D1933. Les deux points remarquables
P est un point fixe du plan. On donne trois nombres réels positifs a, b et c. Parmi les triangles ABC tels que PA = a, PB = b et PC = c, on détermine :
1) le triangle T1 dont le périmètre est le plus grand. P est un point remarquable du triangle.
Lequel ?
2) le triangle T2 dont l’aire est la plus grande. P est un point remarquable du triangle. Lequel
?
Application numérique : PA = 1, PB = 2 et PC = 3+ 1. Calculer le périmètre de T1 et l’aire de T2.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
P est le centre du cercle inscrit de T1
En effet, B et C étant fixés, le périmètre est maximal si PA est perpendiculaire à la fois au cercle de centre P de rayon a et à l'ellipse de foyers B et C passant par A.
PA doit donc être la bissectrice de l'angle BAC.
Idem pour les angles B et C.
Application numérique
On remarque que le triangle T1 est rectangle AB =
2 3 1
= 1.932…
AC = 2
3 3
= 3.346…
BC = 2 2 3=3.864…
Périmètre de T1 = 2
2 3
2 2 3 = 9.141620…Q2
P est l'orthocentre de T2.
En effet, B et C étant fixés, l'aire est maximale si PA est perpendiculaire à BC, pour avoir une hauteur maximale.
Idem pour les angles B et C.
Application numérique
Si on appelle x l'abscisse de H, BC perpendiculaire à AP, l'aire ABC en fonction de x a un maximum.
HB²=b²-x² HC²=c²-x²
S = AH.BC/2 =
2
²
²
²
² x c x
b x
a
maximale
Les calculs d'optimisation de x sont inextricables. Pour une valeur numérique approchée,
Geogebra donne
Aire de T2 S = 3.559555788 à x = 1.0868463 WolframAlpha donne
S = 3.559555788252341926168755148 à x = 1.086846296625255367067379587
