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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Bijtebier, J. (1968). Modèles isobariques, modèles périphériques et ondes partielles dans les réactions pi N ---> pi pi N (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

FÜCULTE DES SCIENCES

Modèles Isobariques, Modèles Périphériques et Ondes Partielles dans les réactions

1 I.

Thèse présentée pour l'obtention du grade de Docteur en Sciences Physiques ( grade légal 1

\

I I jacqiies 6IJTE6IER

[ Chercheur au Laboratoire des

Hautes Energies de I ' IISN

1968

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

FACULTE DES SCIENCES

BIBUOTHtoUc DE lUTHÛMTOUES El DE PHYSIQUE

3HP

53 J. 'tJ-

3

Cü^. /

Modèles Isobariques, Modèles Périphériques et Ondes Partielles dans les réactions JtN^ltlTN

Thèse présentée pour l'obtention du grade de Docteur en Sciences Physiques ( grade légal )

Jacques BliTEBIER

Chercheur au Laboratoire des

Hautes Energies de I' MSN

1968

REMERCIEMENTS

Je remercie mon directeur de thèse Monsieur le Professeur J. Reignier qui m'a proposé ce sujet de recherche, m'a guidé de ses conseils tant au cours du travail scientifique qu'au stade de la rédaction, et a bien vou­

lu lire le manuscrit de cette thèse.

Je remercie le Dr. J. Naisse, qui a également lu mon manuscrit et avec qui j'ai eu de nombreuses et fructueuses discussions. Ma reconnais­

sance va encore à Messieurs P. Moussa et R. Stora qui m'ont patiemment enseigné leur méthode de calcul des ondes partielles ainsi qu'à Messieurs B. Deler et G. Valladas qui m'ont initié aux difficultés de l'analyse des résultats expérimentaux.

Je tiens également à exprimer ma gratitude à Monsieur le Professeur J. Géhéniau qui m'a accueilli dans son service, ainsi qu'à Monsieur le Professeur A. Berthelet, pour l'hospitalité qu'il m'a accordée pendant près de deux ans au DPhPE du CEN de Saclay.

Ce travail a été rendu possible par la générosité de l'Institut Interuniversitaire des Sciences Nucléaires, auquel j'exprime ma très vive reconnaissance.

«TJ r rr r) Û Ù U i} U Ü

TABLE DES MATIERES

Introduction. 1

I partie : Amplitudes correspondant aux modèles d'échange et aux ondes partielles.

Chapitre I. Définitions, notations et cinématique.

1) Métrique . Matrices de Dirac . Amplitude invariante. 8 2) Impulsions des particules de la réaction. 9

3) Cinématique. 11

k) Cas où les pions finals ont la même charge. 19

Chapitre II. Calcul des amplitudes correspondant aux modèles d'échange.

3) Couplages dans le formalisme lagrangien. Règles de

Feynman. 21

6) Passage du formalisme lagrangien au formalisme de la

matrice S« Propagateurs. 30

7) Calcul des facteurs d'espace des charges. 37 8) Calcul des amplitudes correspondant aux modèles

d’échange. kO

9) Facteurs de forme. 51

Chapitre III. Ondes partielles.

10) Expression de l'amplitude correspondant à une onde partielle donnée.

11) Amplitudes d'onde partielle dans le cas de la pro­

duction d'une résonance.

II 0 partie : Développement des expressions des amplitudes et des sections efficaces.

Chapitre IV. Développements effectués à l'aide de spineurs et de matrices de Pauli et de vecteurs unité.

12) Expression de l'amplitude correspondant à une onde partielle donnée.

13) Quelques ambiguités de l'analyse en ondes partielles quand on ne fait pas de mesure de polarisation.

14) Projection sur les ondes partielles des amplitudes correspondant aux modèles d'échange.

13) Développement des expressions des amplitudes corres­

pondant aux divers processus et calcul de l'amplitude totale.

16) Diagramme de Chew et Low dans le cas de la production d'une résonance.

17) Désintégration d'une résonance. Matrices de densité.

Chapitre V. Développements effectués à l'aide d'harmoniques sphériques et de coefficients de Clebsch-Gordan.

18) Propriétés de l'amplitude correspondant à une onde partielle donnée.

19) Développement des amplitudes selon les ondes partiel­

les de l'état initial seulement.

6k 60

67

76

86

91

93 9k

100

103

20) Développement en harmoniques sphériques du terme d’interférence entre deux ondes partielles, consi­

déré comme une fonction de la direction du nucléon initial relativement au plan des particules finales

dans le système du centre de masse général. 106 21) Calcul des coefficients de recouplage entre des ondes

partielles relatives à des couples de particules fina­

les différentes. 112

22) Développement en harmoniques sphériques de la section efficace considérée comme une fonction de la direc­

tion du nucléon initial. 119

23) Calcul de la section efficace totale TtN^rirrN

pour une onde initiale donnée. Unitarité. 12^

2k) Modèles d'échange et ondes partielles. 123

25) Cas des cibles polarisées. 135

III 0 partie ; Conclusions.

Chapitre VI. Récapitulation et conclusions.

26) Récapitulation des processus à envisager. 1kl.

27) Discussion et conclusions. 1^6

28) Applications numériques. 1^8

Appendices. Appendice A.

Appendice B.

Appendice C.

Appendice D.

Tableaux

Calcul des amplitudes corres­

pondant aux modèles d'échange. 151 Projection sur les ondes ---

partielles des amplitudes cor­

respondant aux modèles d ' écha_^ge.l56 Développement des expressions

des amplitudes. 159

Calcul des fonctions et (0/ , o^). * Cas des cibles polarisées.

Références

Appendice E

162 172 176

1

INTRODUCTION

Nous nous proposons dans ce travail de mettre au point une série de formules et de techniques de calcul susceptibles d'être utilisées dans l'analyse des résultats expérimentaux concernant les réactions

Tt N --- ^Tt TC N.

Un grand nombre de modèles théoriques de ces réactions ont été proposés par différents auteurs. Pour des énergies cinétiques du pion

incident dans le système du laboratoire comprises entre 0,5 GeV et k GeV, ces modèles peuvent être, en gros, classés dans deux grandes familles :

a) Les modèles périphériques (1.1?) où l'on suppose qu'un méson TC est échangé entre le pion et le nucléon de l'état initial (fig. la) « L'amplitude de réaction est dans ce cas représentée par le produit de plusieurs facteurs qui sont : le propagateur du pion échangé, un fac­

teur correspondant au vertex flN Net un facteur représentant "l'ampli­

tude de diffusion TlTl " ( l'un des pions étant hors de sa couche de mas­

se). On peut particulariser ce dernier facteur en admettant qu'il y a formation de la résonance ^ (spin-parité 1 et isospin 1) (fig. Ib).

b) Les modèles isobariques, où l'on suppose qu'il y a formation et désintégration de l'isobare (spin-parité 3/2* et isospin 3/2) du nucléon selon le processus ^ M —^ TL TT /N/ (fig* le).

Depuis que le modèle primitif de Lindenbaum et Sternheimer (2) a été complété par l'introduction des effets d'interférence entre les deux processus possibles de production de l'isobare (chacun des deux pions finale étant susceptible d'avoir formé un isobare avec le nucléon fi­

nal) (3) puis par le calcul correct des effets dus au spin (4), il ne

La figure I se trouve à la fin de l'introduction.

