Nouvelle méthode de mesure des indices de réfraction et d'absorption électriques pour la gamme des ondes décimétriques et métriques

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Nouvelle méthode de mesure des indices de réfraction et

d’absorption électriques pour la gamme des ondes

décimétriques et métriques

Jean Benoit

To cite this version:

NOUVELLE

MÉTHODE

DE MESURE

DES INDICES DE

RÉFRACTION

ET D’ABSORPTION

ÉLECTRIQUES

POUR LA GAMME DES ONDES

_{DÉCIMÉTRIQUES}

ET

_MÉTRIQUES

Par JEAN BENOIT.

Laboratoire

_{d’Enseignement}

de

_Physique

de la Sorbonne.

Sommaire. 2014 Ire Partie : Exposé du _principe mis en 0153uvre; rappel des _procédés de mesure

de la _longueur d’onde et de la surtension; développement de la base _théorique de la méthode.

2e Partie : Application des résultats _précédents au _problème de la mesure de n _{et ~ proprement}

dits. On _indique la _façon de construire divers abaques ainsi que des modes d’exploitation très simples

de ceux-ci.

Description de _{l’appareillage} auxiliaire nécessaire aux mesures.

3e Partie : Détails de construction de la _ligne coaxiale de mesure et de ses accessoires; réglages et contrôle _{expérimental.} Résultats _{expérimentaux} relatifs à des _{diélectriques} solides. _Complément

théorique pour la mesure sur des _{diélectriques liquides;} résultats expérimentaux et discussion.

PREMIÈRE

PARTIE.

Introduction.

Lorsqu’une

onde

_{électromagnétique plane}

entre-tenue se _{propage suivant} une direction xx’ dans un

milieu conducteur ou

dispersif,

le

_champ

_électrique

ou le

champ magnétique

sont de la forme

7~ étant la

_longueur

d’onde dans le milieu considéré

et T la

_période.

Si v est la vitesse de

_propagation

de l’onde dans le milieu et c sa vitesse dans le

_vide,

on a À = v . T et

1,o =

c.T

_(Ào

_longueur

d’onde dans le

_vide).

Par

définition,

l’indice de réfraction du corps considéré est, pour l’onde

utilisée,

On

_appelle

indice

_{d’absorption}

le

_{coefficient Z}

de la formule

_(1);

il est tel _que

_{l’amplitude}

de l’onde est

_multipliée

_par

_après

un

trajet

d’une

longueur

d’onde dans le corps en

_question.

La théorie de Maxwell

conduit,

d’autre

_part,

à

définir une constante

diélectrique

complexe

En

_posant

s

_prend

la forme

Le calcul _{montre que cette} relation

_signifie

_que, si l’on

_remplit

avec un _{corps absorbant} un conden-sateur

_{(de capacité}

dans le vide

_Co)

soumis à une

tension à haute

_fréquence

de

_pulsation

w, ce

conden-sateur devient

_équivalent

à une

_capacité

C = ê’ X

_Co

en

_parallèle

avec une résistance de valeur .R =

-c l If

*

0 we E

s’ est donc la constante

_{diélectrique}

au sens

habituel et caractérise les

_pertes

dans le

diélec-E" I

trique

du condensateur.

Enfin,

le

_{rapport ,}

=

E oei

donne ce _{que les électrotechniciens}

_{appellent l’angle}

de

_{perte 8,}

_{par la relation ’} °

Plus le

_{diélectrique}

est

absorbant,

plus l’angle

de

perte

est

_grand.

En

résumé,

pour étudier la

dispersion

et

1’absorp-tion _{d’un corps,} on _pourra mesurer soit n et Z,

soit E, et s~.

Nous nous _{proposons de} mesurer ces constantes à -des

_fréquences

hertziennes très élevées

_(ne

_dépassant

cependant

pas 2000

mégacycles)

_par une méthode

permettant

d’opérer

soit sur des corps

_solides,

soit sur des volumes de

_liquide

ne

_dépassant

_pas

_quelques

centimètres cubes.

