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d’aile avec une approche LES de type PANS-RSM

Valentin Bonnifet

To cite this version:

Valentin Bonnifet. Prédiction du phénomène de tremblement sur un profil d’aile avec une approche LES de type PANS-RSM. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Sorbonne Université, 2018.

Français. �NNT : 2018SORUS389�. �tel-02612234v2�

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TH` ESE DE DOCTORAT DE SORBONNE UNIVERSIT´ E Sp´ ecialit´ e : M ´ ECANIQUE

Ecole doctorale de ´ Sciences M´ ecaniques, Acoustique, ´ Electronique et Robotique de Paris

pr´esent´ee par :

Valentin BONNIFET

pour obtenir le grade de :

DOCTEUR DE SORBONNE UNIVERSIT´ E

Pr´ ediction du ph´ enom` ene de tremblement sur un profil d’aile avec une approche les de type pans–rsm

soutenue le 19 septembre 2018, devant le jury compos´e de :

F. billard Dr. Ing´enieur de recherche, Dassault Aviation Examinateur

G.A. gerolymos Prof. Sorbonne Université Co-Directeur de Thèse L. jacquin Prof. École Polytechnique, ONERA Examinateur

S. kouidri Prof. Sorbonne Université Examinateur E. lamballais Prof. Université de Poitiers Rapporteur R. manceau DR CNRS, Université de Pau Rapporteur

I. vallet Dr. HDR MC Sorbonne Universit´e Directeure de Th`ese

Sorbonne Universit´e, Institut Jean Le Rond d’Alembert, UMR CNRS 7190 4 Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05

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(4)

Table des mati` eres

1 Introduction 1

1 Contexte . . . 1

2 Objectifs de l’´etude . . . 4

3 Plan de l’´etude . . . 4

2 Equations de transport turbulentes exactes´ 5 1 Equations de Navier-Stokes instantan´ees´ . . . 6

2 Formulation statistique des ´equations de mouvement . . . 7

2.1 D´efinition des d´ecompositions de Reynolds et de Favre . . . 7

2.2 Equations de Navier-Stokes moyenn´ees´ . . . 8

2.3 Equations de transport des corr´elations statistiques . . . .´ 10

3 Formulation filtr´ee des ´equations du mouvement . . . 15

3.1 Op´erateurs de filtrage . . . 16

3.2 Equations de Navier-Stokes filtr´ees . . . .´ 17

3.3 Equation de transport exacte des tensions r´esiduelles ¯´ ρ[rij]u . . . 18

3.4 Equation de transport exacte de l’énergie cinétique turbulente non-résolue k´ u . . . 19

3.5 Equation de transport exacte du tenseur de dissipation des tensions r´esiduelles´ εij_u . . . . 19

3.6 Equation de transport du taux de dissipation de l’énergie cinétique non-résolue´ εu . . . . 21

3.7 Comportement asymptotique vers lerans de l’approche filtr´ee . . . 21

4 Méthodes numériques pour la résolution des équations moyennées . . . 23

5 Méthodes numériques pour la résolution des équations filtrées . . . 23

5.1 Discr´etisation spatiale . . . 24

5.2 Discr´etisation et int´egration temporelle . . . 28

3 Modélisations statistiques de la turbulence 31 1 Formulation de l’équation de transport de l’énergie totale moyennée . . . 31

2 Mod`ele k−ε^∗ Launder-Sharma (lsk−ε^∗) . . . 32

3 Mod`ele au second ordre Gerolymos-Lo-Vallet-Younis (rsm–glvy) . . . 33

4 Etude des profils d’aile´ oat15aetnaca0012 . . . 36

4.1 Description des profils d’ailesoat15aetnaca0012 . . . 37

4.2 Construction des maillages autour des profils d’ailes . . . 39

4.3 Initialisation de l’´ecoulement . . . 40

4.4 Conditions aux limites . . . 40

4.5 Etude de la convergence en maillage . . . .´ 45

4.6 Calibrage des conditions d’entr´ee: aoacomp et M_∞comp et r´esultatsrans 2d . . . 45

4 Modélisation de la turbulence filtrée: les 53 1 Généralités sur des méthodes hybridesrans/les . . . 53

1.1 Intérêts des méthodes hybridesrans/les . . . 53

1.2 Positionnement des m´ethodes hybridesrans/les . . . 54

1.3 D´ependance `a la topologie du maillage . . . 55

1.4 Difficult´es th´eoriques . . . 55 iii

(5)

2 Approchesvles. . . 56

3 Approchesdes . . . 57

4 Approchespanset pitm . . . 59

4.1 Partitionement de l’énergie cinétique turbulente dans l’espace physique: la méthodepans 59 4.2 Partitionement de l’énergie cinétique turbulente dans l’espace spectral: la méthodepitm. 66 5 Modèlepans–rsm . . . 68

5.1 Approchepans–rsmavecrfpans constant . . . 68

5.2 Equations de transport des tensions r´esiduelles . . . .´ 68

5.3 Equation de transport du taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulente non-résolue 70´ 5.4 Proposition d’une approchepans–rsmavecrfpans dynamique . . . 70

5 Simulation du buffet transsonique 73 1 Le ph´enom`ene de buffet transsonique . . . 73

2 M´ethodes num´eriques . . . 76

2.1 Conditions aux limites . . . 76

2.2 Limiteurs numériques et conditions de réalisabilité . . . 76

2.3 Transition de la couche limite turbulente . . . 78

2.4 Initialisation de l’´ecoulement . . . 78

3 Simulation du buffet transsonique avec l’approchepans–rsm`a rfpans = 0.75 . . . 79

3.1 Profils des coefficients de pression pari´etaux . . . 80

3.2 Profils de vitesses sur l’extrados . . . 83

3.3 Profils des corr´elations turbulentes sur l’extrados . . . 85

3.4 Profils des ´echelles de temps et de longueur turbulentes . . . 92

3.5 Profils des ratiosfk et fε . . . 94

3.6 Cartographies des champs moyenn´es autour du profil d’aileoat15a . . . 94

3.7 Cartographies des champs instantan´es autour du profil d’aileoat15a . . . 108

4 Analyse spectrale temporelle et reconstruction . . . 108

5 Influence du param`etre de contrˆolerfpans . . . 109

6 Conclusion et perspectives 115 1 Conclusion . . . 115

2 Perspectives . . . 116

2.1 Approche dynamique . . . 116

2.2 Approche bas´ee sursas . . . 121

A Équations de transport des corrélations non-résolues 125 1 Equation de transport des tensions résiduelles . . . 125´