2

reste plus qu'à préciser le mécanisme de production de l'isobare. Cer­

tains auteurs essaient de reproduire les résultats expérimentaux en admettant que la réaction

TC N a

lieu dans certaines ondes partielles bien déterminées, avec des amplitudes d'onde partielle re­

présentées par des paramètres ajustables (5,6). (Ils tiennent compte au besoin du fait que le système "pion-nucléon" final peut être égale­

ment produit dans d'autres états que l'état 3/2^ 3/2, notamment dans des états pour lesquels le déphasage de la diffusion élastique pion nucléon est résonnant, ou même simplement important). D'autres auteurs admettent que la réaction TT

IM

TC

^

lieu selon le processus périphérique d'échange d'un méson p (7,8,24) (fig. Id). On peut res­

treindre le nombre de paramètres ajustables dans le calcul de l'ampli­

tude correspondant à ce dernier processus en adoptant le couplage P N f\J^de Jackson et Pilkuhn (8) et de Jouvet, Abillon et Bordes (24) basé sur l'analogie p -photon de Stodolsky et Sakuraï (?)• (Si l'on ne fait pas cette hypothèse, on doit utiliser une combinaison li­

néaire de trois couplages pN W* indépendants).

Notre travail a consisté à unifier et à systématiser ces diffé­

rents modèles. Nous avons pris comme principaux termes de l'amplitude de réaction TU Mtitt

N

les amplitudes correspondant aux dia­

grammes b) et d) de la figure I (production du p par échange de TT et production du j\{ par échange de p avec le couplage pW Nj^de Jackson et Pilkuhn). Comme les modèles d'échange sont en général mieux vérifiés pour les grandes ondes partielles que pour les petites, nous nous sommes ménagé la possibilité de modifier, pour la réaction

k N pN

comme pour la réaction TT

N

TT premières amplitudes d'onde partielle. Cela revient en pratique à ajouter à l'amplitude de réaction calculée à l'aide du modèle d'échange un cer­

tain nombre de termes correspondant aux ondes partielles dont nous renonçons à calculer l'amplitude à l'aide du modèle d'échange, avec des coefficients ajustables qui représentent la différence entre l'am­

plitude d'onde partielle qu'on pourrait déduire de l'expérience et sa valeur calculée à l'aide du modèle d'échange. On pourra également mo-

3

difier certaines amplitudes d'onde partielle pour tenir compte de pro­

cessus du type ou étant une réso­

nance pion-nucléon d'énergie suffisamment élevée pour pouvoir se dé­

sintégrer en 71 ou en ^ N . Ces modifications introduisent des pa­

ramètres ajustables complexes supplémentaires. Nous espérons que les résultats expérimentaux pourront ainsi être reproduits plus fidèlement qu'avec le modèle d'échange, mais avec moins de paramètres ajustables que dans une analyse en ondes partielles pure et simple.

Dans le but d'être complet, et pour ne pas négliger certains pro­

cessus qui pourraient contribuer d'une manière assez importante à la réaction, nous avons tenu compte également de processus où un couple de particules finales est produit dans un état dont les nombres quan­

tiques ne sont pas nécessairement ceux du ou du P . En résumé, nous avons donc calculé les amplitudes de réaction TC N TC ^ CC A/) , et TC N —^ j\| ^ T étant le spin-parité et l'isospin de la paire de particules finales considéréei ). Ces amplitudes ont été calculées aussi bien dans l'hypothèse où la réaction a lieu dans une onde partielle déterminée quelconque que dans l'hypothèse où elle a lieu selon un processus périphérique (d'échange de TT pour les réac­

tions TI N N (Itïï )jVt' . d'échange de pour les réactions fiN n (îTlM )•

Dans cette dernière hypothèse, nous nous sommes cependant limité aux cas où le moment angulaire orbital relatif des particules de la paire de particules finales considérée est égal à O ou 1. Dans le cas de la production du N ' par échange de Ç , nous avons fait les cal­

culs à l'.r.ide du üoupla,ge N^le plus général, l'hypothèse de l'analogie ^ -photon pouvant toujours être faite à la fin pour sim­

plifier les résultats. L'amplitude à utiliser dans l'analyse des ré­

sultats expérimentaux sera obtenue en sommant un certain nombre des amplitudes correspondant aux différents processus énumérés ci-dessus, selon le principe de l'ajustement le plue fidèle à l'aide du minimum de paramètres. Nous n'essayerons pas d'effectuer cette analyse des résultats expérimentaux dans ce travail, nous bornant à fournir un

k

arsenal de formules, de propriétés et de techniques de calcul utilisa­

bles par les expérimentateurs et par les théoriciens qui s'intéressent aux réactions IT

N

TCTÎ M . L'exposé sera évidemment axé sur le calcul des sections efficaces et des distributions angulaires corres­

pondant à une combinaison quelconque des différents processus énumérés ci-dessus, mais on y trouvera également certains autres calculs in­

téressants, notamment le calcul de la projection sur les différentes ondes partielles des amplitudes correspondant aux modèles d'échange.

Tous les résultats sont valables quelle que soit l'énergie totale du système, mais c'est surtout dans le domaine d'énergie où la réaction

TCN^

nu Kl

est dominée par la formation du /V/^et du ^ (c'est- à-dire pour une énergie du pion incident dans le système du laboratoi­

re inférieure à 4 GeV environ) qu'ils seront susceptibles d'une uti­

lisation pratique.

Notre travail se divise en trois parties. Dans une première par­

tie, nous n'exposerons que ce qui est strictement nécessaire au cal­

cul des sections efficaces correspondant au modèle que nous nous sommes donné (production du du Q , et éventuellement d'autres états des sous-systèmes finals ( KN ) et ( TC7C ) par un modèle d'échange de

^ (pour TL

N

^{) ou de}

TC

(pour

TC TC)

avec des termes correctifs pour certaines ondes partielles). Le chapitre I est consacré à la défini­

tion des notations et à la cinématique. Dans le chapitre II, nous cal­

culons les amplitudes correspondant aux modèles d'échange. Nous commen­

çons par écrire les règles de Feynman, puis nous examinons comment les résultats obtenus dans le cadre du formalisme lagrangien (règles de Feynman) peuvent être transposés dans le cadre du formalisme de la matrice 3 > nous adoptons dans ce travail. Nous utilisons ensuite les règles de Feynman pour écrire les amplitudes correspondant aux mo­

dèles d'échange à l'aide de spinèursi et de matrices de Dirac et de quadrivecteurs impulsion, puis nous transformons les expressions obte­

nues en des amplitudes écrites à l'aide de s];inéurs' et de matrices de Pauli, et des grandeurs et des directions des impulsions des particu­

les dans différents systèmes d'axes (système du centre de masse géné-

5

ral, système où le

N

ou le Ç est au repos, etc.). Au chapitre III, nous écrivons l'expression de l'amplitude correspondant à une onde par­

tielle quelconque à l'aide d'harmoniques sphériques et de coéfficients de Clebsch-Gordan. Il ne reste plus qu'à ajouter aux diverses amplitu­

des calculées au chapitre II des termes correctifs correspondant à diverses ondes partielles, calculés au chapitre III, et à traiter le tout à l'aide des formules de cinématique du chapitre I pour obtenir n'importe quelle distribution de probabilité désirée.

Au lieu de sommer numériquement les diverses amplitudes

calculées aux chapitres II et III et d'utiliser ensuite les formules de cinématique, on a intérêt à transformer les expressions de ces am­

plitudes de manière à pouvoir effectuer la plupart des calculs algé­

briquement et analytiquement et à ne recourir au calcul numérique qu'à la fin. C'est ce que nous faisons dans la deuxième partie de ce travail. Nous adoptons successivement deux manières de procéder dif­

férentes : au chapitre IV nous écrivons toutes les amplitudes à l'aide de spineurs et de matrices de Pauli et de vecteurs unité selon la di­

rection des impulsions des particules dans différents systèmes d'axes (les amplitudes correspondant aux modèles d'échange calculées au cha­

pitre II étant déjà mises sous cette forme, il nous suffit de recalcu­

ler les amplitudes correspondant aux différentes ondes partielles afin de les obtenir sous cette forme également, ce que nous faisons en nous inspirant des articles de Moussa et Stora (12) et de Zemach (13)).

