1
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
TRIANGLES SEMBLABLES
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/38DTCmRRvUs
I. Caractérisation angulaire
Définition : On appelle triangles semblables, des triangles qui ont des angles deux à deux égaux.
Exemple :
Les triangles ABC et DEF sont semblables, en effet :
𝐴𝐵𝐶$ = 𝐷𝐹𝐸$ 𝐵𝐴𝐶$ = 𝐸𝐷𝐹$ 𝐴𝐶𝐵$ = 𝐷𝐸𝐹$
Dans la pratique :
Pour montrer que deux triangles sont semblables, il suffit de s’assurer que deux couples d’angles sont égaux deux à deux. En effet, d’après la règle des 180°, le dernier couple d’angles le sera également.
II. Proportionnalité des mesures des cotés
Exemple :
Les triangles ABC et DEF sont semblables.
Les côtés du triangle ABC sont proportionnels aux côtés du triangle DEF.
On fait correspondre deux à deux les côtés opposés à deux angles égaux.
2
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
Dans deux triangles semblables, les côtés opposés à des angles égaux sont appelés « côtés homologues ».
Côtés de DEF DF = 10,8 EF = 12,3 ED = 13,2
Côtés de ABC AB = 7,2 BC = 8,2 AC = 8,8
↑ Opposé à l’angle bleu ↑ Opposé à l’angle vert ↑ Opposé à l’angle rouge
On constate ainsi que :
10,8
7,2 =12,3
8,2 =13,2
8,8 = 1,5
Propriété : Dire que deux triangles sont semblables revient à dire que les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l’autre.
Remarque : Le coefficient de proportionnalité est appelé le coefficient d’agrandissement ou de réduction.
Méthode : Utiliser des triangles semblables
Vidéo https://youtu.be/F3SuRBTkaGM Vidéo https://youtu.be/chTB8q0cY9Q Vidéo https://youtu.be/Z-G-9Q9Vezc Vidéo https://youtu.be/0tB0jmrMaLc Vidéo https://youtu.be/h0tnW4JqQjQ
1) Prouver que les triangles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐷𝐸𝐹 sont des triangles semblables.
2) En déduire les longueurs 𝐶𝐵 et 𝐴𝐵.
1) On sait que 𝐶𝐴𝐵$ = 𝐸𝐷𝐹$ et que 𝐵𝐶𝐴$ = 𝐹𝐸𝐷$ = 90°. Donc nécessairement, les angles 𝐶𝐵𝐴$ et 𝐸𝐹𝐷$ sont égaux.
On en déduit que les triangles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐷𝐸𝐹 sont des triangles semblables.
2) Comme les triangles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐷𝐸𝐹 sont semblables, les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l’autre.
On a donc : !"
#$
=
!%#&
=
"%$& , soit : ',)
*
=
!%)
=
"%'+
On en déduit que : 𝐶𝐵 = 6 x 1,6 : 8 = 1,2 𝐴𝐵 = 10 x 1,6 : 8 = 2.
Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.
www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