Dans le domaine des ondes

_métriques,

décimé-triques

ou

_{centimétriques,}

les méthodes utilisées

jusqu’à

maintenant

_peuvent

être classées en

_quatre

groupes :

I ~ PREMIÈRE MÉTHODE DE DRUDE

_(ET

SES

DÉRI-VÉES).

- En

1895,

Drude

_[j]

a mis au

_point,

_pour

la mesure de la constante

_{diélectrique}

des

_liquides,

un

_dispositif

basé sur la

_propagation

des ondes le

long

d’une

_ligne

_{constituée par deux fils}

métal-liques parallèles

immergés

dans le

_liquide.

En

étu-diant les ondes stationnaires

_qui

se forment sur la

ligne,

on

_peut

calculer s’

_{(et ~ "), Depuis,}

bien d’autres

chercheurs ont utilisé cette méthode ou des méthodes

analogues

[2] [3].

Le

_rayonnement

notable d’une

ligne

à deux fils

_parallèles

et les réflexions

_parasites

sur les

_parois

de la cuve

_qui

contient le

_liquide

sont

les causes de diverses

_{perturbations}

difficiles à

éviter.

Drake,

Pierce et Dow

_[4],

en

_ig3o,

ont amélioré

ce

_dispositif

en utilisant une

_ligne

coaxiale

(c’est-à-dire constituée par deux

cylindres

métalliques

ayant

le même

_{axe) remplie}

de

_liquide.

On est ainsi débarrassé des erreurs dues au

_rayonnement.

Le

procédé

a été

_repris

_par

_Bergmann

en

_ig3q

_[5],

par

Slevogt

en

₁₉₃₉

_[6]

et Abadie en

₁₉₄₃

_[8].

Pour des ondes allant de

_quelques

centimètres à

quelques

mètres,

l’erreur sur E’ _est, en

_général,

de

_quelques

_{unités pour} I oo et celle sur E" est de 5 à 12 _pour I oo.

Cette méthode nécessite un volume

_important

de

liquide

et ne

_s’applique

_pas aux _{corps solides.}

20 DEUXIÈME MÉTHODE DE DRUDE

(ET

SES

DÉRIVÉES).

- Elle met

également

en 0153uvre des ondes stationnaires formées sur une

_ligne.

Mais

cette dernière se trouve cette fois dans l’air et se

termine _par un très

_petit

condensateur dont les

armatures sont

_séparées

_par le

_{diélectrique}

étudié. Drude et tous ses successeurs

_[g]

à

_[17]

ont utilisé

une

_ligne

à deux fils

_parallèles.

On est encore très

gêné

par le

rayonnement

important

d’une telle

ligne.

Abadie

_[9]

a

_essayé

d’en tenir

_{compte; chaque}

mesure nécessite alors un calcul _par

_{approximations}

successives et les

_hypothèses

_{faites pour} mener à

bien ce calcul ne

_peuvent

rendre

_parfaitement

_compte

des

_pertes

_par

_rayonnement.

Les autres chercheurs

ne _{tiennent pas}

_compte

du

_rayonnement

ni des

pertes

dans les conducteurs de la

_ligne

et ils

_indiquent

rarement la

_précision

atteinte. On

_peut

se

_demander,

dans ces

_conditions,

si les erreurs

_{généralement}

admises

_{aujourd’hui (2}

à 5 _pour 100 sur e et 5 à I o _pour I oo sur

_{E") sont justifiées.}

La discordance

fréquente

entre les résultats

_{expérimentaux}

de

nombreux mémoires

_permet

d’en douter.

Enfin,

cette méthode a l’inconvénient de nécessiter

un

_étalonnage

_préalable

avec des _corps de constante

diélectrique

connue.

30 MÉTHODES OPTIQUES. ----~ On

peut

aussi calculer l’indice

_{d’absorption}

d’un

_{diélectrique}

en mesurant

le

_rapport

des intensités de l’onde hertzienne avant et

_{après interposition}

d’une

_épaisseur

connue du matériau.