Nous développons ensuite les amplitudes afin d'en éliminer les produits de plusieurs matrices de Pauli, puis nous sommons le tout. Nous effec­

tuons encore quelques autres calculs, notamment le calcul de la pro­

jection sur les diverses ondes partielles des amplitudes correspondant aux modèles d'échange. Au chapitre V par contre, nous écrivons toutes les amplitudes à l'aide d'harmoniques sphériques et de coéfficients de Clebsch-Gordan (les amplitudes correspondant aux diverses ondes par­

tielles et calculées au chapitre I sont déjà sous cette forme). Il est facile de mettre également sous cette forme les amplitudes correspon­

dant aux modèles d'échange en remarquant que, si on enlève les facteurs

6

de forme et le pôle de la particule échangée, le facteur restant ne contribue qu*à un nombre fini d'ondes partielles). Nous utilisons les propriétés des harmoniques sphériques et de coefficients de Clebsch- Gordan pour développer en harmoniques sphériques les termes d'inter­

férence entre les différentes amplitudes (correspondant à une onde partielle donnée ou à un modèle d'échange) considérés comme des fonc­

tions de la direction du nucléon initial relativement au plan des par­

ticules finales dans le système du centre de masse, puis nous sommons le tout. Nous effectuons encore quelques autres calculs, notamment le calcul du coefficient de recouplage entre deux ondes partielles rela­

tives à des paires de particules finales différentes, le calcul de la section efficace totale rN^tcit N pour une onde initiale donnée (ce qui permet de contrôler que l'on ne dépasse pas la valeur permise par l'unitarité) et, comme au chapitre IV, mais par une méthode très différente, le calcul de la projection sur les diverses ondes partiel­

les des amplitudes correspondant aux modèles d'échange. Nous nous occu pons également du cas de la production sur cible polarisée. La troisiè me partie de ce travail (chapitre VI) contient les conclusions. Une récapitulation des divers processus dont on peut tenir compte dans le calcul de l'amplitude totale est suivie d'une discussion.

7

Figure I : Représentation schématique des principales contributions discutées pour la description des processus fC l\lKTi N •

Nous écrivons IX NiTT^Tt, N ^ afin de désigner sans équivoque les dif- férentes particules.

8

Ie

partie

AMPLITUDES CORRESPONDANT AUX MODELES D'ECHANGE ET AUX ONDES PARTIELLES.

CHAPITRE I. DEFINITIONS, NOTATIONS ET CINEMATIQUE.

§ 1. Métrique. Matrices de Dirac. Amplitude invariante.

Dans nos notations, ront :

les composantes du tenseur métrique

Le produit scalaire de deux quadrivecteurs X et s'écrira :

Nous adopterons un système d'unités tel que 4 et C soient égaux à 1.

Nous utiliserons des matrices de Dirac telles que :

CrMr)-

9

L'équation de Dirac s'écrira :

(-Cf 0^-1-^ O

Avec ces conventions, ^ ^ ^ ^ sont hermi­

tiens et de carré 1.

Nous utiliserons également la représentation explicite suivante de ces matrices :

où les matrices <T^ sont les matrices de Pauli.I

Nous noterons ^ le produit scalaire le produit scalaire

?. a •

Nous définirons l'amplitude de réaction à partir de l'élément de matrice 3 de la manière suivante :

(

1

)

avec des notations évidentes. Avec cette définition, la section effi­

cace de la réaction TT ir^TT^ M' s'écrira :

a-, I Aie I' 5Y'P-(a)

) A. A, Ao ^

où C?L dÀi cLUld'i^ en déduira les expressions des diverses sections efficaces différentielles. Les notations utili­

sées dans la formule (2) seront définies au paragraphe suivant.

L'amplitude invariante /\|.* est sans idinensi.on^; pour une réaction 2 corps 2 corps et a les dimensions d'une longueur pour une réac­

tion 2 corps —^ J> corps.

§ 2. Impulsions des particules de la réaction.

Nous nous intéressons dans ce travail à la réaction

Afin de désigner sans équivoque les différentes particules, nous par-

10

lerons de la réaction TC

N N

, l'indice 1 étant affecté au pion dont la charge est la plus élevée en valeur relative (dans le cas où les pions finals ont la même charge, les indices 1 et 2 seront affectés aux pions selon leur impulsion; par exemple le pion n“l sera celui dont l'énergie cinétique dans le système du centre de masse est

la plus grande). ^

Nous donnerons aux particules de l'état final ”TT^, ,

N

^le

nom de particule finale n°l, 2, 3 respectivement. ^ ^ Ncttifi^donnerons aux paires de particules-finales ( N ), ( Tl,

N/

⁾

et le nom de paire (ou couple, ou seus-système) n°l, 2, 3 res­

pectivement.

Nous appellerons ^ (i = 1, 2, 3) le quadrivecteur impulsion delà couple i, m^ sa masse, ( -^iO) -Â; ^ avec = 1 les composantes de 1^ dans le système du centre de masse général de la réaction (SCM )»

Nous appellerons (i = 1, 2, 3) le quadrivecteur impulsion de la particule i, sa masse, ( ) l®e composantes de Kj dans le SCM et ( ^ composantes de dans un systè­

me de référence où la paire est au repos.

Noua appellerons K et Q les quadrivecteurs impulsion du nucléon initial et du pion initial respectivement. Leurs composantes dans le SCM s'appelleront respectivement ( ■Âa,À^ ) et ( ) avec

1. Nous désignerons par m la masse du nucléon, par ^ la masse du pion.

Nous appellerons P le quadrivecteur impulsion totale K + Q = Kt + K_ + K-, = . (Pt + P_ + P,). Ses composantes dans le SCM seront

1 2 3 2 12^

(W^^ ).

Nous désignerons par p^, k^, k, q, p les quadrivecteurs de carré P^/m^, P/W respectivement (les lettres kj^ et k ont déjà été utilisées plus haut, mais leur emploi ne pourra prêter à confusion)•

Nous désignerons encore par le vecteur , par le vec-

% , par le vecteur .

teur le vecteur

11

Nous scalaire

■appellerons x. le produit scalaire ( û » ), x! le produit

f produit scalaire ( ) et Coi

(avec = +1 et 0 ^ ) le produit scalaire (

Nous donnerons le nom de ( ) aux coordonnées polaires de ^ celui de ) aux coordonnées polaires de , celui de ( ) onnées polaires de , quel que soit le système d'axes cho aux coord

si.

choi-

Nous poserons (K^ - Q) = S^(i = 1, 2), (K^ + Q) = = Ij 2), (K - K^) = t. Remarquons que le produit scalaire est nul.

Il nous reste à définir des trièdres attachés au centre de masse, ainsi que des trièdres attachés aux différents couples de particules finales de manière à pouvoir écrire les composantes des vecteurs Cj‘ ,

! . Nous définirons également des trièdres attachés au nucléon initial et final, de manière à pouvoir écrire les composantes des spi- neurs du nucléon. Un trièdre attaché à une impulsion a (a ^ 0) est2 formé de trois quadrivecteurs n^. (a) tels que (n,. (a) n.(a))= - S. - t

J i 3

(a n^(a)) = 0, ^ o}"= 1* Par définition, nous poserons ;

OÙ les axes n^('Jl) forment le trièdre choisi dans le centre de masse général et où ^a transformation de Lorentz pure (TLP) qui amène sur (XjM• Par l'adjectif "pure" nous entendons que les quadrivecteurs orthogonaux à la fois à et à a restent inchangés.

Le seul trièdre à fixer reste donc le trièdre attaché au centre de masse général. Nous le choisissons selon le problème posé de manière à simplifier les calculs au maximum.

§ 3* Cinématique.