2 Re´ecriture des termes visqueux . . . 127

3 Equation de transport de´ εiju . . . 128

B G´en´eration biharmonique du maillage 135

C Liste des symboles 137

Bibliographie 141

(6)

Chapitre 1

Introduction

1 Contexte

Depuis les années 1950, l’augmentation des capacités de calcul des ordinateurs a permis de simuler des écoulements de plus en plus complexes et de réduire progressivement les hypothèses simplificatrices utilisées. De moyen de recherche académique, la simulation numérique est aujourd’hui devenue un outil de conception industriel in- coutournable au même titre que les méthodes expérimentales. La simulation numérique a permis de réduire la quantité d’essais en soufflerie nécessaires à la conception des avions commerciaux et militaires. L’exemple de Boeing reflète bien cette tendance puisque le nombre d’essais sur les voilures est passé de 77 à la fin des années 1970 à 11 du milieu des années 1990 jusqu’à aujourd’hui [11]. Cependant, priorité est donnée à la réduction du temps de conception des aéronefs depuis ces vingt cinq dernières années. Les motoristes ainsi que les autres moyens de transport profitent aussi largement de la contribution des simulations numériques. La nécessité ab- solue de réduire notre consommation énergétique et nos émissions de gaz à effet de serre ainsi que les perspectives d’exploration spatiales des prochaines années (programme habité sur Mars) encouragent le développement de méthodes numériques plus avancées. Ainsi, l’amélioration de la prédictibilité des simulations numériques est un axe de recherche mobilisant un grand nombre d’acteurs industriels. L’agence américaine aérospatiale (nasa) résume les axes de développements actuels (Fig. 1.1) pour préparer l’arrivée des supercalculateurs exaflopiques¹. La densité des transistors sur les puces en silicium ainsi que les vitesses de commutations sont proches de leur valeur asymptotique depuis les cinq dernières années et l’augmentation de la puissance de calcul n’est possible qu’au prix de la multiplication du nombre de nœuds de calculs. Cette caractéristique architecturale oblige les ingénieurs à adapter les algorithmes de calcul pour conserver une scalabilité satisfaisante. Les perspectives d’augmentations de la puissance de calcul sont revues à la baisse et l’échelle exaflopique ne sera atteinte qu’à l’horizon des années 2030 (Fig. 1.2). Les objectifs ambitieux de la nasapour 2030 sont de simuler les manœu- vres opérables par un avion complet (incluant les surfaces mobiles et les trains d’atterrisage) dans le cas des

écoulements externes et un moteur complet avec combustion dans le cas des écoulements internes. Pour cela il est, entre autres, nécessaire d’améliorer la génération de maillage et son adaptation dynamique, d’améliorer les techniques de parallélisation et d’analyse de donnée, de développer des méthodes numériques d’ordre élevé pour les maillages non-structurés et de développer des modélisations physiques complexes pour la turbulence et la combustion. Le sujet de l’étude présentée ici s’inscrit dans la démarche de développement de nouveaux modèles de turbulence (hybride rans/les) dont la maturité est esperée pour 2030 mais dont les démonstrateurs sont attendus pour la fin de la décennie (Fig. 1.1).

La résolution numérique directe des équations de Navier-Stokes (dns) est très coûteuse en ressources in- formatiques et ne peut être envisagée que dans le cas de géométries simples (plaque plane, canal, turbulence homogène isotrope). Bien qu’indispensable à la compréhension fine de la physique de l’écoulement [245] (en particulier proche paroi) et à la mise au point de modèles de turbulence, son utilisation pour l’étude de géométries industrielles n’est pas envisageable avant la fin du siècle. L’approche statistique (rans) est aujourd’hui la plus répandue dans l’industrie. D’un coup de calcul raisonnable, elle répond aux exigences de conceptions dans la majorité des cas où les instationnarités basses fréquences de l’écoulement sont faibles. Son temps de retour

1”Un milliard de milliard” d’op´erations `a virgule flottante par seconde.

1

(7)

Visualization

Unsteady, complex geometry, separated flow at flight Reynolds number (e.g., high lift)

2030 2025

2020 2015

HPC

CFD on Massively Parallel Systems CFD on Revolutionary Systems (Quantum, Bio, etc.)

TRL ^LOW

MEDIUM HIGH

PETASCALE

Demonstrate implementation of CFD algorithms for extreme parallelism in NASA CFD codes (e.g., FUN3D)

EXASCALE Technology Milestone

Demonstrate efficiently scaled CFD simulation capability on an exascale system

30 exaFLOPS, unsteady, maneuvering flight, full engine simulation (with combustion)

Physical Modeling

RANS Hybrid RANS/LES LES

Improved RST models in CFD codes

Technology Demonstration

Algorithms

Convergence/Robustness Uncertainty Quantification (UQ)

Production scalable entropy-stable solvers

Characterization of UQ in aerospace

Highly accurate RST models for flow separation

Large scale stochastic capabilities in CFD

Knowledge Extraction

On demand analysis/visualization of a 10B point unsteady CFD simulation

MDAO

Define standard for coupling to other disciplines

High fidelity coupling techniques/frameworks

Incorporation of UQ for MDAO

UQ-Enabled MDAO Integrated transition

prediction

Decision Gate

YES NO

NO

Scalable optimal solvers YES

NO Demonstrate solution of a representative model problem

Robust CFD for complex MDAs Automated robust solvers

Reliable error estimates in CFD codes

MDAO simulation of an entire aircraft (e.g., aero-acoustics)

On demand analysis/visualization of a 100B point unsteady CFD simulation Creation of real-time multi-fidelity database: 1000 unsteady CFD simulations plus test data with complete UQ of all data sources WMLES/WRLES for complex 3D flows at appropriate Re

Integrated Databases

Simplified data representation

Geometry and Grid Generation

Fixed Grid Adaptive Grid

Tighter CAD coupling Large scale parallel

mesh generation Automated in-situ mesh

with adaptive control Production AMR in CFD codes

Uncertainty propagation capabilities in CFD Grid convergence for a

complete configuration

Multi-regime turbulence-chemistry interaction model Chemical kinetics

in LES Chemical kinetics

calculation speedup Combustion

Unsteady, 3D geometry, separated flow (e.g., rotating turbomachinery with reactions)

Figure 1.1: Perspectives et differents axes de développement de lacfdjusqu’à 2030 vu par lanasa. trlindique le niveau de maturité de la technique. [Figure extraite de [271]]

