On considère deux suites d’entiers naturels positifs constituées l’une et l’autre du même nombre de termes : S1 de terme général uk et S₂ de terme général vk définies de la manière suivante :
- S₁ est une suite d'entiers naturels consécutifs. Pour tout entier k ≥ 1, uk désigne le nombre de chiffres de vk.
- Pour tout entier k ≥ 1, le terme général vk de S₂ est égal à la somme des puissances d’ordre k de tous les termes de la suite S1.
Q₁ Démontrer que les deux suites S₁ et S₂ ont toujours un nombre fini de termes.
Q₂ Déterminer le nombre maximum de termes de S₁ et de S₂ et donner la suite correspondante S2
dont le plus grand terme est le plus grand possible.
Q1 : Si S1 avait un nombre infini de terme, chaque terme de S2 serait infini...
Soit alors n le nombre de termes de chaque suite.
Posons u1=a+1, donc uk=a+k ; si nous notons ∑k(n)=1k+2k+...+nk, vk=∑k(a+n)-∑k(a) et 10a+k-1< vk<10a+k
Q2 : Pour n=10, ∑k(n) a k+1 chiffres pour tout k ; on peut aisément vérifier avec un tableur qu’il en est de même pour n=11 pour k≤22, mais ce n’est vrai que pour k≤9 pour n=12 et k≤4 pour n=13.
De même, ∑k a k+2 chiffres pour n=14 si k≤12, et n=15 si k≤9. Les valeurs de n inférieures à 10 ou supérieures à 15 donnent des séquences plus courtes.
Nous en déduisons que la plus longue séquence est obtenue pour a=2 et k de 1 à 12, soit S1=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
S2=102, 1010, 11016, 127670, 1539792, 19092230, 241561296, 3103591430, 40357578672, 529882276550, 7012409922576, 93413954854790.
