X Maths 2 MP 2008 — Énoncé 1/4
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE
MP
CONCOURS D’ADMISSION 2008
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
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Dénombrement d’applications entre ensembles finis
On se propose de démontrer quelques propriétés du nombre des applications surjectives d’un ensemble fini sur un autre.
Étant donné deux nombres entiers strictement positifsketn, on note
• pk,nle nombre de parties àkéléments de l’ensemble{1, . . . , n}, nul sik > n; on rappelle quepk,n= n
k
!
pourk6n;
• jk,nle nombre d’applications injectives de{1, . . . , k}dans{1, . . . , n}, nul sik > n;
• sk,nle nombre d’applications surjectives de{1, . . . , k}dans{1, . . . , n}, nul sik < n.
On posera aussip0,n=j0,n= 1.
Première partie 1.Préciser les valeurs dejn,n etsn,n.
2.Montrer que l’on ajk,n= n k
!
k! sik6n.
Pour tout entier r > 0, on note P(r) (resp. S(r)) la matrice à r lignes et r colonnes de coefficientsP(r)k,n=pk,n(resp.S(r)k,n=sk,n) pourk, n= 1, . . . , r.
3.a)Montrer que l’on a, pourketn >0:
nk= X
q=1,... ,n
sk,qpq,n.
3.b)Calculer le déterminant de la matriceA(r)de coefficientsA(r)k,n=nk, k, n= 1, . . . , r.
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X Maths 2 MP 2008 — Énoncé 2/4
Deuxième partie
Pour tout entierd >0, on désigne parEdl’espace vectoriel des polynômes à une indéterminée, à coefficients complexes, de degré6d. On le munit de la base(X0= 1, X, . . . , Xd); on définit un endomorphismeT deEdpar
T(P)(X) =P(X+ 1) pour toutP ∈Ed.
4.a)Déterminer les coefficientsTk,nde la matrice représentantT dans le base indiquée (ici 06k, n6d).
4.b)Même question pourT−1dont on démontrera l’existence.
4.c)Étant donné deux vecteurs lignes(a0, . . . , ad)et(b0, . . . , bd)satisfaisanta0=b0et, pour n= 1, . . . , d,
an= X
q=0,... ,n
bq n q
! ,
écrire lesbqen fonction desan.
4.d)Établir une formule de la forme sk,n= X
q=1,... ,n
λn,qqk n q
! ,
où0< n6ket où lesλn,qsont des coefficients à déterminer.
Dans la suite de cette seconde partie, on définit des élémentsNk deEd,k= 0,1, . . . , d, par
Nk(X) =
1 sik= 0
1
k!X(X+ 1)· · ·(X+k−1) sik >0. 5.Vérifier que lesNk forment une base deEd.
6.Démontrer la formule
T(Nk) =Nk+T(Nk−1) pourk >0.
7.a)Déterminer les coefficientsT‹k,q (k, q= 0, . . . , d)de la matrice représentant l’endomor- phismeT dans la base ci-dessus.
7.b)Même question pour les coefficients deT−1.
8.Écrire les formules donnant les polynômesXk, k = 0, . . . , d, en fonction des polynômes Nk.
[On pourra utiliser la formule de la question3.a).]
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X Maths 2 MP 2008 — Énoncé 3/4
Troisième partie Étant donné deux entiersketn >0, on désigne par
• Ak,nl’ensemble des applications de{1, . . . , k}dans{1, . . . , n};
• Bk,nl’ensemble des applications surjectives de{1, . . . , k}dans{1, . . . , n}, ensemble bien entendu vide sik < n;
• Ck,nl’ensemble des applicationsf:{1, . . . , n} →Nsatisfaisant f(1) +. . .+f(n) =k;
• Dk,nle sous-ensemble du précédent formé desf telles quef(i)>1pour touti(ici,n6k).
9.Démontrer la « formule du multinôme », pourn >0,k>0: (x1+. . .+xn)k= X
f∈Ck,n
k!
f(1)!· · ·f(n)!xf(1)1 · · ·xf(n)n ,
oùx1, . . . , xn sont des nombres réels.
[On pourra procéder par récurrence surn.]
10.Montrer que
(x1+. . .+xn)k= X
ϕ∈Ak,n
xϕ(1)· · ·xϕ(k).
11.Montrer que, pour0< n6k, on a sk,n= X
f∈Dk,n
k!
f(1)!· · ·f(n)!.
Quatrième partie On considère une série entière à coefficients réelsX
k>0
akxk; on supposea0= 0; on noteR1 son rayon de convergence supposé non nul, etϕ(x)sa somme. Pournetkentiers>0, on pose
αn,k=
X
f∈Dk,n
af(1)· · ·af(n) si0< n6k
0 si06k < n
α0,k=
1 si k= 0 0 si k >0
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X Maths 2 MP 2008 — Énoncé 4/4
12.Indiquer un minorantρ >0du rayon de convergence de la série entièreX
k>0
αn,kxkoùn>0; déterminer la somme de cette série dans l’intervalle|x|< ρ.
On considère une seconde série entièreX
n>0
bnxn; on noteR2son rayon de convergence sup- posé non nul, etψ(x)sa somme.
13.Montrer que la série entière X
k>0
X
n>0
bnαn,kxk a un rayon de convergence non nul, et préciser sa somme au voisinage de 0.
14.On considère la fonctionθ(x) =e(ex−1). Exprimer les coefficients de la série de Taylor de θà l’aide des nombressk,n.
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