100 Giga 1 Tera 10 Tera 100 Tera 1 Peta 10 Peta 100 Peta 1 Exa

1991 1994 1997 2000 2003 2006 2009 2012 2015 2018 2021 Ann´ee ✲

Rpeakenflops/s

✻

Figure 1.2: Évolution des performances des supercalculateurs sur les 25 dernières années correspondant au premier rang du top 500 mondial [Source www.top500.org]. Rpeak correspond au nombre maximum théorique de calcul à virgule flottante par seconde.

est aujourd’hui suffisamment court pour réaliser des études paramètriques (Fig. 1.3). Le choix des industriels se porte le plus souvent sur les modèles à une ou deux équations de transport, motivé par leur robustesse numérique dans un contexte où les géométries sont toujours plus complexes. L’approche statistique bénéficie encore d’un potentiel de développment dans l’industrie par l’intermédiaire des fermetures du second ordre qui n’y sont pas encore les plus répandues [129]. En effet, le surcoût de calcul d’un modèle du second ordre² n’est

2Le surcoût de l’utilisation d’un modèlersmest d’environ 30%, comparé à une fermeture à deux équations (k−ε) [106]

(8)

1. CONTEXTE 3 plus aujourd’hui un argument compar´e au coˆut des approches instationnaires de typelesou hybriderans/les.

Le modèle statistique universel, capable de gérer tous les types écoulements, n’existe pas encore et les industriels utilisent une boˆıte à outils contenant un certain nombre de fermetures statistiques qu’ils choisissent en fonction de l’application visée [129]. Aujourd’hui, les modèles du second ordre ont atteind un stade de maturité avancé (Fig. 1.1) et l’obtention de fermetures plus universelles nécessite une nouvelle rupture technologique [70].

Malgré les difficultés que présentent le développement de cette prochaine génération de fermetures statistiques, plusieurs axes de recherche sont investigués: l’augmentation du nombre d’équations de transport (fermeture des composantes du tenseur du taux de dissipation des tensions de Reynolds [113] ou de la corrélation triple de vitesse [227]), la révision des hypothèses statistiques simplificatrices sur les corrélations d’ordre élevé [234] ou la modélisation de tenseurs de structures [298].

Figure 1.3: Estimation du coût calcul et mémoire des différentes approches historiques de la cfd permettant de faire l’analyse d’un profil d’aile puis d’une aile et enfin d’un avion complet. ”Le grand défi” est la réalisation d’études paramétriques instationnaires sur un avion entier. [Figure extraite de [11]]

Devant les possibilités offertes par les supercalculateurs actuels, les efforts de la communauté scientifique et industrielle se concentrent actuellement sur les approches dites instationnaires [70]. Ces méthodes permettent de simuler des écoulements comportant de fortes insationnarités non-déterministes (interaction onde de choc couche limite turbulente, lachés tourbillonnaires, décrochage etc...) et d’obtenir des informations dépendant du temps, intrinsèquement inaccessibles par les approches statistiques. Le calcul de champs instationnaires répond également à un besoin industriel dans le cadre de la mise au point de nouvelles technologies de contrôle d’écoulement, d’études aéroacoustiques et de modélisations de processus chimiques complexes.

Il y a cinquante ans, la simulation des grandes échelles classiques (lescanonique) a introduit le concept de modélisation de la turbulence lors d’une résolution instationnaire des équations de Navier-Stokes. Afin de ne pas payer le coût d’une résolution directe (dns), les petites échelles turbulentes sont modélisées avec un modèle de sous-maille algébrique permettant ainsi de réduire les contraintes sur le maillage spatial et temporel. Initialement utilisée dans le cas d’écoulements météorologiques, lalescanonique se prête bien à la simulation d’écoulements non-bornés (loin de la paroi solide). Les modèles de sous-maille algébriques sont construits sur l’hypothèse forte d’isotropie des petites structures turbulentes modélisées. Dans le cas des écoulements aerodynamiques, la taille et l’anisotropie des structures turbulentes dans la couche limite contraigent l’utilisateur à utiliser un maillage fin proche paroi. Le coût de calcul de lalescanonique ne peut alors être réduit que d’un facteur 10 par rapport

à la dns. Des calculs les canoniques prédictifs sur des géométries industrielles complexes ne sont donc pas envisageables.

Apparues à la fin des années 1990, les approches hybrides rans/les visent à contourner ce problème en augmentant la portion modélisée de l’énergie cinétique turbulente en particulier dans la couche limite. Elles utilisent des modèles de sous-mailles à équations de transport développés par analogie avec des fermetures statistiques et ne font pas l’hypothèse d’isotropie des structures turbulentes. Il est attendu que les approches hybrides rans/less’imposent dans les prochaines années comme méthode privilégiée pour simuler les écoulements forte-

(9)

ment instationnaires dont la prédictibilité est aujourd’hui insuffisante (lescanonique/dnssous résolue ou hors du domaine de prédictibilité des approches statistiques). Des simulations de configurations de vols d’avions complets à l’aide de méthodes hybrides ont déjà été réalisées [191]. Les résultats montrent le potentiel de ces méthodes mais le gain de prédictibilité par rapport à l’approche statistique ne justifie par encore le coût pro- hibitif du calcul. Les progrès des fermetures statistiques et en particulier du second ordre laissent présager une amélioration des méthodes hybridesrans/lesdans les prochaines années [271].

2 Objectifs de l’´ etude

Cette thèse se situe dans la continuitée des travaux entrepris par Gerolymos et Vallet [108] sur le développement d’un modèle de sous-maille à 7 équations de transport basé sur une fermeture statistique du second ordre.

L’objectif est d’utiliser la fermeture statistique du second ordre d´evelopp´ee par Gerloymos-Lo-Vallet-Younis [96]

pour construire un modèle de sous-maille dont la quantité d’énergie cinétique turbulente modélisée est réglée via un paramètre de contrôle. L’approche hybride rans/les proposée est basée sur la méthode développée par Girimaji [118] nommée Partially Averaged Navier-Stokes (pans). Elle est mise en œuvre pour reproduire l’expérience réalisée à l’Office National Étude et de Recherche Aérospatial (onera) du buffet transsonique sur le profil d’aileoat15aoù la présence d’une interaction onde de choc/couche limite turbulente fait émerger un mouvement auto-entretenu de l’onde de choc au niveau de l’extrados du profil d’aile. Comme nous le verrons, ce cas test est pertinent pour évaluer des méthodes hybrides rans/les puisqu’il est trop coûteux en dns et que la présence d’une instationnarité non-déterministe basse fréquence ne permet pas de prédire correctement le champ moyen avec une approche statistique.

