I141- La traversée du fossé
Solution
On va successivement étudier la possibilité de traverser le fossé avec 2,3,4,..n planches jusqu’à atteindre le château. La seule façon d’y parvenir est d’utiliser le coude du fossé et de placer une première planche sur les bords ouest et sud du fossé, puis de placer l’un des bords de la deuxième planche sur la première et de vérifier si la planche est assez longue pour atteindre le point I situé à l’extrémité sud-ouest du château. Sinon, on fait reposer la deuxième planche à la fois sur un bord du fossé et sur la première planche puis avec la troisième planche qui prend appui sur la deuxième, on essaie à nouveau d’atteindre le point I. Sinon, le
processus se poursuit avec l’espoir qu’un nombre fini de planches suffira.
1) Avec 2 planches
Soient AB la 1ère planche de longueur 10 et u l’angle de AB avec l’axe des abscisses. La 2ème planche est placée logiquement perpendiculairement en H à la 1ère et l’on détermine le point P intersection de la planche avec la première bissectrice OI. S’il existe un angle u tel que
OPOI, le fossé est traversé, dans le cas contraire, il faut chercher une 3ème planche…..
La loi des sinus appliquée aux triangles OAB et PMH permet d’écrire :OP = OM + MP = 10 2 *sin(u)*cos(u)/[cos(u)+sin(u)] + 10 2 /[cos(u)+sin(u)] =
10 2 *[sin(u)*cos(u)+1]/[cos(u)+sin(u)]
Le maximum de OP est obtenu avec dOP/du = 0 cos(u)=sin(u) u=π /4 OP = 15.
D’où le montage des deux planches représentées en rouge dans la figure ci-dessus. La 1ère planche fait un triangle rectangle isocèle avec les bords du fossé et la 2ème est placée le long de la 1ère bissectrice. Le point le plus éloigné P est tel que la largeur h du fossé que l’on peut 0 franchir est de 15/ 2 = 10,606..mètres <12 mètres. On a gagné seulement 60cm alors que deux mètres supplémentaires sont à franchir. D’ores et déjà, on se doute que le nombre minimal de planches sera de 4 ou 5.
2) Avec 3 planches
Les planches AB et CD font respectivement des angles u et v avec l’axe des abscisses. La loi des sinus appliquée au triangles OCM et PMH permet de calculer OP en fonction de u et v.
On obtient la relation :
OP = 10 2 *[(sin(u)cos(u)+sin(u-v))*sin(v)+sin(u)]/[sin(u)*(cos(v)+sin(v))].
En annulant les dérivées partielles de OP par rapport à u et v, on a des équations en u et v dont la résolution est assez complexe. La recherche du maximum sur ordinateur est à la fois beaucoup plus simple et plus rapide.
Il en résulte u = 49,65..° et v=26,27..° h = 11,326..mètre <12 mètres. Un nouveau progrès de l’ordre de 73 cm a été réalisé mais il est notoirement insuffisant. Il faut essayer une 4ème planche.
3) Avec 4 planches
Avec le montage de la figure ci-dessus et caractérisé par les angles u, v t w que font respectivement les planches AB et CD avec l’axe des abscisses et la planche EF avec l’axe des ordonnées, la longueur OP peut s’exprimer en fonction des angles u, v et w selon la relation :
OP = 10 2 *[sin(v)*sin(w)*(sin(u)*cos(u)+sin(u-v)) + sin(u)*(cos(v+w)*sin(w)+cos(v))] / [sin(u)*cos(v)*(cos(w)+sin(w))]. La recherche du maximum OP sur ordinateur donne immédiatement u=52,18..°, v=29,54..° et w=36,82..° h = 11,7869…mètres < 12 mètres.
On approche du but mais c’est encore insuffisant ! 4) Avec 5 planches
Ce nombre de planches au même titre que lorsqu’on a commencé avec 2 planches offre l’avantage majeur de réaliser un montage symétrique par rapport à la première bissectrice., ce qui n’était pas le cas avec 3 et 4 planches.
La première planche AB forme un triangle rectangle isocèle avec les axes des abscisses et des ordonnées. Logiquement les deux planches suivantes CM et DM qui sont symétriquement placées par rapport à la première bissectrice prennent appui au milieu M de la première planche et reposent respectivement sur le bord sud et le bord ouest du fossé. Stricto sensu ces deux positions ne sont pas optimales et les extrémités des troisième et quatrième planches qui reposent sur la première planche sont légèrement écartées par rapport à M mais l’écart sur le résultat final est de l’ordre du dixième de millimètre. Pour simplifier, nous retiendrons le point M milieu de la planche AB comme point d’appui commun des planches n° 3 et 4. La quatrième planche EF repose sur les troisième et quatrième planches parallèlement à la première planche et la dernière planche PH est médiatrice de cette quatrième planche.
Des calculs trigonométriques simples permettent de calculer respectivement OM, MH et PH.
Il en résulte :OM = 5, MH = 5*(4 7)/3 et PH = 10. D’où OP = 5*(13 7)/3et h = 2
3 / ) 7 13 (
*
5 = 12,20259…>12. Cette quatrième tentative est enfin la bonne.
On démontre qu’avec 3*n+2 planches on peut poursuivre le montage symétrique des planches de façon à constituer des « arcs » reposant sur les deux bords ouest et sud du fossé et le long desquels les planches prennent appui les unes sur les autres. La longueur limite du fossé que l’on peut franchir est égale à 5* 2/4 [ pour plus de détails, voir les archives de MathSoft Puzzles ]
