5 2 3

PanaMaths Septembre 2013

Soit la suite ( ) u

n

définie par :

0 1

3

3

_n

10

n

u

u

₊

u

⎧⎪⎨

⎪⎩

=

= −

Montrer que pour tout n entier naturel, on a : 5 2 3

ⁿ

u

n

= − ×

Analyse

Une récurrence simple qui permet d’obtenir explicitement u_n en fonction de n.

Résolution

Pour tout n entier naturel, on pose :

P

n ^{: «} un = − ×^{5 2 3n} » Initialisation

Pour n=0, on a : u₀ =3.

Par ailleurs : 5 2 3− × ⁿ= − × = − × =5 2 3⁰ 5 2 1 3. La propriété

P

₀ est donc vraie.

Hérédité

Soit N un entier naturel quelconque fixé.

On suppose

P

_N vraie, c'est-à-dire : u_N = − ×5 2 3^N.

On veut montrer que

P

_N+1 est vraie, c'est-à-dire : u_N+1= − ×5 2 3^N+1.

D’après la définition de la suite

( )

un et l’hypothèse de récurrence, il vient :

( )

¹

1 3 10 3 5 2 3^N 10 15 2 3 3^N 10 5 2 3^N

N N

u ₊ = u − = × − × − = − × × − = − × ⁺ Ainsi, la propriété

P

_N+1 est vraie.

Conclusion

PanaMaths Septembre 2013

La propriété

P

_n est vraie pour tout entier naturel n.

Résultat final

Pour tout entier naturel n : u_n = − ×5 2 3ⁿ.