3 Plan de l’´ etude

Dans un premier temps, les équations turbulentes exactes moyennées et filtrées sont détaillées. Le formalisme mathématique est présenté de sorte à rendre cohérent la transition entre les équations turbulentes exactes moyennées et les équations turbulentes filtrées. La fermeture statistique du second ordre à la base de l’approche hybride rans/les est présentée, suivie des résultats obtenus avec l’approche statistique sur les écoulements autour des profils d’ailesoat15aetnaca0012avant le déclenchement du buffet transsonique. Par la suite, un

état de l’art des approches hybridesrans/lesest détaillé avant d’introduire le modèle de sous-maille développé dans le cadre de cette étude. Finalement, les résultats obtenues avec l’approche hybriderans/lespour le cas test du buffet transsonique du profiloat15asont présentés et analysés.

Les calculs ont été réalisés avec le code open sourceaerodynamics³développé par Gerolymos et Vallet. Il est écrit en fortran et utilise la librairieopenmppour la parallélisation. Ce code est 3dstructuré et utilise des schémas d’ordre élevé (jusqu’à l’ordre 17 en dns). Il contient des outils de génération du maillage, de statistiques embarquées et de post-traitement. Les approches rans avec modèles du second ordre et dns ont

été implémentées dans le cadre de projets antérieurs. L’approche pans avec modèles du second ordre était partiellement implémentée et a nécessité des travaux de développement qui ont été menés au cours de cette thèse (initialisation, statistiques embarquées, post-traitement). Les résultats des calculs sont visualisés avec le logiciel open sourceparaview⁴.

Les travaux réalisées dans cette thèse prennent part au projetanr-15-ce06-0009 N_umERICCS (Numerical and Experimental Research for Improved Control of Compressor Surge) qui rassemble Sorbonne Université, Arts&Métiers Paritech, l’École Centrale de Lille, l’oneraet Safran Aircraft Engines. Ce projet vise à améliorer la prédiction et le contrôle du phénomène de pompage des compresseurs axiaux des turboréacteurs. Les calculs ont été réalisés grâce aux heures allouées par legenci–idris(allocation 2016–020218).

3www.aerodynamics.fr

4www.paraview.org

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Chapitre 2

Equations de transport turbulentes ´ exactes

Les structures tourbillonnaires des écoulements turbulents sont décrites par des échelles relatives à leur taille, leur vitesse et leur temps caractéristiques [302]. Chaque grandeur stochastique intensive de l’écoulement possède ses propres échelles, difficilement calculables sans l’étude approfondie de résultatsdns. Cependant, il est possible de simplifier cet ensemble de caractéristiques par une analyse dimensionnelle. Les travaux de Richardson [246]

et Kolmogorov [166,167] ont marqué le début de la compréhension des mécanismes de production, interaction et destruction de ces tourbillons (avec l’hypothèse d’une turbulence homogène à grand nombre de Reynolds). Dans le cadre de leur proposition, le champ moyen de l’écoulement produit les plus grosses structures productrices qui se fragmentent successivement jusqu’aux plus petites structures dissipatives dans un mécanisme de cascade

énergétique. L’énergie cinétique des plus petits tourbillons se dissipent en chaleur par action de la viscosité.

Les échelles de Kolmogorov¹donnent un ordre de grandeur de leur temps, vitesse et longueur caractéristiques en dessous desquelles les variables de l’écoulement ne fluctuent plus. Les petites structures dissipatives sont plus universelles que les structures génératrices contenant la majeure partie de l’énergie cinétique turbulente.

Ainsi, l’estimation des échelles de Kolmogorov reste pertinente lorsque la turbulence est inhomogène. L’échelle de longueur de Kolmogorov étant nettement supérieure au libre parcours moyen des molécules ² , l’étude macroscopique des écoulements subsoniques et supersoniques est réalisée dans le cadre de la mécanique des milieux continus.

Ce chapitre vise à exposer les hypothèses et les outils mathématiques utilisés pour décrire les écoulements turbulents. La détermination du champ moyen (sans dépendance temporelle ³) ou du champ filtré (avec dépendances temporelles) nécessite des outils différents. Une fois les équations du mouvement instantanées introduites, le formalisme statistique permettant d’établir les équations de transport moyennées, utilisées dans la modélisation statistique de la turbulence (ou Reynolds Averaged Navier-Stokes –rans), sera développé. Bien que la majeure partie de ce travail soit consacrée aux modélisations de la turbulence hybride (équations filtrées) destinées à la simulation d’écoulements instationnaires non déterministes, ce formalisme statistique occupe une place importante, puisque les modèles de turbulence hybrides sont développés par analogie avec ce formalisme.

1Les ´echelles de Kolmogorov sont [167]:

T_K=

q_ν

ε ; L_K=

Åν³ ε

ã1/4

; U_K = (νε)^1/4

oùT_K est l’échelle de temps,νla viscosité cinématique,εle taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulente k,L_K l’échelle de longueur etU_K l’échelle de vitesse. Ainsi:

ReTK = k νε= 1 o`uReTK est le nombre de Reynolds turbulent de Kolmogorov.

2L’approche continue est justifi´ee lorsque:

Lm

LK

=Kn610⁻² o`uLmrepr´esente le libre parcours moyen etKnle nombre de Knudsen.

3Ce qui ne signifie ´evidement pas que l’´ecoulement soit stationnaire.

5

(11)

Finalement, l’approche filtrée sera présentée pour mettre en évidence les termes à modéliser lors d’une résolution Partially Averaged Navier Stokes –pans(ou hybriderans/les).

1 Equations de Navier-Stokes instantan´ ´ ees

Les ´equations de Navier-Stokes, sous formes conservatives, sont:

∂ρ

∂t +∂ρuℓ

∂xℓ

= 0 (2.1a)

∂ρui

∂t +∂ρuℓui

∂xℓ = ∂

∂xℓ(τiℓ−pδiℓ) +ρfvi (2.1b)

∂

∂t(ρht−p) +∂ρuℓht

∂xℓ

= ∂

∂xℓ

(uiτiℓ−qℓ) (2.1c)

où t est le temps, xℓ les coordonnées spatiales dans un référentiel Galiléen, ui les composantes du vecteur vitesse, ρ la masse volumique, τiℓ le tenseur symétrique des contraintes visqueuses, p la pression statique, δiℓ le symbole de Kronecker, ht l’enthalpie totale ⁴, qℓ les composantes du vecteur flux de chaleur et fvi les composantes des forces volumiques⁵ qui seront négligées dans les écoulement étudiés ici. Les équations de Navier-Stokes ne font pas d’hypothèses sur la rhéologie du fluide considéré. L’air, se comporte comme un gaz thermodynamiquement et caloriquement parfait dans une gamme de température allant d’environ 100K à 400K suivant la loi d’état:

p=ρRgT; h=cpT (2.2a)

cp= γ

γ−1Rg (2.2b)

où Rg = 287.04 m²s⁻¹K⁻¹ est la constante du gaz, T la température statique, cp la chaleur spécifique à pression constante et γ = 1.4 son exposant isentropique. Le fluide est Newtonien et l’on fait l’hypothèse de Stokes:

λ+2

3µ= 0 (2.3)

oùµ=µ(T) est la viscosité dynamique première etλ=λ(T) est la viscosité dynamique seconde. Le tenseur des contraintes visqueuses est donc:

τiℓ=µ Å∂ui

∂xℓ

+∂uℓ

∂xi −2 3

∂uk

∂xk

δiℓ

ã

= 2µ Å

Siℓ−1 3δiℓSkk

ã

(2.4) où µ =µ(T) est la viscosité dynamique et Siℓ le tenseur des déformations. Le flux de chaleur de chaleur moléculaire est déterminé à l’aide de la loi de comportement thermique de Fourier:

qℓ=−κ∂T

∂xℓ (2.5)

où κ = κ(T) est la conductivité thermique. Les loi semi-empirique ⁶ de Sutherland modifiées [103] sont

4L’enthalpie totale est reliée à l’énergie interne par la relation suivante: ht=h+¹₂u_ku_k=e+^p_ρ+¹₂u_ku_koùhest l’enthalpie statique et ¹₂ukukl’énergie cinétique.

5La gravité, la pseudo-force de Coriolis (écoulements atmosphériques) ou les forces électromagnétique (magnétohydrodynamique) sont des forces volumiques.

6Sutherland [300] suppose que la viscosité d’un fluide Newtonien est la conséquence du choc des molécules entre elles, sous leurs interactions réciproques de type force potentielle.

(12)

2. FORMULATION STATISTIQUE DES ÉQUATIONS DE MOUVEMENT 7 utilisées pour déterminer la viscosité dynamique et la conductivité thermique:

µ(T) =µ0

ï T Tµ0

ò³₂ Sµ+Tµ0

Sµ+T (2.6a)

κ(T) =κ0

µ(T) µ0

(1 +Aκ(T−Tµ0)) (2.6b)

o`u µ0 ≡ µ(Tµ0) = 17.11×10⁻⁶ Pa s, Tµ0 = 273 K, Sµ = 110.4 K, κ0 ≡ κ(Tµ0) = 0.0242 W m⁻¹K⁻¹, Aκ= 0.00023 K⁻¹.

2 Formulation statistique des ´ equations de mouvement

2.1 D´ efinition des d´ ecompositions de Reynolds et de Favre

Quelle que soit l’approche utilisée, l’étude des écoulements turbulents vise à déterminer ses grandeurs moyennes afin d’obtenir les informations nécessaires à un dimensionnement mécanique (approches statistiques ou hybrides) ou à la mise au point de modèles (approche directe sans modèles –dns). En outre, la simulation d’écoulements turbulents avec une modélisation statistique de la turbulence (rans) correspond à la résolution des équations du mouvement moyennées de l’écoulement auxquelles est ajoutée une modélisation statistique de la turbulence.

L’opérateur de moyenne d’ensemble notéh.iest définit:

hΦi(~x, t) := lim

N→∞

1 N

XN n=1

Φn(~x, t) (2.7)

où Φ est une grandeur physique stochastique de l’écoulement,~xle vecteur position etN le nombre de mesures indépendantes de cette grandeur. Si l’on considère un écoulement stationnaire avec l’hypothèse d’un système ergodique, les mesures prises à différents instants sont indépendantes. La moyenne d’ensemble discrète est alors

´equivalente `a une moyenne temporelle continue:

hΦi(~x) = lim

T→∞

1 t

Z t+T

t

Φ(~x, t^∗)dt^∗ (2.8)

Chaque grandeur physique instantanée est décomposable en une partie moyenne et une partie fluctuante (.)^′ selon la décomposition de Reynolds [244]:

Φ =hΦi+ Φ^′ (2.9)

On déduit des propriétés de la moyenne, un ensemble de propriétés indispensables à l’établissement des

équations de transport moyennées (linéarité et commutativité avec la dérivation temporelle et spatiale):

hΦ^′i= 0 (2.10a)

hhΦii=hΦi (2.10b)

hαΦ + Ψi=αhΦi+hΨi (2.10c)

≠∂Φ

∂t

∑

= ∂hΦi

∂t (2.10d)

≠∂Φ

∂xi

∑

= ∂hΦi

∂xi

(2.10e) hΦΨi=hΦihΨi+hΦ^′ihΨ^′i (2.10f)

o`u Ψ est une grandeur physique stochastique de l’´ecoulement etαune constante. La fluctuation de la masse

(13)

volumique ρ^′ n’est pas négligeable dans le cas d’écoulements compressibles ⁷ [111]. Ainsi, l’utilisation de la décomposition de Reynolds (Eq. 2.9) pour moyenner les équations de Navier-Stokes produit un grand nombre de termes non-linéaires (une corrélation de N variables produit 2^N −N termes) dont les fermetures sont à déterminer. Afin de simplifier les équations de Navier-Stokes moyennées compressibles, Favre [82, 83] a proposé une décomposition alternative (sauf pourρetp) permettant d’intégrer les fluctuations de masse volumique dans les corrélations statistiques⁸ qui utilise une moyenne pondérée par la masse volumique notée{.}:

Φ = {Φ}+ Φ^′′ ; {Φ}:=hρΦi

hρi (2.11)

ρ = hρi+ρ^′ ; hρ^′i= 0 (2.12)

p = hpi+p^′ ; hp^′i= 0 (2.13)

avec les propri´et´es suivantes:

h{Φ}i={Φ} (2.14a)

{Φ^′′}= 0 (2.14b)

hΦ^′′i=hΦi − {Φ}=−hρ^′Φ^′′i/hρi 6= 0 (2.14c)

hρΦi=hρi{Φ} (2.14d)

hρΦ^′′i=hρΦi − hρi{Φ}= 0 (2.14e) hΦ^′Ψ^′′i=hΦ^′′Ψ^′i=hΦ^′Ψ^′i (2.14f)

hρΦ^′′Ψ^′′i=hρi{Φ^′′Ψ^′′} (2.14g)

Nous appellerons couramment la moyenne d’ensembleh.i moyenne de Reynolds et la moyenne d’ensemble pond´er´ee masse{.}moyenne de Favre.