_Puis,

on mesure le coefficient de réflexion

de ce matériau et l’on en déduit l’indice de réfraction

connaissant l’indice

_{d’absorption.}

Ce genre de

technique,

très

_analogue

à celui

_employé

en

_optique

et

_déjà

utilisé _{par Cole} en

₁₈₉₆

_[18],

a été mis en

oeuvre en

_particulier

_par

_Seeberger

_[Ig]

en

_1933,

puis

pour des ondes

centimétriques

par Esau et Bâz

_{[20] (1937),}

Bäz

_[21]

_(1939),

Kebbel

_{[22] (Ig3g).}

La

_précision

est _{faible par suite} des nombreuses

perturbations possibles

dues aux réflexions ou

diffractions

_parasites;

l’erreur est de l’ordre de 10

à 20 _pour 100. En

_outre,

il faut

_{pouvoir disposer}

d’assez

_grandes

_quantités

du matériau étudié.

4~

MÉTHODE UTILISANT LA RÉSONANCE D’UNE CAVITÉ. - Les

progrès

réalisés dans l’étude de la

propagation

des différents

_types

d’ondes hertziennes courtes, non

_plus

sur des

lignes,

mais dans des

conducteurs creux, tels que des tubes

métalliques,

permettent

d’envisager

l’application

de ce _genre

de

_{phénomène à}

l’étude des

_{diélectriques.}

Les indications de

_Fejer

_{[23] (1941)}

sur

l’utili-sation d’un

_tuyau

de

_longueur

variable contenant

une

_plaque

de

diélectrique,

sone

_trop

succinctes

pour

qu’on puisse

_juger

du

champ d’application

de

sa méthode et de la

_{précision qu’on}

peut

en

_attendre;

aucun

_exemple

de mesure n’est donné.

Borgnis

a

_publié,

en

_1942,

un mémoire

_[24]

où il

décrit un

appareillage

utilisant une cavité

_métallique

en résonance pour une certaine

longueur

d’onde.

L’introduction dans cette cavité d’une

baguette

d’un

diélectrique

détruit la résonance; on rétablit celle-ci

en faisant varier la

_fréquence

de l’oscillateur. De cette

variation de

_fréquence

et du

_changement

de l’amor-tissement de la

cavité,

Borgnis

déduit la constante

diélectrique

et

_l’angle

de

_perte

de divers isolants solides

_(trolitul,

calit,

ambre

_pressé,

verre,

pertinax)

pour ~

=

r 4

_cm. Cette méthode nécessite

un

oscilla-teur à

_fréquence

variable de

façon

continue. On

_peut

se demander si elle est

susceptible

de

s’appliquer

aisément à des

_{diélectriques}

_liquides

et à- des corps doués de

_dispersion

et

_{d’absorption}

notables,

et

quelle

en serait la

_précision.

Signalons

enfin

_qu’aux

ondes

_métriques,

on mesure

souvent les

_pertes

_{diélectriques}

des

_liquides

à

_partir

de l’échauffement de ceux-ci dans le

_champ

élec-trique

de haute

_fréquence

_{[z5] ~ [3o].}

Cet examen succinct des méthodes de mesure

actuellement connues

₍₁₎

nous amène à conclure

que, pour l’étude de

diélectriques

solides ou

_liquides

(de

dispersion

et

_absorption

_quelconques)

en faible

quantité,

la deuxième méthode de Drude

parait

seule satisfaisante dans le domaine de

_{fréquence qui}

nous intéresse.

_Cependant,

le

dispositif

à

ligne

de

Lecher et condensateur

_possède

les _gros inconvénients que nous avons

_signalés

_plus

haut.

Aussi,

avons-nous

_songé

à

_transposer

le

_principe

de cette méthode en

_{l’appliquant}

à une

_ligne

coaxiale

pour éviter le

rayonnement.

Fig. 1.