Nous écrirons au chapitre II les amplitudes correspondant aux mo­

dèles d'échange et au chapitre III les amplitudes correspondant aux

12

différentes ondes partielles. L'amplitude totale f\ s'obtiendra en sommant certaines des amplitudes calculées aux chapitres II et III (on aura ainsi ajouté aux termes de modèle d'échange des termes correc­

tifs pour diverses ondes partielles). Pour comparer nos prédictions aux résultats expérimentaux, il faudra effectuer les manipulations sui­

vantes :

1) Exprimer les diverses amplitudes comme des fonctions de 5 varia­

bles indépendantes convenablement choisies, les sommer et calculer

± Z |A“1 *

2) Multiplier par le facteur d'espace des phases approprié.

3) Intégrer par rapport à une ou à plusieurs de ces variables, sur tout leur domaine de variation ou sur une partie seulement de celui-ci, afin d'obtenir une distribution de probabilité à comparer à l'expérien­

ce (diagramme de Dalitz, de Chew et Low, etc..).

Ces opérations (y compris le choix des variables) sont à refaire en tout ou en partie, pour chaque nouvelle distribution de probabilité désirée.

On peut adopter une autre manière de procéder qui implique des calculs plus longs mais permet de n'introduire les paramètres ajusta­

bles qu'à la fin du calcul, de sorte qu'il est possible de changer les valeurs de ces paramètres sans devoir refaire tous les calculs :

1) Exprimer les diverses amplitudes comme des fonctions de 5 variables^

indépendantes convenablement choisies et calculer tous les i 2.TAj

i ss'L P -i

pour toute paire de processus ( ^ ) (y compris = p ).

2) et 3) î comme ci-dessus.

k) Fixer les valeurs des paramètres ajustables et sommer les contribu­

tions de toutes les paires de processus (°{)|3 )•

Une troisième manière de procéder consiste à engendrer, par la méthode de Monte-Carlo, des événements fictifs distribués selon la loi de probabilité que nous fournit ^

% ^{I "}

. Ces événements fictifs sont alors traités comme des événements réels par un ordina­

teur et les distributions de probabilité à calculer sortent de la machi­

ne sous une présentation identique à celle des distributions de proba-

13

bilité expérimentales auxquelles il faudra les comparer.

Les distributions de probabilité à calculer peuvent être réparties en deux grandes catégories : celles qui traitent les trois particules finales de manière identique (par exemple les diagrammes de Dalitz) et celles qui distinguent une paire de particules finales et une parti­

cule "de recul" (par exemple les diagrammes de Chew et Low). Ces der­

nières distributions sont bien adaptées à la description de la forma­

tion et de la désintégration d'une résonance. Il y a donc quatre ma­

nières différentes de choisir les 5 variables fondamentales : oh peut choisir comme variables fondamentales les grandeurs :

C (1)

Le vecteur O est donné par ses composantes dans un système d'axes défini par les vecteurs , Cjj^ , (situés dans le plan des par­

ticules finales) avec les liaisons :

(3)

(4)

Le vecteur C^( est donné par ses composantes dans un systèmes d'axes défini par les vecteurs ^ et C^- (situés dans le plan de product de la couple i) avec la liaison :

ion

(5)

On a donc ^ variables fondamentales en tout, dont trois servent à dé­

finir la position des axes n^(^) par rapport aux directions des im­

pulsions des particules. Dans le jeu de variables (1), on remplace sou- vent les variables m. par les variables m. , et l'une des variables2

Ik

2 , 2

par la variable W, liee aux par la relation

E = W

(6)

Dans le jeu de variables (2), on remplace souvent la variable m. par

2 A ^ ^ î

la variable m. et la variable x. par la variable ^, liée à W, m.

1 1 ^ ’ ’ 1

et x^ par la relation

A? = (7a)

= aii.acî (i^d.zy

Aj = = (k-Kf

! I B ù

^ 1 Ao)-2À M, Xj

Les facteurs d'espace de phases sont donnés par les formules suivan­

tes (l6,l) :

(F =

dJl^' [f

( 8 )

(9)

Les limites de la première intégration sont données par l'inégalité

1 celles de la seconde par les inégali­

tés -1 ^ x^ ^ +1 et

Il s'agit maintenant d'exprimer toutes les grandeurs définies au para­

graphe 2 comme des fonctions des variables (1) ou des variables (2).

Nous les exprimerons également comme des fonctions de composantes des quadrivecteurs K, Q,, K^, P^, dans le SCM ainsi que comme des fonc­

tions de produits scalaires de ces quadrivecteurs entre eux. Nous al-

15

Ions pour commencer éliminer les vecteurs Cji de la liste des gran­

deurs à calculer à l'aide des formules suivantes :

q' ^ -Jç ^ _

4

^q,

I -f-fcj ’ I

I f 'j^io J ' ^{-|L î 3} '

(10a)

(10b)

obtenues à partir de la formule (8.21) que nous écrivons plus loin (pour a = p^, b = p, o = K^/p^^ pour i = 1, 2 et ^2/'^23 i = 3) D'autres grandeurs peuvent encore être calculées facilement :

= W-i. ; = W-/i„ ] a^)

3E, -n

(13)

(1^)

La variable W, liée aux variables m^ par la relation (6) est fixée pour chaque expérience. Il ne nous reste plus que les variables (l) avec les liaisons (3) et (4).

Si l'on se donne les composantes dans le SCM des quadrivecteurs K, Q, K^, P., P (K + Q = I (Pi + ^2 ^3^ = = K. + P^), les vecteurs Cj et sont donnés par les composantes d'espace (nor­

mées à 1) de K et de P^ , et les sont les carrés scalaires P.^.

; (et Cj et Cj' , pour Si on se donne les variables W, m^, x^,

fixer les axes n^(p)) pour une seule valeur de i, on peut calculer suc­

cessivement :

16

'/3

ou

i

est donné en fonction de W, m de Lorentz suivante :

i frf;

(15)

. par la transformation

(16)

le signe étant (+) pour (ji) = (31)» (32), (23) et (-) pour (ji)= (21), (12), (13).

à partir de W, m., m. (formule (6))

a ou Qj ) à partir de ^3^ , q - , W, m. , m. (ou m/ ) (formule

lè' 1'^ !'■ 1 0 -ft (lOa-b))

), m^, m^ (formule (3))

-a,

(ou ) à partir de CJ; , (ou

Ojl (ou Cj; , (ou C^^), m^, m^, m^

Si on se donne les produits scalaires entre les différents quadri- vecteurs K, Q, K., P., P on peut calculer aisément les masses ra. =(E^)

Il ^ /

ainsi que les produits scalaires ‘^î,, = ( Cj'),

~ ^ ^i ~ ^ ^ ensuite se donner les

axes n^(p) pour obtenir les composantes de

^ f

SI 1. on prend pour variables fondamentales les variables W, m^, x^, par exemple,

on pourra choisir les axes ;

(17)

Les composantes de -r>

Cj » dans ce système d'axes sont :

f = O ■)

fl= E , O )

(l8a) (l8b)

(l8c)

17

où est égal à ^ (1 - <^)x - le signe étant celui de ainsi qu'on ( ^, X ^ I qui est encore celui de -( ) ' ^

le constate en appliquant la formule (lOa)•

On pourrait encore choisir, permutant les composantes des différents vecteurs dans les formules (l8), Cj^ = >7^ et a^x Cj = , ou

^ = -^2 t X ^ ^ . Dans ce dernier cas, les composan- encore

tes de ^ et sont

^ ^ 1 )

f-L = O J

fi xi )

(19a) (19b)

(19c)

où est égal à + {l - ^

-(^à X ^4.^'

Si l'on prend comme variables fondamentales les variables Cf , on choisira plutôt les axes

le signe étant celui de

~b'

(

20

)

Nous donnerons les composantes polaires des vecteurs , <3 système d'axes (voir figure II) :

fc = (^ fl,

? = (5u. 06. f,

dans ce

(21a)

(21b)

18

Figure II : Composantes polair es des vecteurs dans le système d' axes(20)

Dans ce système d' axes, les angles ^ s ont nuis et les angles Cfc sont donnés par :

' Couf^^ (22a)

J <^2 -

f-

II ( (pUwc Z (22b)

(_

Cf

J = O (22c)

où -

%ki O

^avec

Les angles (5? et ^ , toujours dans ce système d'axes, sont donnés par :

iu^0Cco f - J ^U, 0 Cl/yv J _ PC, - Xj, Zj , Tyn ^ s i

19

où le signe de UTS Vy est celui de ( X ). .