2.2 Equations de Navier-Stokes moyenn´ ´ ees

En utilisant les décompositions de Favre et de Reynolds, les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement moyennées sont respectivement:

∂hρi

∂t +∂hρi{uℓ}

∂xℓ

= 0 (2.15a)

∂hρi{ui}

∂t +∂hρi{uℓ}{ui}

∂xℓ

= ∂

∂xℓ

(hτiℓi − hpiδiℓ− hρu^′′_iu^′′_ℓi) (2.15b)

L’apparition du tenseur de Reynolds−hρu^′′_iu^′′_ℓi=−hρi{u^′′_iu^′′_ℓ}=−hρiriℓ est due à la non linéarité du terme de convection (comportement hyperbolique) et rend compte de l’influence de la turbulence sur le champ moyen.

L’enthalpie totale est d´efinie par:

{ht}={h}+1

2{uk}{uk}+ k (2.16)

où k = ¹₂{u^′′_iu^′′_i} est l’énergie cinétique turbulente et ¹₂{uk}{uk} est l’énergie cinétique de l’écoulement moyen. La conservation de l’énergie totale moyennée nécessite une attention particulière. En effet, l’inconnue du systèmehρhtiintroduit un couplage entre la conservation de l’énergie totale et l’énergie cinétique turbulente k. Sa fermeture dans le cadre de la modélisation statistique de la turbulence est par conséquent directement

7Une ´etude dnsr´ecente montre que le pic dep

hρ^′²i/hρiatteint 0.14 dans la zone tampon d’un canal turbulent `a Reynolds Reτ^∗ = 112 et Mach 2.48 [111].

8L’étude théorique d’une couche limite compressible a néanmoins pu être réalisée par Van Driest [312] avant l’apparition de la décomposition de Favre.

(14)

2. FORMULATION STATISTIQUE DES ÉQUATIONS DE MOUVEMENT 9 liée à celle de k ou du tenseur de Reynolds. Ceci complique le développement des modèles de turbulence⁹[311].

C’est la raison pour laquelle, nous introduisons ˆht [104]:

ˆht:={h}+1

2{uk}{uk} (2.17)

où ˆ(.) est une fonction de la moyenne d’ensemble pondérée masse mais n’est ni une moyenne de Reynolds ni une moyenne de Favre. Le terme source de l’équation de transport de l’énergie totale moyennée est alors directement relié à l’équation de transport de l’énergie cinétique turbulente k:

∂

∂t

Ähρiˆht− hpiä

+∂hρi{uℓ}ˆht

∂xℓ

= ∂

∂xℓ

ï

{ui}hτiℓi+hu^′′_iτiℓi − {ui}hρu^′′_iu^′′_ℓi −1

2hρu^′′_iu^′′_iu^′′_ℓi − hqℓi − hρh^′′u^′′_ℓi ò

−

ï∂hρik

∂t +∂hρi{uℓ}k

∂xℓ

ò

| {z }

Sk

= ∂

∂xℓ

[{ui}hτiℓi − {ui}hρu^′′_iu^′′_ℓi − hqℓi − hρh^′′u^′′_ℓi] +

≠ τ_ıℓ^′ ∂u^′_i

∂xℓ

∑

| {z }

hρiε^(τ)

+hρu^′′_iu^′′_ℓi∂{ui}

∂xℓ

| {z }

−Pk

+hτiℓi∂hu^′′_ii

∂xℓ

+hu^′′_ℓi∂hpi

∂xℓ

+∂hu^′_ℓp^′i

∂xℓ −

≠ p^′∂u^′_ℓ

∂xℓ

∑

| {z }

Sˆht

(2.18) oùhρh^′′u^′′_ℓiest le flux de chaleur turbulent,hqℓile flux de chaleur moyen etSk le terme source de l’équation de transport de l’énergie cinétique turbulente k. L’équation de transport de l’énergie totale (Eq. 2.18) est réécrite afin de faire apparaˆıtre le terme source Sˆht où ε^(τ), Pk et ^∂^hû

′ ℓp^′i

∂xℓ sont respectivement le taux de dissipation, la production et la diffusion de pression de l’énergie cinétique turbulente k (Eq. 2.32). Les termes hτiℓi^∂^hû

′′

ii

∂xℓ , hu^′′_ℓi^∂∂x^h^pℓⁱ et ¨ p^′^∂u

′ ℓ

∂xℓ

∂ correspondent aux effets directs de la compressibilité. La loi d’état des gaz thermodynamiquement parfaits moyennée s’écrit:

hpi=hρiRg{T}= γ γ−1hρi

Å ˆht−1

2{uk}{uk} ã

(2.19) Les contraintes visqueuses moyenn´ees sont:

hτiℓi = Æ

µ Ç∂ui

∂xℓ

+∂uℓ

∂xi−2 3

∂uk

∂xk

δiℓ

å∏

= 2

Æ

µ({T}+T^′′) Ç

S_iℓ^′′−1 3δiℓS_kk^′′

å∏

+ 2µ({T}) Ç

{Siℓ} − 1

3δiℓ{Skk} å + 2hµ({T}+T^′′)−µ({T})i

Ç

{Siℓ} − 1

3δiℓ{Skk}

å (2.20)

o`uSiℓ est le tenseur de d´eformation. Le flux de chaleur moyen est:

hqℓi=−

≠

κ({T}+T^′′)∂T^′′

∂xℓ

∑

−κ({T})∂{T}

∂xℓ − hκ({T}+T^′′)−κ({T})i∂{T}

∂xℓ

(2.21) La non-linéarité de la loi de Sutherland et de la loi de comportement thermique de Fourier rend complexe les expressions de hτiℓiethqℓi. Notons également qu’il n’est pas possible de calculer simplement T^′′[311].

9L’énergie cinétique turbulente doit être connue pour déterminer la pression, nécessaire à la résolution (hpi= _γ₋^γ₁hρi({ht} −

1

2{uk}{uk} −k). Une possibilité, peu adaptée aux modèlesrsm[104], est l’utilisation de la pression modifiép^∗=hpi+²₃hρik [315].

Certains auteurs ne prennent pas en compte le couplage dans{ht}car il est n´egligeable dans le cas d’´ecoulements subsoniques [103].

(15)

2.3 Equations de transport des corr´ ´ elations statistiques

Les équations de Navier-Stokes moyennées (Eq. 2.15) et (Eq. 2.18) forment un système ouvert. Ainsi nous devons modéliser les tensions de Reynolds, le flux de chaleur turbulent et le terme source de l’équation de transport de l’énergie totale moyennée. Les fermetures des termes ouverts peuvent être obtenues soit, par la construction de relations algébriques entre les différentes grandeurs moyennées connues de l’écoulement (hρi, hpi, {T} ,{ui} et ˆht), soit par l’ajout d’une ou plusieurs équations de transport des corrélations turbulentes inconnues. La résolution d’équations de transport supplémentaires permet de reproduire des comportements physiques non-locaux et de tenir compte de l’historique de certaines grandeurs turbulentes contrairement aux relations algébriques. Cependant, la résolution de nouvelles équations de transport reporte l’élaboration des fermetures sur des termes d’ordre statistique plus élevé dont l’analyse théorique est plus complexe¹⁰.

