEUR DE POSITION ANGULAIRE.

(Selon le concours ICARE 1998 filière PSI)

Dans un asservissement de position angulaire d’un plateau, on utilise un codeur absolu optique. Le disque du codeur possède 4 pistes et peut être codé de 2 manières différentes (voir les 2 exemples ci-dessous). Il est lié en rotation à l’axe du plateau.

Exemple 1 : disque codé en binaire naturel Exemple 2 : disque codé en binaire réfléchi (code Gray)

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MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 01/06/2010 Exemple 1 : disque codé en binaire naturel.

Codeur rotatif absolu codé sur 4 pistes en binaire naturel

 Mot en binaire

naturel de 4 bits (b

4

, b

3

, b

2

, b

1

)

Exemple 2 : disque codé en binaire réfléchi (code Gray).

Si on utilise un disque codé en binaire réfléchi, il est nécessaire de traduire (par un transcodeur) cette information de position issue du codeur, en code binaire naturel pour qu’elle puisse être interprétée par la partie commande :

Codeur rotatif absolu codé sur 4 pistes en binaire réfléchi

Transcodeur binaire réfléchi –

binaire naturel

 Mot en binaire

réfléchi de 4 bits (g

4

, g

3

, g

2

, g

1

)

Mot en binaire naturel de 4 bits (b

4

, b

3

, b

2

, b

1

)

Fonctionnement des codeurs.

Question 1 : Donner la résolution (plus petite grandeur mesurable) de ces capteurs (codeur sur 4 bits) en points/tour.

Quelle aurait été la résolution si les codeurs codaient sur 12 bits.

Question 2 : Quels sont les avantages et inconvénients des 2 codeurs.

Question 3 : Si N est l’image numérique de la position du plateau, quel est le gain

 N 

B

de ce codeur si

 est en radian ?

Fonctionnement du transcodeur 4 bits vers 4 bits (binaire réfléchi  binaire naturel).

Question 4 : Réaliser la table de vérité de ce transcodeur.

Question 5 : Déterminer les fonctions combinatoires donnant les sorties b_i en fonction des entrées g_i à l’aide de tableaux de Karnaugh. Commencer par b4, puis b3, b2 et b1.

Les tableaux de Karnaugh donnent les expressions les plus simples des b_i. Ici, il est possible exceptionnellement de simplifier et d’écrire les expressions de b3, b2 et b1 avec seulement des opérateurs OU EXCLUSIF.

Question 6 : Réécrire les expressions de b3, b2 et b1 avec seulement des opérateurs OU EXCLUSIF.

Question 7 : Dans le cas général, pour un transcodeur à n bits, déduire le i^ème bit naturel b_i en fonction des g_i.

NB :

b

₄ est le bit de poids fort.

NB :

g

₄ et

b

₄ sont les bits de poids forts.

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Exercice 4 : TRANSCODEUR (BINAIRE NATUREL  BINAIRE REFLECHI).

Reprendre la table de vérité du transcodeur 4 bits vers 4 bits (binaire réfléchi  binaire naturel) de l’exercice précédent.

Cette fois-ci, ce transcodeur va être utilisé dans le sens inverse (binaire naturel  binaire réfléchi).

Question 1 : Déterminer les fonctions combinatoires donnant les sorties g_i en fonction des entrées b_i à l’aide de tableaux de Karnaugh. Commencer par g1, puis g2, g3 et g4.

Les tableaux de Karnaugh donnent les expressions les plus simples des g_i. Ici, il est encore possible exceptionnellement de simplifier et d’écrire les expressions de g1, g2 et g3 avec seulement des opérateurs OU EXCLUSIF.

Question 2 : Réécrire les expressions de g1, g2 et g3 avec seulement des opérateurs OU EXCLUSIF.

Question 3 : Dans le cas général, pour un transcodeur à n bits, déduire le i^ème bit réfléchi g_i en fonction des b_i.

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Exercice 5 : IDENTIFICATION DE PIECES.

(Selon le concours X 2001 filière MP)

Un système est équipé d’un lecteur optique de codes à barres permettant d’identifier automatiquement des pièces à souder.

Chaque pièce est identifiée par un nombre de quatre chiffres décimaux C3, C2, C1 et C0.

Chaque chiffre décimal est codé sur 5 bits. Les chiffres de rang impair (C3 et C1) sont codés sur les barres noires, les chiffres de rang pair (C2 et C0) sont codés sur les espaces blancs entre les barres noires. Les 1 sont codés par les barres ou espaces « larges » (utilisant deux largeurs de base), les 0 sont codés par les barres ou espaces « étroits » (utilisant une largeur de base).

Le code utilisé pour coder un chiffre décimal de 1 à 9 en 5 bits, est le 2/5 INTERLEAVED (« 2 parmi 5 entrelacé ») (2 valent 1 et 3 valent 0).

Les 4 premiers bits a, b. c et d ont comme poids respectifs 1, 2, 4 et 7.

Exemple : 3 = 11 + 12 + 04 + 07.

Le 5^ème bit du code est un bit de contrôle afin de rester codé en « 2 parmi 5 ».

Seul le chiffre 0 ne vérifie pas ce calcul (poids 1, 2, 4 et 7) mais reste codé en « 2 parmi 5 ».

Question 1 : Compléter les codes des chiffres de 1 à 9 dans le tableau ci-dessous (6 premières colonnes).

En déduire le code du chiffre 0 en justifiant son unicité.

Déterminer le nombre décimal correspondant au code de la figure ci-dessus.

Poids 1 2 4 7 ^{Bit de}

contrôle 2³ 8 2² 4 2¹2 2⁰ 1 Chiffe

décimal a b c d e s₃ s₂ s₁ s₀

0 1 2

3 1 1 0 0 0

4 5 6 7 8 9

Le calculateur traduit chaque chiffre décimal de ce code à barres en un nombre binaire codé sur les quatre bits s3, s2, s1 et s0 (le poids du bit s_i vaut 2ⁱ).

Question 2 : Compléter la table de vérité des sorties s_i. En déduire les équations simplifiées des sorties s3, s2, s1 et s0 en fonction des entrées a, b, c, d et e ci-dessus.