On peut, tout en gardant le même axe z, choisir d'autres axes x et Si on choisit l'axe x selon cjt ou Cj^ » fera des permutations tour- nantes sur les indices 1, 2, 3 dans les formules (22) et (23)» Si on choisit un autre axe x (par exemple .( ) » ce qui est un choix intéressant à cause de la symétrie de Pauli) on pourra toujours obtenir les valeurs numériques des angles ^ et en ajoutant aux valeurs données par les formules (22) et (23) un angle différent de zéro.

Quel que soit le système d'axes choisi, on a toujours à se préoccuper du signe de ( C|j x ) > Cj qui ne peut être donné par; les produits scalaires entre les quadrivecteurs impulsion des particules de la réac­

tion (il faudrait introduire le tenseur antisymétrique Ce si- gne est encore celui de -( x } • OJ , et (V étant les directions respectives dans le système du laboratoire du pion final n“l, du pion final n®2 et du pion initial. L'expression i

étant un scalaire vrai doit pouvoir s'écrire uniquement à l'aide des produits scalaires entre quadrivecteurs impulsion et ne peut donc dé­

pendre du choix de ce signe.

§ 4. Cas où les pions finals ont la même charge.

Conformément à la statistique de Bose-Einstein, l'amplitude de réaction doit être symétrique pour la permutation des charges et des impulsions des pions finals. Cette symétrie sera automatiquement assu­

rée. si, chaque fois que l'on considère un processus du type

^on n'oublie pas de tenir compte également d'un processus du tyj:e TC NJ—?> ^ N/^)j, obtenu à partir du pre- mier par permutation des charges et des impulsions des pions finals, g,

et si, pour des processus du type TC Ni —^ ^ inter­

dit la formation d'états où ( ) est impair. Dans le cas où les IX finals ont la même charge, deux attitudes sont possibles : ou bien

20

l'on calcule les différentes distributions de probabilité comme si les TT. finals étaient différents (et alors une distribution comme

est proportionnelle au nombre de pions associés à une paire finale pion-nucléon de masse comprise entre et m^ + dm^^) ou bien, dans le but de ne pas compter deux fois un même événement, on rétablit une distinction quelconque entre les pions finals en décidant, par exemple, d'appeler pion n°l le pion associé à la paire pion-nucléon de masse la plus élevée et en multipliant en conséquence le facteur d'espace des phases par une fonction d-im^-m^), ce qui revient à n'utiliser que la moitié de l'espace des phases. La section efficace différentielle sera inchangée, la section efficace totale sera divisée par 2 et les autres distritmti^ns de probabilité subiront des modifications-.^diverses (la distribution alors proportionnelle au nombre d'événements où la masse du système pion-nucléon le plus lourd est comprise entre m^ et m^ + dm^). Ces deux attitudes correspondent à celles de l'expé­

rimentateur quand il décide de mettre deux points par événement dans un diagramme de Chew et Low, ou de mettre un seul point par événement dans la moitié d'un diagramme de Dalitz.

Dans le cas ou les

TC

finals ont des charges différentes, il y

a

évidem­

ment moyen de distinguer l'un de l'autre deux événements qui ne diffè­

rent que par une permutation de pions finals, de sorte qu'il n'y a pas lieu de compter deux fois un même événement ou de diviser en deux l'espace des phases. On peut cependant se ramener au cas des pions fi­

nals identiques en refusant de regarder lequel des pions finals a telle ou telle charge, ce qui revient à remplacer ^ I U u b» N1^

par

i 1- 5 i I K,K., K, ) I j

21

CHAPITRE II. CALCUL DES AMPLITUDES CORRESPONDANT AUX MODELES D'ECHANGE.

§ 5» Couplages dans le formalisme lagrangien. Règles de Feynman.

Nous allons calculer les amplitudes correspondant aux processus

^ ( TL (avec échange de ^ ) et JT f\l N(H (avec échange de JI ) (figure III).

Ti

TT

(Oi)

Figure III : Processus d'échange.

Nous nous bornerons aux cas où le moment angulaire orbital

ç»

du sous- système ( K N ) ou (Ttîl ) est inférieur ou égal à 1.

Les diagrammes des figures I et III représentent, non des diagrammes de Feynman ou des classes de diagrammes de Feynman, mais certains ter­

mes du développement en ondes partielles de l'amplitude de la réaction TL (V n TL W (dans la voie directe ou dans une voie croisée) dont nous supposons qu'ils contribuent d'une manière importante à l'ampli-

22

tude. L'importance que l'on accorde à ces termes est le plus souvent due à la présence de singularités proches de la région physique de la voie directe, comme les pôles en la masse carrée des sous-systèmes

TtA/ R 7T 611 lesquels se désintègrent respectivement les résonances N* et P produites, ou les pôles en le carré des moments transférés N-W'' et TT —ÎT^ correspondent au Ret au péchangés respectivement. Ainsi le diagramme (Ib) par exemple représente un ter­

me du développement en ondes partielles de l'amplitude de réaction NN'^ n < TTiTTi ), pour lequel JP = o; T = 1, jV = 1", T' = 1.

Les nombres quantiques du système étant pour cette onde partielle ceux du pion, et les nombres quantiques du sous-système ( TTj TI^ ) ceux du P , l'amplitude d'onde partielle contiendra le pôle du pion dans la variable "carré de l'énergie totale de la réaction N ÎI TT.TTt "

/ ^ (appelée aussi "carré du moment transféré

N-N

dans la réaction

jC hl TT( TT_2 pôle du P dans la variable "carré de la masse du sous-système ( TT, )•

On peut interpréter d'une manière analogue les deux diagrammes (Id), à cette différence près que chacun des deux diagrammes (Id) re­

présente une combinaison linéaire de trois ondes partielles qui dif­

fèrent par les valeurs du spin total 5!^ du moment angulaire du système NN^- Nous ne nous plaçons donc pas dans le cadre du for­

malisme lagrangien et de la théorie des champs, mais dans le cadre du formalisme de la matrice 3 » Tl est cependant commode d'utiliser le schéma lagrangien pour imposer les différentes invariances auxquelles doivent satisfaire les différents facteurs qui composent les différen­

tes amplitudes (invariances pour les opérations des groupes iL+ et

SU,

ainsi que pour les opérations discrètes P, C et T). Pour calcu­

ler les amplitudes correspondant aux diagrammes (Illa) et (Illb), nous ferons donc d'abord comme si ces diagrammes étaient des diagrammes de Feynman, et comme si le ^ et les différents états ( j'p'r' ) étaient des particules stables. Nous utiliserons le schéma lagrangien et asso­

cierons des champs aux particules, résonances et états ( ). Nous écrirons ensuite les densités d'hamiltonien d'interaction hermitiennes

23

les plus générales qui respectent les invariances d . SO, , Pet CP et en déduirons les règles de Feynman en passant dans l'espace des impulsions. Nous chercherons ensuite (au paragraphe suivant) comment et moyennant quelles précautions nous pouvons utiliser ces règles de Feynman dans le cadre du formalisme de la matrice ^ .

Dans le tableau"*^! , nous écrivons les différents champs et donnons leur comportement sous les opérations des groupes et ainsi que sous les opérations discrètes P et CP.