2.3.1 Echelles turbulentes int´´ egrales

Le tenseur de Reynolds −hρu^′′_iu^′′_ji est un moment statistique d’ordre 2 sur la vitesse fluctuante qui évolue selon le phénomène de cascade énergétique des structures turbulentes non déterministes. Sa loi de distribution est inaccessible [218] (sans hypothèses drastiques sur la nature de l’écoulement). La modélisation statistique des écoulements turbulents ne permet pas d’obtenir de grandeurs fluctuantes instantanées. Néanmoins, la théorie dimensionnelle de la cascade énergétique [166] rend possible la modélisation du tenseur de Reynolds par l’intermédiaire de ses échelles intégrales de longueurLⁿrij (oùnest la direction spatiale de l’échelle) et de temps Trij [192]. Pour cela on définit les corrélations à deux points et à deux temps:

C_r^L_ij^±(~x, ~r) := hu^′_i(~x, t)u^′_j(~x±~r, t)i phu^′_i²(~x, t)i»

hu^′_j²(~x±~r, t)i; C_r^T_ij(~x, t^∗) := hu^′_i(~x, t)u^′_j(~x, t+t^∗)i phu^′_i²(~x, t)i»

hu^′_j²(~x, t+t^∗)i (2.22) où ~x est le vecteur position, ~r un vecteur déplacement, t^∗ une variable de temps, C_ij^L^± la corrélation à deux points et C_ij^T la corrélations à deux temps. La présence d’un exposant + ou −traduit la non-symétrie des corrélations spatiales en r = 0 dans les directions où la turbulence est inhomogène [270]. Le choix des vecteurs ~xet ~r dansC_r^L_ij peut varier suivant les auteurs [158, 226] (on utilise ici la version d’Oberlack [226]).

Les corrélations à deux points sont décomposables en une partie homogène et une partie inhomogène, ce qui permet d’étudier l’influence de la paroi (partie inhomogène)¹¹. Les échelles de longueurs et de temps, définies en chaque point de l’espace, sont [143]:

L^krij^±(~x) :=

Z

~ x±~em∈Ω

C_ij^L^±(~x, r~em)dr; T^rij(~x) :=

Z _∞

0

C_ij^T(~x, t^′)dt^′ (2.23)

o`u Ω est le domaine fluide et~em un vecteur de ce domaine (~em, m ∈[1; 3] forme une base orthonorm´ee).

Kolmogorov [166] utilise l’analyse dimensionnelle pour définir une échelle de longueur isotrope et une échelle de temps, du même ordre de grandeur queLⁿrij(~x) etTrij(~x):

L=ℓT = k^3/2

ε =O(Lⁿrij^±); T =k

ε =O(T^rij); U =√

k (2.24)

oùL=ℓT est l’échelle intégrale isotropique de longueur,T l’échelle intégrale de temps,U l’échelle intégrale de vitesse etεle taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulente. Actuellement aucun modèle anisotropique sur les échelles intégrales de longueur n’a été formulé. L’élaboration d’un modèle pour le tenseur de Reynolds

−hρirij correspond donc `a la d´etermination de la fonctionnelleFij [286]:

rij(~x) =Fij({u}(~y),L(~y),T(~y), ~x); (~x, ~y)∈Ω² (2.25)

10D’une part, les temps de convergence des moments statistiques, évalués à partir de ladns, augmentent avec l’ordre, d’autre part, plus l’ordre est élevé, plus le comportement très proche paroi est compliqué à modéliser et à simuler numériquement.

11Nous en verrons un exemple dans le cas de la dissipation au chapitre 3.

(16)

2. FORMULATION STATISTIQUE DES ´EQUATIONS DE MOUVEMENT 11 2.3.2 Equation de transport exacte du tenseur de Reynolds´ hρu^′′_iu^′′_ji

Toute une zoologie de modèles de turbulence ont été élaborés à partir d’hypothèses plus ou moins radicales sur les échelles intégrales. Notre attention se portera sur les modèles au second ordre (résolvant l’équation de transport des tensions de Reynolds) qui sont, à l’heure actuelle, les plus avancés [184]. L’équation de transport du tenseur de Reynolds exact oùhρi{u^′′_iu^′′_j}=hρirij est:

∂hρirij

∂t +∂hρi{uℓ}rij

∂xℓ

| {z }

Cij

= − ∂

∂xℓhρu^′′_ℓu^′′_iu^′′_ji

| {z }

d^(u)_ij

− ∂

∂xℓ hu^′_ip^′iδℓj+hu^′_jp^′iδiℓ

| {z }

d^(p)_ij

+ ∂

∂xℓ hu^′_iτ_jℓ^′ i+hu^′_jτ_iℓ^′i

| {z }

d^(τ)_ij

+ Æ

p^′ Ç∂u^′_i

∂xj +∂u^′_j

∂xi −2 3

∂u^′_ℓ

∂xℓδij

å∏

| {z }

φij

+

≠2 3p^′∂u^′_ℓ

∂xℓ

∑ δij

| {z }

2 3φpδij

+ Å

−hu^′′_ii∂hpi

∂xj − hu^′′_ji∂hpi

∂xi

+hu^′′_ii∂hτjℓi

∂xℓ

+hu^′′_ji∂hτiℓi

∂xℓ

ã

| {z }

Kij

+ Å

−hρirℓj

∂{ui}

∂xℓ − hρiriℓ

∂{uj}

∂xℓ

ã

| {z }

Pij

− ÇÆ

τ_iℓ^′ ∂u^′_j

∂xℓ

∏ +

≠ τ_jℓ^′ ∂u^′_i

∂xℓ

∑å

| {z }

hρiε^(τ)_ij

(2.26)

avec le terme de corr´elation-vitesse gradient de pression [193]:

Πij= Φij+d^p_ij+2

3Φpδij=−

≠ u^′_i∂p^′

∂xj

+u^′_j∂p^′

∂xi

∑

(2.27) le terme de diffusion turbulente:

d^(T)_ij =d^(u)_ij +d^(p)_ij (2.28)

et le terme de diffusion:

dij=d^(u)_ij +d^(p)_ij +d^(τ)_ij (2.29) où d^(u)_ij est le terme de diffusion dû aux fluctuations de vitesse, d^(p)_ij la diffusion due aux fluctuations de pression et d^(τ)_ij la diffusion moléculaire ou visqueuse. Le terme de redistribution φij est responsable de la redistribution de l’énergie cinétique turbulente entre les composantes normales du tenseur de Reynolds rij

d’une part et entre les tensions croisés de rij d’autre part, sans modification de l’énergie cinétique turbulente puisque φii = 0. Ce terme qui n’apparait pas dans l’équation de l’énergie cinétique turbulente k¹², constitue le point clé des fermetures du second ordre puisque c’est un terme de couplage direct entre les équations des différentes tensions de Reynolds.