Nous utilisons donc une

_ligne

de

longueur

réglable

constituée,

comme

_l’indique

la

figure

I, _par

_quatre

tubes coulissant formant une

_paire

de conducteurs coaxiaux. Elle est

_couplée

convenablement en A

à un oscillateur et se ferme sur une

_impédance

constituée par une

_portion

de

ligne

de

longueur I’

occupée

par le

diélectrique

et court-circuitée en B

par une

_{paroi métallique plane. L’amplitude}

du

courant traversant l’entrée de la

_ligne

_{passe par} des

maxima I _{pour certaines} valeurs L de la

_longueur

1 de la

_ligne.

On mesure I et L en

_présence

du

diélec-trique,

en un des

maxima;

on recommence en

remplaçant

le

_{diélectrique}

_par de

l’air,

d’où

_7o

et

_Lo

correspondant

au maximum de même

_rang,

et l’on calcule la surtension

Q

de la

_ligne.

Nous

démon-trerons

_qu’on

_peut

déduire directement de ces données

l’indice de

_rétraction

du

_{diélectrique}

et son indice

dlabsorption.

Par suite de l’effet de peau et

grâce

à un

_couplage

convenable

_(qui

sera

_précisé

en

_{temps utile),}

les

courants de haute

_fréquence

se

_propagent

sur cette

ligne

à l’intérieur d’une _{cavité presque}

complè-tement close. Les

_pertes

_par

_rayonnement

sont donc

réduites au minimum.

L’expérience

_{montre que}

l’opérateur

peut

s’approcher

de la

ligne

ou la

toucher sans

_apporter

de

_perturbation

aux

_appareils

de mesure. D’autre

_part,

nous tiendrons

_compte

de

la valeur de la surfensïon de la

_ligne

et, par

conséquent,

des

_pertes

dans les conducteurs en cuivre

_qui

constituent

celle-ci. On

conçoit,

d’autre

_part,

_que le volume de

diélectrique employé

est très minime.

En fin,

le _processus que nous décrirons

_permet

des mesures absolues et il

est

_applicable

même aux _{corps à très}

_{f ories}

_pertes.

Tels

sont les

principaux

avantages

de la méthode que nous _proposons,

L’exposé qui

va suivre se divise de

la

façon

suivante :

Chapitre

I. -

Étude

des variations du

module de

l’impédance

d’entrée d’une

_ligne

court-circuitée,

en fonction de la

longueur

de

celle-ci,

et

_application

des résultats établis à la recherche de la

_longueur

d’onde,

et au calcul de la surtension

_Q

de la

_ligne.

Chapitre

77.

- Étude

de

_{l’impédance}

d’entrée d’une

ligne

terminée _par une

_{impédance quelconque}

inconnue. Mesure de cette dernière à

_partir

des données

_{expérimentales}

définies

_plus

haut. Examen du

champ

d’application

de la théorie

précédente.

Chapitre

III. -

Application

de la théorie du

Chapitre

II à la mesure des indices n

_{et Z}

d’un

diélec-trique.

Construction de différents

_abaques

néces-saires à cette mesure.

Chapitre

IV. -

Description

des

_appareils

auxi-liaires réalisés en vue des mesures

(oscillateurs,

stabilisateurs, thermostat,

bâti de

_mesure).

Chapitre

V. -

Description

des

_{caractéristiques}

essentielles des

_lignes

de mesure et d’un ondemètre

à

_ligne

coaxiale.

Chapitre

VI. - lVlesures _sur des

diélectriques

solides et discussion de

_{la .précision}

obtenue.

Chapitre

VII, - Mesures

sur des

_{diélectriques}

liquides.

Complément théorique

pour la conduite de

ces mesures. Contrôle de notre _{méthode par l’étude} de

_liquides

non

_dispersifs

dont la constante

diélec-trique,

est _{mesurée par ailleurs} en ondes

_longues.

Résultats

_{expérimentaux}

et _{discussion pour divers}

liquides dispersifs

et

absorbants;

comparaison

avec

les

_prévisions

de la théorie de

_Debye.

N. .~. - Pendant le

cours de ce

travail,

une

communication a été faite à la 5e Section de la

Société des

Électriciens

en avril

₁₉₄₂

sur la mesure

des constantes

_{diélectriques}

en ondes courtes, par MM.