Dans ce tableau, <=( et sont des indices d'isospin tandis que ^ est un indice du vecteur de l'espace-temps. Les facteurs ^

sont de module 1. La matrice C est la matrice conjugaison de charge, telle que l'on ait

C C

= —(voir réf (9))»

La plupart des champs considérés au tableau I ont des composantes re- dondarM^s—, Pour que ces champs constituent une reprâ&e*^tion déter­

minée de ou de ^ , il faut que les combinaisons linéaires des composantes de ces champs qui se transforment comme d'autres représen­

tations de ou de S soient identiquement nulles. On imposera donc les conditions complémentaires suivantes :

(la)

(lb)

r O ; (pour un 16 ospin 7"= ^ ) (le)

(pour un isospin ~ ) (Id)

+Tous les tableaux sont groupés à la fin du travail.

24

Annuler la divergence d'un champ vectoriel (comme dans (la)) re­

vient à annuler dans l'espace des impulsions et dans un système d'axes où la particule associée à ce champ est au repos la composante ^ , qui est un scalaire pour les rotations de ce système d'axes. Les flè­

ches situées en-dessous des symboles de (le) indiquent que ces symbo­

les représentent des vecteurs de l'isoespace. Un isovecteur-isospineur

^ ne peut représenter que des états d'isospin total 3/2 et 1/2. La combinaison linéaire des six composantes de formée par l'isospineur

^ représente évidemment un état d'isospin 1/2, d'où il résulte que l'opérateur linéaire idempotent , 'Zn pro- jecteur sur les états d'isospin 1/2 et que l'opérateur \ ^ s?

/ c \ “'P

~ - d ) est le projecteur sur les états d'isospin 3/2. On en déduit les conditions complémentaires (le) et (id). Il aurait pu sembler plus simple de représenter les champs d'isospin l/2 par des isospineurs, mais nous avons choisi d'utiliser des isospineurs-isovec- teurs parce que, dans les processus (Illa), ils sont couplés à chaque vertex à un champ isospinoriel (celui du nucléon) et à un champ iso­

vectoriel (celui du "TC ou du ^ ). Les densités d'hamiltonien d'inter­

action que nous écrirons seront les suivantes ;

(

2

)

(3a)

(3U)

(3c)

25

X«(f r') ■ J j +1 • 4 » î‘ '*' 41

(4a)

(4b)

(4c)

A<-1 ■ /'>I

_^

^îv * ^âæ U'-

_Vw

(5a)

(3.)

Pour ne pas alourdir les notations, nous avons appelé toutes les constantes de couplage (réelles) qui sont, bien entendu, différentes pour chaque couplage et pour chaque valeur de T'. Par la suite, tou­

jours pour alléger les notations, nous donnerons souvent le même nom à des grandeurs qui jouent un rôle analogue dans le calcul de l'ampli­

tude de production de la couple i dans les différents états ( l'f'T* ).

Nous éviterons les confusions en indiquant devant chaque formule à quel état ( ) elle se rapporte.

Il y a a priori 5 couplages possibles du système ^ N aux différents états ( ) (sauf pour l/2 où il n'y en a que deux). On peut

26

le voir en considérant la figure IV, où l'on couple d'abord le spin 1 du ^ au spin 1/2 du nucléon afin d'obtenir un spin total ^ égal à 1/2 ou 3/2, puis ce spin total S au moment angulaire orbital ^ afin d'obtenir le moment angulaire total . Il y a autant de couplages in­

dépendants que de valeurs possibles de (=l/2 ou 3/2) et de J.

ir-si ') compte tenu de la conservation de la parité qui implique que

Figure IV : Les couplages possibles du système ) aux états ( jP ).

Pour y' ^ 3/2 il y a 6 possibilités pour et ^ dont trois pour chaque parité (les traits pointillés indiquent des cou­

plages interdits par la loi de conservation de la parité). Pour = 1/2 il n'y a que 4 possibilités, les valeurs (0,3/2) et (-1,3/2) de (-C^S, ) n'étant pas permises.

27

Les couplages (5a,b,c) sont des combinaisons linéaires indépendantes des couplages qui seraient définis par et par ^ .

Le premier des trois couplages (5a), défini par la constante C^'^est celui qu'ont adopté Jackson et Pilkuhn (8) et Jouvet, Abillon et Bordes (24) en se basant sur l'analogie p -photon de Stodolsky et Sakuraï (7). Un couplage identique, le champ du p étant remplacé par celui du photon, a été utilisé avec succès par Salin et Gourdin dans la prédiction des résultats des expériences de photoproduction de pions selon le schéma 'yj\/ ^ TC H (10).

Tous ces couplages sont manifestement hermitiens et invariants pour Lî et SU. . Les constantes de couplage sont sans dimensions (les densités hamiltoniennes ont les dimensions de , les champs de spin entier les dimensions de , les champs de spin demi-entier les di­

mensions de

L’'"

^,

L

étant une longueur). On vérifie aisément l'inva­

riance T [ Up 0C[9C^^) ^ ^ en remarquant que :

H‘r= ^ V

L'invariance CP de ces couplages est plus difficile à montrer. Dans la réf (9), on montre que, pour deux champs de fermions SP, et :

Si ^ et sont aussi des isospineurs, on a :

= C-f ^

(7)

(8)

(9)

Il résulte de tout cela que les couplages (2) à (5c) seront CP inva­

riants si et seulement si (voir tableau I) :

28

^'f'î^î = ⁽

¹⁰

⁾

ou encore si et seulement si :

(

11

)

L'égalité lOli = 1 traduit simplement le fait que la 6f- -parité du pion

est égale à -1, puisque ^ zr

et puisqu'une rotation de l80° autour de l'axe y dans l'isoespace mul­

tiplie encore (|)^ par ,

L'égalité = -1 traduit le fait qu'un système ( Tf'^'TT ) dans l'état P (tel que le ) est dans un état propre de l'opérateur , avec la valeur propre -1 ( Uj, j = |TT“>'') zi — | (î ^ ).

De même, les égalités 1 traduisent le fait qu'un système ( 7l"7T^ ) dans l'état S est dans un état propre de l'opérateur Ue avec la valeur propre +1.

Nous avons posé arbitrairement ~

nous a amené à prendre pour couplages CP invariants les couplages (4a,b,c) et (5a,b,c). Si nous avions choisi

%

égal à

0''^ , par exemple, nous aurions écrit, au lieu des couplages (4b) et (5b) les couplages suivants :

+i,

(12)

(13)

29

Dans le calcul de l'amplitude correspondant au diagramme Illa, le cou­

plage (12) aurait introduit un facteur £, '’*f A et le couplage (13) un facteur e'ï'A de sorte que l'on peut poser (^ = 0 sans rien changer à la valeur de cette amplitude.

Ecrits dans l'espace des impulsions suivant les règles de Feynman, ces couplages deviennent ;

30

Les indices etc sont des indices de vecteurs de l'isoespace.

Les indices ^ etc sont des indices de vecteurs de l'espace-temps.

Les lettres ^ etc représentent des impulsions. Toutes les impulsions se rapportent à des lignes sortant du vertex.

Il nous reste à compléter ces règles de Feynman en écrivant les diffé­

rents propagateurs, ainsi que les facteurs associés aux lignes de par­

ticules entrantes et sortantes. Pour une ligne de nucléon entrante (sor­

tante) nous écrirons :

(18)

Pour une ligne de pion entrante (sortante) nous écrirons :

'i (19)

où N est un isospineur qui représente l'état d'isospin du nucléon,

]X

un isovecteur qui représente l'état d'isospin du pion :

Quant aux propagateurs, nous attendrons pour les écrire d'être passé du formalisme lagrangien à celui de la matrice ^ ‘1'^® nous ferons au paragraphe suivant.

6. Passage du formalisme lagrangien au formalisme de la matrice S Propagateurs.

Nous avons dit plus haut que les diagrammes des figures I et III représentaient, non des diagrammes ou des classes de diagrammes de Feynman, mais bien certains termes du développement en ondes partiel­

les de l'amplitude (dans la voie directe ou dans une voie croisée) et

31

que nous ne nous placions pas dans le cadre du formalisme lagrangien, mais dans celui du formalisme de la matric

e S

* Le moment est venu de choisir, parmi les résultats établis au paragraphe précédent, ceux que nous conserverons dans le cadre du formalisme de la matrice S •

Il nous faut aussi décider par quoi nous remplacerons, en théorie de la matrice ^ , les propagateurs associés aux lignes intérieures dans la théorie des perturbations (diagrammes de Feynman). Puisque nos dia­

grammes représentent des termes du développement en ondes partielles de l'amplitude (dans la voie directe ou dans une voie croisée), il nous suffira d'écrire le projecteur sur l'état de spin et d'isospin désiré (multiplié, pour les fermions, par le projecteur sur les états d'énergie positive) et de le multiplier par une fonction arbitraire du carré de l'impulsion associée à la ligne intérieure en question.

Nous écrirons ces propagateurs dans un système d'axes où l'état en question est au repos (les lettres i, j sont des indices de vecteurs de l'espace à trois dimensions) :

•—

c

0*1 Cp) tL

(in.)'»

K '

yflCtjyi

0 ±(f) ù<)

i

J fr'(p) éi] ^(la)

[(P)

- J j ■

ij} ■

(la)

(lb)

(le)

(Id)

(2a)

(2b)

32

ou -{^v^ii'-:^ V J = J ^®® projec­

teurs sur les états d'isospin total T' = 3/2 et T' = l/2 respective­

ment, ainsi que nous l'avons montré au paragraphe précédent. L'opéra­

teur linéaire idempotent contenu dans (le) (entre les accolades) est le projecteur sur les états d'isospin total T' = 2 car il projette l'espace des isotenseurs à deux indices sur le sous-espace des isoten­

seurs à 2 indices symétriques et de trace nulle, qui représentent des états d'isospin 2, comme nous le montrerons au paragraphe 12. La forme CQvariante de ces propagateurs s'obtient en faisant les substitutions

5‘ U - ^±

n‘

m

n‘ I ' ' » X

f ^{( 5 )}

Les propagateurs ainsi obtenus sont,pour

r>

0, proportionnels aux projecteurs sur les états de spin, de parité et d'isospin désirés.

Nous continuerons à utiliser ces mêmes propagateurs dans les cas du

^ et du TX échangés, où de sorte que les propagateurs du Ç et du n. échangés s'écriront L ^ fty^ ^ ^ ^

J

et ^ itl ) respectivement. Nous n'aurons pas a utiliser dans ce travail de propagateur de fermion avec 0. Les fonctions f(*^ ) sont différentes pour chacune des formules (la) à (2b) mais nous avons renoncé à écrire pour alléger les nota­

tions. Nous avons cependant écrit et dans les propaga­

teurs du ^ et du Tt échangés. Les couplages (l4a) à (l?c) sont les couplages les plus généraux compatibles avec les différenties invarian­

ces parce que, avec notre manière d'écrire les propagateurs comme le produit d'une fonction de par la forme sovariante d'un projecteur

(ou par le prolongement analytique de la forme covariante d'un projec­

teur), les conditions supplémentaires destinées à fixer univoquement le spin des états intermédiaires (orthogonalité du propagateur à

ou à ) continuent à être remplies tandis que la multiplication par (forme covariante de ( y^-l))du propagateur des fermions continue à donner zéro. La seule modification à faire est

33

de remplacer les constantes de couplage réelles de la théorie des champs par des fonctions (complexes en général) des carrés des impul­

sions des états présents au vertex. Ainsi nous remplacerons ^ par une fonction ( ^ , , yp. ) dans (l^a,b,c),par une fonction

dans (15a,b,c),par une fonction Ni 1 ■) dans (l6) et nous remplacerons alk] par une fonction fi, ( 1

Oc c '

dans (17a,b,c). Nous écrirons Ufjn = UVii7^ pour le ^ , et

(^5n ' ûriH,N;t ' N*-

Il importe de souligner que, maintenant que nous avons abandonné le formalisme lagrangien, nos résultats ne reposent plus que sur des hy­

pothèses très générales : invariance pour les opérations des groupes et ^ et pour les opérations discrètes P, C et T, existence d'une seule et même amplitude qui, pour différentes valeurs des varia­

bles, décrit des réactions croisées. L'apport de la théorie lagran­

gienne est réduit au principe de la factorisation des termes du déve­

loppement en ondes partielles de l'amplitude (dans la voie directe ou dans une voie croisée) en fonctions associées aux différents vertex et propagateurs.

Pour les différents états ( ) des sous-systèmes ( ïïN ) et ( Tl Tl ) il y a moyen de calculer les fonctions f( ) à partir des fonctions 6t et des amplitudes de diffusion élastique "TT W ou îTTt dans l'état ( ) ;

a) Sous-système pion-nucléon. L'amplitude de diffusion élastique ( TIM ) correspondant au diagramme (Va) s'écrit :

(4)

lion, où où W est l'énergie totale SCM, où ^ est l'angle de diffusion,

et '(i/ sont les quadrivecteurs impulsion des nucléons initial et final et où J*est le produit de deux coefficients de Clebsch-Gordan et dépend des charges des particules (nous verrons au paragraphe suivant queO(^^= 1 pour une réaction s't que = 2/3 pour une réaction ny-^K'j^ ). Les matrices F sont données dans le SCM par les

34

formules suivantes

Vû' vV F — 1

pour

J P=2.

^:

r =.

-2 i.

^(5a)

(5b)

pour jr-r-, rlL« ±(f+d) (5c)

où ( ) et ( ) sont les composantes de et dans le SCM. Nous verrons au paragraphe 8 qu'un spineur

V\/

(a) peut être rem­

placé par I5> * l-S> étant un spineur de Dirac de composantes /"IX ou

/o\

(selon la valeur de

S

) dans le SCM,

(^ )

_{\a /}

I®

_{Ko / \a/^/ N}

s

ces composantes étant aussi celles de Yv (a) dans le système d'axes

S = 5' = 1/2.

On a :

Utilisant le fait que

-L

II

(j] ^4-^)

(6)

trouve aisément que :

Ü'^'-1) (7a) (7b) (fri 1-) (7c)

35

Noue allons comparer l'amplitude donnée par (6) à son expression écri­

te en fonction des déphasages (on pourra trouver cette expression dans la référence (il) par exemple, où l'expression

est écrite ). Si pour la diffusion élastique on ne considère que la contribution des états T' = 1/2, on obtient pour la diffusion élastique :

avec ^ Il €- U, . l étant le moment angulaire orbital, et Æ. ^ 1/2 le moment angulaire total.

Comparant les expressions (6) et (8) pour les six ondes partielles qui nous intéressent (c'est-à-dire pour 3'?' = 3/2^, 1/2^ et T' = 1/2, 3/2) nous obtenons finalement :

j

V. {H) =

(fil

-^71 OC . ^

fi

■27 , <l

-^n 'l

. <

(9a)

(9b)

(9c)

où nous avons remplacé les variables

U/ , i

, k par les valeurs que nous leur donnerons dans le calcul des amplitudes de la réaction

tlN Hi ( Si ^ )_/p/^/ , c'est-à-dire par

respectivement. Les déphasages sont des fonctions de 'jljj •

b) Sous-système pion-pion. L'amplitude de diffusion élastique ( TlTL ) correspondant au diagramme (Vb) s'écrit :

36

(

10

)

où W est l’énergie totale SCM, où F vaut (-) ( a. - ( K,- k.)„

pour J’ = 1 et 4 ^ pour J’ = 0 ( Qi. , étant les impul­

sions des pions) et où ®^y/vaut 5, 2, 1 fois le produit <ne1l

I T'>

y<rl rt, I7j> a es coefficients de Clebsch-Gordan pour T' = 0, 1, 2 respectivement, ainsi que nous le montrerons au paragraphe suivant.

Sachant que (-) ( - Qi)/^ ( )^ = ^^ ^ étant l'angle de diffusion ( TLg ) dans le SCM et ^ l'impulsion des pions dans le SCM, et que l'amplitude A est donnée en fonction des déphasa-

t

ges par la formule suivante :

A(w,5)= ?-Mj

X r<L+(-j^''’^'3<rîeiî)r^><T'|iî,n,> (11)

on obtient immédiatement l'expression de f( W ) en fonction des dépha­

sages :

j'fV * ii

^{im}) = ___ 4}

<

^{j'pVrO^O}

tSoiï C- -Mt>

.cL

(12a)

(12b)

oi (12o)

Nous avons remplacé les variables

W

>

^

par les valeurs que nous leur donnerons dans le calcul des amplitudes TL

Kl N* (

^1.

c'est-à-dire par rt'VLj et par respectivement. Les déphasages 5^./^

sont des fonctions de '■fz.i-

37

N(k)

l'P'T'

rte(qi)

T'P'T'

O

\

rc(k,)

(a.) (-i-)

Figure V : Diffusion élastique fX ^ et HR .

§ 7* Calcul des facteurs d'espace des charges.

Nous allons maintenant calculer les parties isospatiales des am­

plitudes correspondant aux diagrammes des figures III et V. Il suffit de rassembler, en appliquant les règles de Feynman, tous les facteurs qui concernent l'isoespace. On obtient ainsi :

- pour la diffusion élastique TX l\l •

(

1

)

où

(

2

)

- pour la diffusion élastique TX R :

(3)

38

- [T )-Y

V

^{] ;}

W

x

(!^5 = (J)'', 8\'^'î = ^-^/î ■ t**)

- pour les réactions uM-^ Hiiii N^ 5

où T' est l'isospin de la couple de particules finales i, et où

(6a)

(6b)

(7a)

(7b)

(7c)

(

A titre d'exemple, calculons IX'

't

On a

pour et ô(',y pour

== <L «a,

-<'4 = T f = i QDjf

= i flX<!+ Sj)f - 2/3 ‘®'’’

39

On peut calculer de même les coefficients pour la diffusion pion- pion et les coefficients cK^-p'pour les réactions Jt

N

TT|TT^ l\l^.

On peut aussi utiliser les coefficients de Clebsch-Gordan. Ecrivons :

y (pour la diffusion JtJC ) (9) 'T

2T' ) (10)

où les ,T

sont les produits de 3 coefficients de Clebsch-Gordan :

JL

= <:nw|T><T |T^rii><^T-|iîj N'>

Z (lia)

= <^riNjTXT|rN'><T'( (11b)

avec des notations évidentes. Il faut prendre garde à bien respecter l'ordre des couplages adopté (arbitrairement) dans (9) et dans (lla-b) sinon l'on risque de faire des fautes de signe. Par convention, nous donnerons le nom de TTi au pion qui aura la charge la plus élevée

Pour chaque valeur de i et de T', on peut éliminer un des *

- pour i = 2, la réaction TX^>|v —Kl n® peut avoir lieu par échange de ^ , car un ne peut être couplé à deux 71^ . Il faut donc que soit nul pour cette réaction, d'où l'on tire que :

(en valeur relative) et appellerons son impulsion

- pour i = 3, la réaction ^ peut avoir lieu

par échange de JT , car un ne peut être couplé à deux TX^ • Il faut donc que soit nul pour cette réaction, d'où l'on tire que :

Z

ko

- pour io3jT’=2,T=0./2et pour i = 3, T' = O, T = 3/2 tous les

sont nuis à cause des inégalités triangulaires des coefficients de Clebsch-Gordan.

Il ne reste plus, pour connaître la valeur de tous les et de tous les , qu'à comparer (3) à (9) et (5) à (10) pour une réaction convenablement choisie (c'est-à-dire telle que soit pas trivialement nul) et pour chaque valeur de T'. On obtient ainsi :

(

12

)

(13a)

(13b)

(I4a)

(14b)

(l4c)

Ç . T

La connaissance des permet de calculer les à partir des <=>^. ^ à l'aide de (10). Dans le tableau II, nous écrivons les o/* i et les

o{^y.' pour les cinq réactions /\| .

§ 8. Calcul des amplitudes correspondant aux modèles d'échange.

Nous allons maintenant calculer, en utilisant les règles de Feyn- man établies dans les paragraphes précédents, les amplitudes corres­

pondant aux modèles d'échange (toujours pour inférieur ou égal à 1).

4l

a) Réaction Ti N)jyf/calculerons ici les amplitu­

des correspondant aux prcoeseus 1^, hJ —^ TT. {^T[ N ) jVV^

modèle d'échange de ^ que dans le cas de la production du N^avec le couplage e KfN/^ de Jackson et Pilkuhn. On trouvera les calculs dé­

taillés pour tous les cas dans l'appendice A*

Pour la production du par échange de 0 , l'amplitude de réaction est :

(car O ),

ou - a remplacé

aa ' * où ^jv,]eat la forme covariante de

^riKi N*- est la fonction ^rihHJ^ C/^\matrice est donnée par l'expression :

(

2

)

ou 0)

flttg esit la fonction ^rtre^ C,t^) } et où Cf ^ la fonction &g^(,* ' ■™'/W ) •

Nous allons transformer l'expression (1) afin de l'exprimer en termes de spineurs et de matrices de Pauli et de vecteurs unité suivant les impulsions des particules dans différents systèmes d'axes. Pour cela, nous écrirons :

\,i) wXfi) ■ ^ (3)

Le spineur W Cf^) représente un nucléon d'impulsion qui dans un certain système d'axes dans l'état de spin S • Par défi­

nition nous fixerons la phase de de telle manière que ses com­

posantes dans le système d'axes soient /®'j

leur de S . Le spineur de Dirac représente un nucléon d'im­

pulsion OtiJî qui dans le système d'axes Cf^) dans

42

l'état de spin 5 • Nous désignons par à la fois une transfor­

mation de Lorentz qui change-^ enJ\et sa représentation dans l'espa­

ce des spineurs de Dirac. Les composantes de dans le système

d'axes celles de W /i) — dans le système

d'axes A)évidemment les mêmes.

Pour pouvoir écrire le spineur de Dirac et définir le spin S du nucléon, il faut donc se donner le système d'axes

attaché à ->^(ou, alternativement, la transformation de Lorentz /'risi) . si on suppose le système d'axes fixé une fois pour toutes).

L'axe j\) est l'axe selon lequel on mesure le spin S du nucléon, et les deux autres axes servent à fixer la phase du spineur

WY4) . Il faudrait donc écrire, non pas et , mais

[ Jz) comme le font, avec d'au­

tres notations. Moussa et Stora (12).

Il nous reste à choisir les transformations de Lorentz Aa,L) et . Comme nous l'avons signalé au paragraphe 2, nous choisi­

rons pour une transformation de Lorentz pure (TLP), c'est- à-dire une TL qui change eny^ en laissant inchangés les quadrivec- teurs orthogonaux au plan ) , et, pour une telle transformation de

Lorentz, nous écrirons «

• Nous ferons de même pour P°ur nous écrirons

Il est facile de montrer que la matrice de Dirac /\a-^M~ (^^ = = 1) est donnée par l'expression suivante :

A

_{Oi^b- —} ^{d +}

44r

⁽⁴⁾

Il suffit en effet de montrer que cette expression vérifie l'identité suivante :