A5908 – Concaténations à la chaîne [* à *** à la main]
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation1 de deux carrés parfaits >0 [*]
Q₂ Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de trois carrés parfaits >0 [**]
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de quatre carrés parfaits >0 [***]
1 Nota : Par exemple la concaténation de 1=1² et de 36= 6² donne l’entier 136. Aucun carré parfait obtenu par concaténation ne commence par un zéro.
Solution proposée par Pierre Leteurtre Q1/ 2 carrés
Soient les 2 suites construites suivant la relation de récurrence an = 38 an-1 – an-2 (voir annexe) et les valeurs de départ 1 et 40 pour l'une, 35 et 1265 pour l'autre :
1 40
1519 = 38* 40 - 1 57682 = 38* 1519 - 40 2190397 = 38*57682 – 1519 ...
35 1265
48035 = 38* 1265 - 35 1824065 = 38* 48035 - 1265 69266435 = 38*1824065 – 48035 ...
Elles permettent de construire la suite infinie dénombrable : 1 ( 1) & 225 (15) = 1225 (35)
1600 ( 40) & 225 (15) = 1600225 (1265) 2307361 ( 1519) & 225 (15) = 2307361225 (48035) 3327213124 ( 57682) & 225 (15) = 3327213124225 (1824065) 4797839017609 ( 2190397) & 225 (15) = 4797839017609225 (69266435) ...
Q2/ 3 carrés
Le carré de 16005 se décompose ainsi :
256 (16) & 1600 (40) & 25 (5) = 256160025 (16005)
En ajoutant 00 dans la partie centrale, on crée la suite infinie dénombrable : 256.1600.25, 25600.160000.25, 2560000.16000000.25, ...
Il en va de même pour 5 autres nombres similaires : 625 (25) & 2500 (50) & 25 (5) = 625250025 (25005) 1296 (36) & 3600 (60) & 25 (5) = 1296360025 (36005)
2401 (49) & 4900 (70) & 25 (5) = 2401490025 (49005) 4096 (64) & 6400 (80) & 25 (5) = 4096640025 (64005) 6561 (81) & 8100 (90) & 25 (5) = 6561810025 (81005)
Q3/ 4 carrés
Le carré de 110052 se décompose ainsi :
121 (11) & 1 (1) & 144 (12) & 2704 (52) = 12111442704 (110052)
En ajoutant 00 dans la partie centrale, on crée la suite infinie dénombrable : 121.1.144.2704, 12100.1.14400.2704, 1210000.1.1440000.2704, ...
Il en va de même pour 38 autres nombres similaires :
121 (11) & 169 (13) & 4 ( 2) & 5929 (77) = 12116945929 (110077) 169 (13) & 1 ( 1) & 144 (12) & 1936 (44) = 16911441936 (130044) 169 (13) & 1 ( 1) & 196 (14) & 2116 (46) = 16911962116 (130046) 169 (13) & 16 ( 4) & 64 ( 8) & 4096 (64) = 16916644096 (130064) 196 (14) & 1 ( 1) & 484 (22) & 2809 (53) = 19614842809 (140053) 256 (16) & 16 ( 4) & 64 ( 8) & 2704 (52) = 25616642704 (160052) 289 (17) & 25 ( 5) & 16 ( 4) & 5476 (74) = 28925165476 (170074) 324 (18) & 1 ( 1) & 2601 (51) & 225 (15) = 32412601225 (180035) 361 (19) & 144 (12) & 4 ( 2) & 1444 (38) = 36114441444 (190038) 361 (19) & 1444 (38) & 144 (12) & 4 ( 2) = 36114441444 (190038) 529 (23) & 4 ( 2) & 324 (18) & 8836 (94) = 52943248836 (230094) 529 (23) & 225 (15) & 4 ( 2) & 2401 (49) = 52922542401 (230049) 676 (26) & 4 ( 2) & 576 (24) & 7744 (88) = 67645767744 (260088) 676 (26) & 4 ( 2) & 784 (28) & 8464 (92) = 67647848464 (260092) 676 (26) & 16 ( 4) & 64 ( 8) & 1024 (32) = 67616641024 (260032) 784 (28) & 4 ( 2) & 144 (12) & 5476 (74) = 78441445476 (280074) 784 (28) & 4 ( 2) & 256 (16) & 5776 (76) = 78442565776 (280076) 1156 (34) & 25 ( 5) & 16 ( 4) & 1369 (37) = 115625161369 (340037) 1156 (34) & 49 ( 7) & 64 ( 8) & 5329 (73) = 115649645329 (340073) 1369 (37) & 4 ( 2) & 144 (12) & 3136 (56) = 136941443136 (370056) 1369 (37) & 25 ( 5) & 16 ( 4) & 1156 (34) = 136925161156 (370034) 1444 (38) & 4 ( 2) & 256 (16) & 3136 (56) = 144442563136 (380056) 1444 (38) & 4 ( 2) & 484 (22) & 3481 (59) = 144444843481 (380059) 1444 (38) & 676 (26) & 4 ( 2) & 7921 (89) = 144467647921 (380089) 1936 (44) & 4 ( 2) & 576 (24) & 2704 (52) = 193645762704 (440052) 2116 (46) & 4 ( 2) & 324 (18) & 2209 (47) = 211643242209 (460047) 2116 (46) & 4 ( 2) & 784 (28) & 2704 (52) = 211647842704 (460052) 2209 (47) & 4 ( 2) & 324 (18) & 2116 (46) = 220943242116 (470046) 2704 (52) & 4 ( 2) & 576 (24) & 1936 (44) = 270445761936 (520044) 2704 (52) & 4 ( 2) & 784 (28) & 2116 (46) = 270447842116 (520046) 2704 (52) & 9 ( 3) & 256 (16) & 7921 (89) = 270492567921 (520089) 2809 (53) & 625 (25) & 4 ( 2) & 3481 (59) = 280962543481 (530059) 2809 (53) & 784 (28) & 4 ( 2) & 5476 (74) = 280978445476 (530074) 3136 (56) & 4 ( 2) & 144 (12) & 1369 (37) = 313641441369 (560037) 3136 (56) & 4 ( 2) & 256 (16) & 1444 (38) = 313642561444 (560038) 3249 (57) & 9 ( 3) & 576 (24) & 7056 (84) = 324995767056 (570084) 3481 (59) & 4 ( 2) & 484 (22) & 1444 (38) = 348144841444 (590038) 3481 (59) & 9 ( 3) & 676 (26) & 6724 (82) = 348196766724 (590082)
3481 (59) & 625 (25) & 4 ( 2) & 2809 (53) = 348162542809 (590053) 3969 (63) & 9 ( 3) & 324 (18) & 5476 (74) = 396993245476 (630074) 3969 (63) & 9 ( 3) & 576 (24) & 5776 (76) = 396995765776 (630076) Annexe
Voici les 9 premiers cas de la suite de concaténations a2 & 32 = n2 : a n
4 ( 2) & 9 (3) = 49 (7) 16 ( 4) & 9 (3) = 169 (13) 324 ( 18) & 9 (3) = 3249 (57) 6400 ( 80) & 9 (3) = 64009 (253) 23716 ( 154) & 9 (3) = 237169 (487) 467856 ( 684) & 9 (3) = 4678569 (2163) 9229444 ( 3038) & 9 (3) = 92294449 (9607) 34199104 ( 5848) & 9 (3) = 341991049 (18493) 674648676 (25974) & 9 (3) = 6746486769 (82137) Quels sont les 3 cas suivants ?
=============================================================
En posant n = c + 3, il vient 10 a2 = c (c+6)
c et (c+6) ne peuvent pas avoir d'autres facteurs communs que 2 et 3, et ils ont même parité, donc l'un des deux est multiple de 10, ils sont simultanément multiples de 6 ou pas du tout, et les quotients sont des carrés parfaits.
10 a2 c c + 6
40 4 = 22 10
160 10 16 = 42
3240 54 = 6 32 60 = 6 10
64000 250 =10 52 256 = 162
237160 484 = 222 490 = 10 72
4678560 2160 = 6 10 62 2166 = 6 192
92294440 9604 = 982 9610 = 10 312
341991040 18490 = 10 432 18486 = 1362
674648676 82134 = 6 1192 82140 = 6 10 372
On voit que c et (c+6) sont multiples de 6 une fois sur trois, et alternativement multiples de 10. Pour dégager des relations de récurrence simples, on est amené à constituer 3 ensembles : A (cas 1,4,7), q (cas 2,5,8), C (cas 3,6,9)
Les 3 ensembles obéissent aux mêmes relations de récurrence, avec des conditions initiales différentes :
cn = k pn qn2 pn = pn-2 qn = 2 pn-1 qn-1 - qn-2 Ensemble p (k = 1)
pn qn cn 10 an2 = cn(cn+6) an 1 2 4 40 2 10 5 250 64000 80 1 98 9604 92294440 3038 10 191 364810 133088524960 115364
1 3722 13853284 191913560704360 4380794 10 7253 526060090 27673922144716860 166354808 Ensemble q (k = 1)
pn qn cn 10 an = cn(cn+6) an 10 1 10 160 4
1 22 484 237160 154 10 43 18490 341991040 5848 1 838 702244 493150849000 222070 10 1633 26666890 711123182273440 8432812 1 31822 1012639684 1025439135687457960 320224786 Ensemble C (k = 6)
pn qn cn 10 an = cn(cn+6) an 1 3 54 3240 18 10 6 2160 4678560 684 1 117 82134 6746486760 25974 10 228 3119040 9728429235840 986328 1 4443 118441494 14028388211601000 37454490 10 8658 4497657840 20228926072699412640 1422284292
Dans chaque ensemble, an obéit à la relation de récurrence an = 38 an-1 - an-2 n (racine carrée de la chaîne concaténée) obéit aussi à cette relation
On peut maintenant répondre à la question posée (et poursuivre indéfiniment) : 13308852496 (115364) + 9 (3) = 133088524969 (364813)
49315084900 (222070) + 9 (3) = 493150849009 (702247) 972842923584 (986328) + 9 (3) = 9728429235849 (3119043)
