4-La réflexion et la transmission

(1)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission 1

1.

a) La vitesse se trouve avec

FT

v= µ On a µ, mais il nous manque la tension.

La tension dans la corde correspond au poids du bloc. Ce poids est

2 9,8

19, 6

T

N kg

F mg kg

N

=

= ⋅

= La vitesse dans le fil d’aluminium est donc

19,6 0,01 44, 27

T

kg m m s

v F µ

N

=

= b) La fréquence est

44, 27 0, 2 221, 4

m s

v f m f

f Hz

λ

=

= ⋅

= c) La vitesse dans le fil d’acier est

(2)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission2 19,6

0,025 28

T

kg m m s

v F µ

N

=

d) Comme la fréquence ne change pas en passant d’un milieu à un autre, elle est toujours de 221,4 Hz.

e) La longueur d’onde est

28 221, 4

0,1265

m s

v f

Hz m λ λ λ

=

= ⋅

= f) L’impédance est

1

19,6 0,01 0, 4427

T

kg m kg

s

Z F µ N

=

= ⋅

= g) L’impédance est

2

19,6 0,025 0,7

T

kg m kg

s

Z F µ N

=

= ⋅

= h) L’amplitude de l’onde réfléchie est

1 2

0, 4427 0,7 0, 4427 0, 7 5

1,126

R

kg kg

s s

kg kg

s s

Z Z

A A

Z Z

mm mm

= − +

= − ⋅

+

= −

Il s’agit donc d’une onde inversée ayant une amplitude de 1,126 mm.

(3)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission3 i) L’amplitude de l’onde transmise est

1

1 2

2

2 0, 4427 0, 4427 0, 7 5 3,874

T

kg s

kg kg

s s

A Z A

Z Z

mm mm

= +

= ⋅ ⋅

+

= j) La puissance de l’onde incidente est

2 2

2 2 1

1 2 1 2

P v A

Z A

µ ω ω

=

= La puissance de l’onde transmise est

2 2

2 2 2

1 2 1 2

PT v A

Z A

µ ω ω

=

Le rapport de la puissance transmise par rapport à la puissance incidente est

( )

2 2 1

2 2 2

2 2

2 1

2 2

1 12 2

0, 7 0, 003874 0, 4427 0, 005 0,949

T T

T

kg s

Z A

P

P Z A

Z A Z A

m m ω

ω

=

= ⋅

⋅

=

94,9% de la puissance est donc transmise.

2.

_a)

(4)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission4 L’onde transmise est toujours dans le même sens que l’onde originale. Elle sera donc vers le haut.

b) Puisque la densité de la corde de droite est plus grande, l’onde réfléchie sera inversée, donc vers le bas.

c) Puisque la vitesse est de 20 m/s sur la corde de gauche, la tension est

20 0, 02

8

T

T m

s kg

m T

v F µ

F

F N

=

= La vitesse sur la corde de droite est donc

8 0,05 12,65

T

kg m m

s

v F µ

N

=

d) L’onde réfléchie étant sur la corde de gauche, sa vitesse est la même que celle de l’onde de départ, soit 20 m/s.

3.

La puissance d’une onde est donnée par

2 2

1

P=2µvω A

On sait que la puissance de l’onde réfléchie est égale à 50% de la puissance de l’onde initiale. On a donc

2 2 12

2

0,5 ^R

R

P P

µv A µv A A

A ω ω

=

 

= 

 

(5)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission5 Or, l’amplitude de l’onde réfléchie est

1 2

R

Z Z

A A

Z Z

= − + On a donc que

1 2

2 1 2 1

2

1 2

2

0,5

1 1

R

Z Z Z Z

A A

A A Z Z Z Z

− +

 

= 

 

 

= 

 

 − 

= 

 + 

 − 

= + 

Si on pose que Z₂/Z₁ = x (qui est ce qu’on cherche), on arrive a 1 2

0,5 1

x x

 − 

= 

 +  Il ne reste qu’à isoler x.

0,5 1 1

x x

± = − + Pour simplifier, posons que C = ± 0,5. On a alors

( )

1 1

1 1 C x

x

C x x

C Cx x

x Cx C

x C C

= − + + = − + = − + = −

+ = −

= − +

(6)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission6 Si C= 0,5, on a

1 0,5

0,1716 1 0,5

x −

= =

+

Ça ne peut pas être la bonne réponse, car l’impédance de la deuxième corde est plus grande que celle de la première corde (ce qui signifie que Z₂/Z₁ > 1)

Si C = − 0,5, on a

1 0,5

5,828

1 0,5

x − −

= =

+ − C’est la bonne réponse.