Le termeKij correspond aux effets directs de compressibilité et ²₃φpδij est la corrélation de pression dilatation. Morkovin [219] suppose que le comportement des structures turbulentes dans les écoulements supersoniques (en particulier dans la couche limite) est très peu influencé par la compressibilité pour M 65 (où M est le nombre de Mach). En effet, les changements de pression sur des distances de l’ordre de L sont négligeables devant ceux survenant aux passages des ondes de choc. En écoulement subsonique, les termes de compressibilité peuvent également être négligés si Tw/Te <6 (où Tw est la température de la paroi et Te la température en sortie de couche limite). Cette hypothèse est généralement admise dans la construction de modèles et permet l’omission deKij et de ²₃φpδij. Pour étendre en écoulement compressible des modèles construits en approxima- tion incompressible (hρi ≈cst), on substitut la décomposition de Favre à la décomposition de Reynolds [276] et on néglige les fluctuations de masse volumique ρ^′. Ainsi seules les variations de la masse volumique moyenne

12L’anisotropie des tensions de Reynolds des fermetures turbulentes basées sur une équation de transport de l’énergie cinétique turbulente k est celle du champ de vitesse moyen.

(17)

hρisont prises en compte.

Le terme hρiε^(τ)_ij est le taux de dissipation du tenseur de Reynolds par action de la viscosité, autrement dit sa conversion en chaleur. Dans le cadre d’une modélisation au second ordre, seul les termes de convection Cij et de production par action du champ moyenPij sont exacts. On choisit une définition alternative de la dissipation, notéehρiε^(µ)_ij , afin que le terme de diffusion visqueuse soit exact [109]:

hρiε^(µ)_ij = ∂

∂xℓ

Æ µ∂u^′_iu^′_j

∂xℓ

∏

− Æ

u^′i

∂τ_jℓ^′

∂xℓ +u^′j

∂τ_iℓ^′

∂xℓ

∏

; d^(µ)_ij = ∂

∂xℓ

Æ µ∂u^′_iu^′_j

∂xℓ

∏

(2.30) Finalement les ´equations de transport des tensions de Reynolds peuvent se mettre sous la forme simplifi´ee:

Cij =Pij+d^(u)_ij +d^(p)_ij +d^(µ)_ij +φij+2

3φpδij+Kij− hρiε^(µ)_ij (2.31) où il est nécessaire de déterminer des fermetures pour les termes: d^(u)_ij , d^(p)_ij , φij et hρiε^(µ)_ij si on néglige les effets directs de compressibilitéKij etφp.

2.3.3 Equation de transport exacte de l’´´ energie cin´etique turbulente k

L’équation de transport de l’énergie cinétique turbulente k est obtenue en prenant la demi trace de l’équation de transport du tenseur de Reynolds (Eq. 2.26):

∂hρik

∂t +∂{uℓ}hρik

∂xℓ

| {z }

Ck

= −1 2

∂

∂xℓhρu^′′_ℓu^′′_iu^′′_ii

| {z }

d^(u)_k

− ∂

∂xℓ(hu^′_ℓp^′i)

| {z }

d^(p)_k

+ ∂

∂xℓ(hu^′_iτ_iℓ^′ i)

| {z }

d^(τ)_k

+

≠ p^′∂u^′_ℓ

∂xℓ

∑

| {z }

φp

−hρirℓi

∂{ui}

∂xℓ

| {z }

Pk

−

≠ τ_iℓ^′ ∂u^′_i

∂xℓ

∑

| {z }

hρiε^(τ)

+ Å

−hu^′′_ii∂hpi

∂xi

+hu^′′_ii∂hτiℓi

∂xℓ

ã

| {z }

Kk

(2.32)

oùCk=¹₂Ciiest le terme de convection,d^(u)_k = ¹₂d^(u)_ii la diffusion due aux fluctuations de vitesse,d^(p)_k = ¹₂d^(p)_ii la diffusion de pression,d^(τ)_k = ¹₂d^(τ)_ii la diffusion de visqueuse,Pk = ¹₂Pii la production,hρiε^(τ) = ¹₂hρiε^(τ)_ii le taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulence k,Kk= ¹₂Kii le terme correspondant aux effets directs de compressibilité etφp est la corrélation pression-dilatation. Le terme de redistributionφij dont la trace est nulle n’apparaˆıt donc pas dans le budget de l’énergie cinétique turbulente. La décomposition du taux de dissipation des tensions de Reynolds ε^(µ)_ij (Eq. 2.30) s’applique également au taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulenteε^(µ):

hρiε^(µ)= ∂

∂xℓ

≠ µ∂k

∂xℓ

∑

−

≠ u^′_i∂τ_iℓ^′

∂xℓ

∑

; d^(µ)_k = ∂

∂xℓ

≠ µ∂k

∂xℓ

∑

(2.33) A l’instar de l’équation de transport des tensions de Reynolds, cette formulation permet au terme de dissipation visqueuse d’être exact. Finalement l’équation de transport de l’énergie cinétique turbulente peut se mettre sous la forme simplifiée:

Ck=Pk+d^(u)_k +d^(p)_k +d^(µ)_k +φp+Kk− hρiε^(µ) (2.34) où il est nécessaire de déterminer des fermetures pour les termes: Pk, d^(u)_k , d^(p)_k , ethρiε^(µ) si les termes de compressibilitéKket φp sont négligés.

2.3.4 Equations de transport exactes du tenseur de dissipation du tenseur de Reynolds´ εij

Afin de déterminer la fonctionnelleFij (Eq. 2.25), il est nécessaire d’ajouter une échelle turbulente de longueur ℓT =Lou de tempsT à l’échelle de vitesse turbulenteU déterminée par la résolution des équations de transport du tenseur de Reynolds ou de l’énergie cinétique turbulente. Certains auteurs [31, 122] proposent d’estimer l’échelle de longueur turbulenteℓT =Là partir de la longueur de mélange proposée par Prandtl [235, 236]: