Deux cylindres semblables ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu'il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
Soit r le rayon du cylindre de hauteur 1 auquel les deux cylindres sont semblables : il a une surface s=2π(r(1+r) et un volume v=πr2
Si x et y sont les hauteurs des deux cylindres, nous avons donc : x+y=1, (x2+y2)r(1+r)=4, (x3+y3)r2=2.
Posons xy=t ; alors x2+y2=1-2t et x3+y3=1-3t, donc 3(1-(x2+y2))=2(1-(x3+y3)) soit 3(1-4/(r(1+r))=2(1-2/r2) ou encore (r-2)(r2+3r-2)=0
La solution r=(√17-3)/2 conduit à une valeur de t négative, donc la seule solution admissible est r=2, qui donne t=1/6 et les hauteurs x=(1+√3/3)/2, y=(1-√3/3)/2, les rayons respectifs étant 1+√3/3 et 1-√3/3.