4.

a) L’impédance est

Z =ρv

On a la densité, mais il nous manque la vitesse de l’onde.

À cette température, la vitesse de l’onde est 331,3

273,15 288,15 331,3

273,15 340,3

m s

m s m s

v T

K K K

= ⋅

= L’impédance de l’air est donc

³

²

1,3 340,3 442, 4

kg m

m s

kg m s

Z ρv

⋅

=

= ⋅

=

b) L’impédance de l’eau est

(7)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission7

³

²

1000 1520 1 520 000

kg m

m s

kg m s

Z ρv

⋅

=

= ⋅

=

c) Non, puisque l’impédance de l’eau est trop différente de celle de l’air (3435 fois plus grande).

5.

a) Avec une intensité de 60 dB, l’intensité de l’onde est de

12

²

12

² 6

²

10 log 10

60 10 log

10 10

W m

W m W

m

dB I dB dB I

I

β ₋

−

= ⋅

= L’amplitude de l’onde est donc de

( )

2 2

6 2 2

² ³

8

1 2

10 1 1,3 330 2 200

2

5, 433 10

W kg m

m m s

I v A

Hz A

A m

ρ ω

− π

−

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ×

Pour trouver l’amplitude de l’onde transmise dans l’eau, on doit trouver les impédances de l’eau et de l’air. Ces impédances sont

1 ³ ²

2 ³ ²

1,3 330 429

1000 1450 1 450 000

kg m kg

m s m s

kg m kg

m s m s

Z v

ρ ρ

= = ⋅ =

L’amplitude de l’onde transmise est donc

1

1 2

² 8

² ²

11

2

2 429

5, 4335 10 429 1 450 000

3, 214 10

T

kg m s

kg kg

m s m s

A Z A

Z Z

m m

−

= +

= ⋅ ⋅ ×

+

= ×

L’intensité de cette onde dans l’eau est donc de

(8)

( ) ( )

2 2

2 11 2

³ 9

²

1 2

1 1000 1450 2 200 3, 214 10 2

1,183 10

kg m

m s

W m

I v A

Hz m

ρ ω

π ⁻

−

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ×

= ×

En décibel, cette intensité est de

12

² 9

² 12

²

10 log

10 1,183 10

10 log

10 30, 7

W m

W m W m

dB I

dB dB

β ₋

−

= ⋅

= ⋅ ×

=

L’amplitude de l’onde réfléchie est donc

1 2

² ² 8

² ²

8

429 1 450 000

5, 4335 10 429 1 450 000

5, 4302 10

R

kg kg

m s m s

kg kg

m s m s

Z Z

A A

Z Z

m m

−

= − +

= − ⋅ ×

+

= − ×

L’intensité de cette onde dans l’air est donc de

( ) ( )

2 2

2 8 2

³ 7

²

1 2

1 1,3 330 2 200 5, 4302 10 2

9,988 10

kg m

m s

W m

I v A

Hz m

ρ ω

π ⁻

−

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ×

= ×

En décibel, cette intensité est de

12

² 7

² 12

²

10 log 10

9,988 10 10 log

10 59,99

W m

W m W m

dB I

dB dB

β ₋

−

= ⋅

= ⋅ ×

=

b) La différence d’intensité en décibel est

(9)

12 12

² ²

12 12

² ²

10 log 10 log

10 10

10 log log

10 10

T

T W W

m m

T

W W

m m

I I

dB dB

I I

dB

β β ₋ ₋

− −

− = ⋅ − ⋅

 

= ⋅ − 

 

Comme une soustraction de logarithme est égale au logarithme de la division, on a

12 12

² ²

12

²

12

²

10 log log

10 10

10 log 10 10 10 log

T

T W W

m m

T W m

W m T

I I

dB

I dB

I dB I

I

β β ₋ ₋

−

 

− =  − 

 

 

 

 

= ⋅

 

 

 

= ⋅

Il nous faut donc le rapport des intensités. Ce rapport est

2 2

1 2

2

2 2 12 1

2 2

2 1

T T

Z A

I

I Z A

I Z A I Z A ω

= ω

=

Puisque l’amplitude du son transmis est

1

1 2

2

T

A Z A

Z Z

= +

on a

( )

2

2 1 2

2

1 1 2

2

2 1

1 1 2

1 2 2

1 2

2

2 4

T

I Z Z

I Z A Z Z A

I Z Z

I Z Z Z

I Z Z

I Z Z

 

=  

 + 

 

=  

 + 

= +

(10)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission10 Avec les valeurs, on a

( )

² ²

2

² ²

3

4 429 1 450 000 429 1 450 000 1,1827 10

kg kg

m s m s

T

kg kg

m s m s

I I

−

⋅ ⋅

=

+

= ×

Ainsi,

3

10 log

10 log1,1827 10 29, 27

T T

dB I I dB

dB β β

−

− = ⋅

= ⋅ ×

= −

Cela signifie que l’intensité diminue toujours de 29,3 dB.

6.

La longueur d’onde est

vide substance

500 1,33 375,9

n nm

nm λ = λ

=

7.

La vitesse de la lumière est

v c

=n Il nous faut donc l’indice de réfraction.

On trouve l’indice de réfraction avec

vide substance

480 600

1, 25 n nm nm

n n

λ = λ

=

= La vitesse de la lumière est donc

(11)

8

299 792 458 1, 25 2, 4 10

m s

v c

= n

=

= ×

8.

Pour trouver les intensités, il nous faut les amplitudes des ondes réfléchie et transmise qui se trouve à partir de l’amplitude de l’onde initiale et des indices de réfraction des milieux.

On trouve l’amplitude de l’onde incidente avec la formule suivante.

2

2 0 0

8 12 2

² 0

²

0

2 3 10 1 8,854 10

5 2

61,36

m C

s Nm

W m

N C

I cn E

E E

ε

−

=

× ⋅ ⋅ × ⋅

=

Ainsi, les amplitudes des ondes réfléchie et transmise sont

1 2

0 0

1 2

1

0 0

1 2

1 1,33 61,36 1 1,33

8,690 2

2 1 61,36 1 1,33 52,67

R

N C N

C

T

N C N

C

n n

E E

n n

E n E

n n

= − +

= − ⋅

+

= −

= +

= ⋅ ⋅

+

=

Cela signifie que les intensités des ondes transmise et réfléchie sont

(12)

( )

2

2 0 0

8 12 2

²

2 0 0

8 12 2

²

2

3 10 1 8,854 10 8,690

2 0,100

2

3 10 1,33 8,854 10 52,67

2 4,900

R R

m C N

s Nm C

W m

T T

m C N

s Nm C

W m

I cn E

I cn E ε

ε

−

=

× ⋅ ⋅ × ⋅ −

=

× ⋅ ⋅ × ⋅

=

Donc 98% de l’énergie est transmise.

9.

Le rapport des intensités est

1 2

2 0 0 2

1 2

1 0 0 2

2 2 0 2 1 0

T T

T

cn E I

I cn E

n E n E

ε

= ε

=

Or, l’amplitude de l’onde transmise est

0 1 0

1 2

2

T

E n E

n n

= + On a donc

( )

2 2 0 2 1 0

2

2 1 2

2 0

1 0 1 2

2 1 2

1 2

2 4

T

T n E

I

I n E

n n

n E n n E n n n n

=

 

=  

 + 

= +

Puisque le rapport des intensités est 0,92 et qu’on sait que est 1, on a

(13)

( )

2 1 2

1 2

2 2 2

4

4 1

0,92 1 IT n n

I n n

n n

= +

= ⋅ + Il ne reste qu’à isoler .

( )

2 2 2 2

2 2

2

2 2

4 1

0,92 1

0,92 1 4

0,92 1,84 0,92 4 0,92 2,16 0,92 0

n n

n n n

n n

= ⋅ +

+ =

+ + =

− + =

Les solutions de cette équation quadratique sont 1,7888 et 0,5590 Seule la première solution est possible.

10.

On a les angles suivants.

L’angle de 25° vient du fait que la somme des angles d’un triangle doit être de 180°.

11.

On peut trouver à quelle hauteur h le laser frappe le miroir.

(14)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission14 Sur la figure, on a

tan 50 1,10 0,923

m y

y m

° =

=

La hauteur est donc h = 2,100 m – 0,923 m = 1,177 m. On trouve ensuite la distance au sol avec

(15)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission15 tan 50

1,117 1, 403

d m

° =

=

12.

a) Selon la loi de la réfraction, on a

( ) ( )

1sin 1 2sin 2

sin 25 1,33 sin 48 2,34

X

n n

n

θ = θ

⋅ ° = ⋅ °

=

b) La vitesse de la lumière dans la substance X est

8

3 10 2,34 1, 28 10

m s

v c

=n

= ×

13.

Trouvons premièrement l’angle de réfraction

( )

1 1 2 2

2 2

sin sin

1 sin 30 1,6 sin 18, 21

n θ n θ

θ θ

=

⋅ ° = ⋅

= °

On a donc la situation suivante.

On doit alors avoir que

(16)

30 18, 21 180

131, 79 θ

θ

° + + ° = °

= °

14.

On va trouver la température à partir de la vitesse de l’onde.

331,3

273,15

m s

v T

= ⋅ K

Pour la trouver, on a besoin de la vitesse. La vitesse se trouve à partir de la loi de la réfraction

1 1

2 2

sin sin

v v θ θ ⁼

On a les deux angles, mais pas les vitesses. On peut cependant trouver la vitesse dans le milieu 1 avec

331,3

273,15 293,15 331,3

273,15 343, 2

m s

m s m

s

v T

K K K

= ⋅

=

On peut alors trouver la vitesse de l’onde dans la 2^e région avec la loi de la réfraction

1 1

2 2

sin sin

343, 2 sin 45

sin 50 371,8

m s

v v v v

θ θ ⁼

° =

°

= La température est donc

(17)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission17 331,3

273,15 371,8 331,3

273,15 344,1

70,9

m s

m m

s s

v T

K T

K

T K

T C

= ⋅

=

= °

15.

Avec la loi de la réfraction, on a

( )

1 1 2 2

2 2

sin sin

1 sin 41 1,5 sin 25,94

n θ n θ

θ θ

=

⋅ ° = ⋅

= °

On a alors

Voici comment on trouve ces angles.

64,06° : on a cet angle parce que 25,94° et 64,06° doivent totaliser 90°.

55,94° : On a cet angle parce que la somme des angles d’un triangle doit donner 180°. On doit donc avoir 64,06°+60°+55,94° = 180°.

34,06° : on a cet angle parce que 55,94° et 34,06° doivent totaliser 90°.

(18)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission18 On reprend ensuite la loi de la réfraction pour trouver l’angle θ. On a alors

( )

1sin 1 2sin 2

1,5 sin 34, 06 1 sin 57,16

n θ n θ

θ θ

=

⋅ ° = ⋅

= °

16.

Trouvons premièrement l’angle de réfraction dans le verre.

( )

1 1 2 2

2

sin sin

1 sin 40 1,5 sin 25,37

n θ n θ

θ θ

=

⋅ ° = ⋅

= °

On a alors

On trouve ensuite la longueur du rayon lumineux dans le verre (ligne en pointillée identifiée x). On la trouve avec

cos 25,37 2 2, 214

cm x

x cm

=

Finalement, on a un autre triangle rectangle. Avec les côtés x et d

(19)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission19 Avec ce triangle, on peut trouver d.

( )

sin 14,63 sin 14,63

2, 21 0,559

d x d

cm

d cm

° =

=

17.

Pour voir le point, on doit avoir, au pire, la situation suivante.

L’angle sur cette figure est

1

tan 2 4 26,57

m θ m θ

=

= °

(20)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission20 Il nous manque l’angle à l’extérieur du liquide. On trouve cet angle avec la situation initiale.

L’angle sur cette figure est

2

tan 3 4 36,87

m θ m θ

=

= °

On a donc la situation suivante.

L’indice de réfraction doit donc être de

( )

1sin 1 2sin 2

sin 26,57 1 sin 36,87 1,342

n n

n

θ = θ

⋅ ° = ⋅ °

=

(21)

18.

Selon cette figure, on a

1 2

10m=x +x Comme

1 tan 20 10

x

m= °

et

2 tan

10 x

m = θ on a

10m=10m⋅tan 20° +10m⋅tanθ On peut alors trouver la valeur de θ.

1 tan 20 tan 32, 46

θ θ

= ° +

= °

La loi de la réfraction nous donne alors

1 1

2 2

sin sin sin 20 5000 sin 32, 46

7846

m s

v v

θ θ ⁼

° =

°

=

(22)

19.

La vitesse de la lumière est

v c

=n On doit donc trouver l’indice de réfraction

Si l’angle critique est de 60°, alors on peut trouver l’indice de réfraction avec

2 1

sin sin 60

1,33 1,152

c

n n n n

θ =

° =

=

La vitesse de la lumière dans cette substance est donc

8

3 10 1,152 2, 60 10

m s

v c

=n

= ×

20.

L’angle critique est

2 1

sin sin 1

1,5 41,81

c

n θ n θ θ

=

= °

Comme l’angle d’incidence est de 52° (90° - 38°), il y a réflexion totale puisque l’angle d’incidence est supérieur à l’angle critique.

21.

(23)

2 1

sin sin 1,5

1 n'existe pas

c

n θ n θ θ

=

Comme il n’y a pas d’angle critique, il ne peut pas y avoir de réflexion totale.

22.

1 2

sin sin 340

5000 3,899

c m

s

c m

s c

v θ v θ θ

=

= °

La distance est donc

tan 3

0, 2045

c

x m

θ =

=

23.

On a les angles suivants.

Voici comment on trouve ces angles.

(24)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission24 40° entre le rayon rouge et l’interface entre l’eau et le diamant.

Angle alterne-interne avec le 40° du morceau de diamant.

Angle d’incidence de 50° pour le rayon à l’interface eau-diamant.

40° et 50° doivent totaliser 90°.

Angle de réfraction de 24,9°.

Vient de

( )

1 1 2 2

2 2

sin sin

1,33sin 50 2, 42sin 24,9

n θ n θ

θ θ

=

° =

= °

Angle de 50° (au bout de la ligne pointillée, près de l’interface entre l’air et le diamant).

La somme des angles d’un triangle doit être de 180°.

On doit donc avoir 40° + 90° + 50° = 180°.

Angle de 130°

La somme de l’angle de 50° et de l’angle de 130° doit donner 180° (angles supplémentaires.

Angle de 25,1°

La somme des angles d’un triangle doit être de 180°.

On doit donc avoir 130° + 24,9° + 25,1° = 180°.

Angle de 64,9°

25,1° et 64,9° doivent totaliser 90°.

L’angle d’incidence du rayon est donc de 64,9°. Est-il plus grand que l’angle critique ? L’angle critique est

2 1

sin sin 1

2, 42 24, 4

c

n θ n θ θ

=

= °

Comme l’angle d’incidence est plus grand que l’angle critique, il y a réflexion totale au point P.

24.

L’angle de réfraction du rouge est

(25)

( )

1 1 2 2

2 2

sin sin

1 sin 80 1,62 sin 37, 44

n θ n θ

θ θ

=

⋅ ° = ⋅

= °

L’angle de réfraction du mauve est

( )

1 1 2 2

2 2

sin sin

1 sin 80 1,66 sin 36,39

n θ n θ

θ θ

=

⋅ ° = ⋅

= °

L’écart entre les deux est donc 37,44° - 36,39° = 1,05°.

25.

L’angle de polarisation est

2 1

tan tan 1,55

1 57, 2

p

n θ n θ θ

=

= °

26.

L’angle de polarisation est

2 1

tan tan 1, 2

1, 6 36,9

p

n θ n θ θ

=

= °

27.

Si le rayon réfléchi est polarisé, c’est que l’angle d’incidence est égal à l’angle de polarisation. Cet angle est

(26)

2 1

tan tan 1,7

1 59,53

p

n θ n θ θ

=

= °

L’angle de réfraction est alors

1 1 2 2

2 2

sin sin

1 sin 59,53 1, 7 sin 30, 46

n θ n θ

θ θ

=

⋅ ° = ⋅

= °

28.

a) Avec un angle critique de 48°, on a

2 1 2 1

sin sin 48

c

n n n n θ =

° =

On ne peut pas trouver les valeurs des indices de réfraction, mais on peut trouver la valeur de / On a alors

2 1 2

1

sin 48 0, 743

n n n

n

° =

=

L’angle de polarisation est donc

2 1

tan

tan 0, 743 36, 6

p

n θ n θ θ

=

= °

b) Non, car l’angle de polarisation est à 36,6° alors que la réflexion totale commence à 48°.

(27)

29.

On va commencer par trouver les pourcentages de la puissance réfléchie et transmis à chaque surface.

Quand la lumière arrive de l’air au verre, les amplitudes transmise et réfléchie sont

1 2

0 0

1 2

0

1

0 0

1 2

0

1 1,5 1 1,5 0, 2

2 2 1 1 1,5 0,8

R

T

n n

E E

n n E E

E n E

n n E E

= − +

= − ⋅ +

= −

= +

= ⋅ ⋅ +

=

Cela signifie que les intensités des ondes transmise et réfléchie par rapport à l’intensité de l’onde initiale sont

( )

2 1 0 0

2

0 1 0 0

2 0 2 0

2 0 2 0 2

2 2

0, 2 0, 2 0, 04

R R

R

cn E I

I cn E

E E

ε ε

 

 

 

=  

 

 

=

(28)

( )

2 2 0 0

2 1 0 0

2 2 0 2 1 0

2

2 0

2 1 0 2 2

1 2

2 2

0,8 0,8 1,5 0,8

1 0,96

T

cn E I

cn E n E

n E

n E

n E n

n ε ε

 

 

 

=  

 

 

=

= Donc 96% de l’énergie entre dans le verre.

Une fois à l’intérieur, la lumière arrive à l’interface verre air. À cette interface, les amplitudes des ondes réfléchie et transmise sont

1 2

0 0

1 2

0

1

0 0

1 2

0

1,5 1 1 1,5 0, 2

2 2 1,5 1 1,5 1, 2

R

T

n n

E E

n n E E

E n E

n n E E

= − +

= − ⋅ +

=

= +

= ⋅ ⋅ +

=

Cela signifie que les intensités des ondes transmise et réfléchie par rapport à l’intensité de l’onde initiale sont

(29)

( )

2 2 0 0

2

0 2 0 0

2 0 2 0

2 0 2 0 2

2 2

0, 2 0, 2 0, 04

R R

R

cn E I

I cn E

E E

ε ε

 

 

 

=  

 

 

=

( )

2 1 0 0

2 2 0 0

2 1 0 2 2 0

2

1 0

2 2 0 2 1

2 2

1, 2 1, 2 1 1, 2

1,5 0,96

T

cn E

I cn E

n E n E

n E

n E n

n ε

ε

 

 

 

=  

 

 

=

On peut maintenant trouver l’intensité de la lumière transmise.

Rayon qui ne fait pas de réflexion

Dans ce cas, la lumière traverse directement les deux surfaces. Le pourcentage transmis est

0,96 ∙ 0,96 =0,9216 = 92,16%

Rayon qui fait 1 aller-retour

(30)

Version 2021 4 – La réflexion et la transmission30 Dans ce cas, la lumière entre dans le verre, se réfléchit 2 fois et sort du verre. Le pourcentage de lumière pour ce trajet est

0,96 ∙ 0,04 ∙ 0,04 ∙ 0,96 = 0,96² ∙ 0,04² Rayon qui fait 2 allers-retours

Dans ce cas, la lumière entre dans le verre, se réfléchit 4 fois et sort du verre. Le pourcentage de lumière pour ce trajet est

0,96 ∙ 0,04 ∙ 0,04 ∙ 0,04 ∙ 0,04 ∙ 0,96 = 0,96² ∙ 0,04⁴ Rayon qui fait 3 allers-retours

Dans ce cas, la lumière entre dans le verre, se réfléchit 6 fois puis sort du verre. Le pourcentage de lumière pour ce trajet est

0,96² ∙ 0,04⁶ Et ainsi de suite…

Si on fait la somme de toutes ces intensités, on trouve

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 4 2 6

2 2 3

0,96 0,96 0, 04 0,96 0, 04 0,96 0, 04 ...

0,96 1 0, 0016 0, 0016 0, 0016 ...

Itot = + + + +

= + + + +

Ce genre de somme est une série géométrique. On peut la calculer directement ou on peut prendre une formule qui donne la somme. Trouvons cette formule. Si on a une série géométrique

2 3 ...

S = +a ar+ar +ar +

On peut écrire

( )

2 3 4 ...

1 1

Sr ar ar ar ar Sr S a S Sr a

S r a

S a r

= + + + +

= −

− =

= − Donc, notre somme ici est

(31)

(

^0,96

)

² ¹

1 0,0016 0,9231

Itot = ⋅

−

=

92,31 % de la lumière est donc transmise. Il y a donc 7,69% de la lumière qui est réfléchie.