Clavier,

Saphores

et Denis. Ces mesures

ont été exécutées à des

_longueurs

d’onde de i m au

_minimum,

avec une

_ligne

coaxiale ouverte à

1’extré-mité

_réceptrice,

celle-ci étant

_occupée

_par une tranche d’un isolant solide. C’est

donc,

comme dans notre

cas,

l’exploitation

de la deuxième méthode de Drude

avec une

_ligne

coaxiale. Mais le

_{dispositif à ligne}

ouverte a l’inconvénient de

_{rayonner à}

l’extrémité où est

_placé

le

_{diélectrique}

étudié. D’autre

_part,

les modes de

_couplage

de la

_ligne

avec

avec

_l’appareil

de mesure du courant _{utilisés par} ces

autours ne sont _pas

_applicables

_pratiquement

à des

longueurs

d’onde

_inférieures

à l m.

_Enfin,

les

_formules

indiquées

ne

_peuvent

être

_employées

que pour des isoiants de très

_faibles

_pertes,

Ces

_points

essentiels différencient nettement notre méthode de celle

_employée

_par les Laboratoires du Matériel

_{Téléphonique.}

Chapitre

I.

Nous allons _{exposer, dans} ce

_{chapitre, quelques}

résultats

classiques qui

nous seront utiles dans la suite

_{[38], [39],}

_[4o].

Considérons la

_ligne

coaxiale schématisée sur

176

même

_{diélectrique.}

L’extrémité B est court-circuitée

et l’extrémité A est

_couplée

à l’oscillateur 0. Ce

couplage

est

_supposé

assez _{lâche pour}

_{qu’on puisse}

admettre que la force

électromotrice e,

induite dans

l’entrée de la

_ligne,

reste constante

_quand

la

_longueur

de celle-ci varie. Nous _supposons

_également

_que cette force électromotrice est

_ponctuelle.

La validité

de ces

_hypothèses

sera contrôlée par l’accord entre

l’expérience

et les résultats

_prévus.

~

Fig. 2.

Nous nous _{proposons d’étudier les variations}

d’amplitude

du courant ’ traversant l’entrée de la

ligne

en fonction de la

longueur

de celle-ci.

Or,

la

,

valeur de ce courant est i

_z

Z étant

_{l’impédance}

de la

_ligne

vue de l’entrée. Nous avons donc à

étudier

Z

1

(module

de

Z)

en fonction de 1.

1. NOTATIONS. - c~,

pulsation

de l’onde

sinu-soïdale

_qui

se _propage sur la

_ligne;

T,

période

de

celle-ci;

R,

résistance par unité de

longueur

de la

_ligne;

u, vitesse de

_phase

de l’onde le

_long

de la

ligne;

c, vitesse de

phase

de l’onde dans le

_{diélectrique}

libre;

1,,

longueur

d’onde le

_long

de la

_ligne

_(différente

de la

longueur

d’onde dans le

_{diélectrique}

libre,

car

_{u ~}

c) ;

et =

2;,

constante de

longueur

d’onde;

[3,

coefficient d’amortissement.

Enfin,

la constante de

_propagation

le

_long

de la

ligne

est

2. DIVERSES PERTES DANS LA LIGNE. RELATIONS AVEC LES CONSTANTES LINÉIQUES. - On

peut

distinguer :

~ ~ Les

_pertes

dans le _{cuivre caractérisées par le}

quotient

R

°

Posons

_tg

_cp

== LR .

On cherche

toujours

à réaliser

L w

le minimum de

_pertes

dans le cuivre. C’est

_{pourquoi 9}

est

_toujours

très

_petit.

Nous en verrons

_plus

loin l’ordre de

_grandeur.

~~ Les

_pertes

dans le

_{diélectrique,}

caractérisées _par le

quotient G.

_Cw On sait _que

_{l’égalité}

_tg

à

== 2013

relie

l’angle

de

_perte

du

_{diélectrique}

à la

_perditance

G de la

_ligne.

30 Les

_pertes

_par

_rayonnement

de la

_{ligne :}

inter-venant au

_plus

haut

_point

dans le cas des

_lignes

de

Lecher,

elles sont absolument

négligeables

pour

une

_ligne

coaxiale.

Établissons

maintenant les relations entre ces

pertes

et les constantes

_{cx, (j}

et u.

En élevant au carré les deux membres de

₍₃₎

et

identifiant,

on obtient :

Divisons celles-ci membre à membre :

est donc racine de

_{l’équation}

.

ou

égalité qui

est satisfaite si

L’autre racine est donc

B

elle ne convient pas, car

12 "-

est un nombre

positif.

Il reste donc :

et finalement

Ces

_formules

sont valables

_dans

le cas le

plus

général.

L’influence

des

_pertes

_{sur ~}

et u

_s’y

trouve

plus

clairement en évidence que dans les

_formules

_que

l’on trouve dans les traités

_classiques.

Précisons

_quelques

cas

_{particuliers.}

Cas des

_lignes

à

_faibles

_pertes

₍₉

et a

_petits).

-On a alors

-ou

indépendante

de c~, et, par suite,

devient

ou

indépendante

de M.

En résumé :

Cas des

_lignes

à

_perditance

notable

_(c?

restanf

petit).

-

Si 9

est

_négligeable

devant 0

3. IMPÉDANCE ITÉRATIVE. IMPÉDANCE D’ENTRÉE. - On sait

qu’on appelle impédance

itérative

_(ou

caractéristique)

Pour une

_ligne

à faibles

_pertes

D’autre

_part,

_{l’impédance}

d’entrée d’une

_ligne

court-circuitée est

4. SURTENSION D’UNE LIGNE. - Par

analogie

avec les circuits en ondes

_longues,

le

_rapport

= R

peut

être

_appelé

coefficient de surtension de la

_ligne.

On voit que,

plus

les

_pertes

dans le cuivre sont

minimes,

plus

il est

_grand.

Pour une

_ligne

sans

_perditance,

on a

et d’autre

_part,

_d’après

_(5),

donc

Q

est donc calculable en fonction de la

fré-quence, de la résistivité du métal constituant la

ligne

et des diamètres des

_cylindres

coaxiaux. On démontre que

Q

est maximum

_lorsque

le

_rapport

du diamètre intérieur du

_cylindre

externe au

dia-mètre extérieur du

_cylindre

interne est sensiblement

égal

à 3,6

[L~ r]

bis].

De

_{préférence,}

on mesurera la valeur exacte de

_Q

comme il sera

_{exposé plus}

loin.

5. VARIATIONS

_{DE ~ Z}

₁

EN FONCTION DE LA LONGUEUR DE LA LIGNE. -

D’après (7) :

1 on

_peut

l’écrire et _poser 1 d’où Z

On voit que Zc est réel si

et alors

et alors

et alors

D’autre

_part,

_Z

₁

~ ~

1 Zc

1

_pour 1 infini et _pour

Il =

1, c’est-à-dire

,

Enfin,

il est facile de _{voir que}

La courbe

_{représentant Z}

1 en fonction de 1 est

donc

_comprise

entre les deux

_enveloppes

_El

et

_E4

et elle a l’allure suivante

(fig.

3).

divise la courbe en

_segments

_égaux

à -

et elle est 4

la seule

_{à jouir}

de cette

_propriété.

Il est visible _que

les minima

(ou

maxima)

1

ne coïncident pas

avec les

_points

de contact des courbes

_Ei

ou

_E2.

Fi g. 3. ,

Il _{n’est donc pas} évident

_qu’ils

ont _{lieu pour des}

longueurs

multiples

due -

comme certains auteurs

4

l’ont admis. Nous verrons _que ce fait est

_cependant

très sensiblement exact

_lorsque

la

_perditance

est nulle

_(ligne

dans

_l’air).

6. APPLICATION A LA MESURE

_{DE J.,}

n _{ET Z} DANS LE CAS LE PLUS GÉNÉRAL. -

_Supposons

_quelconques

les

_{caractéristiques}

du

_{diélectrique}

_séparant

les

deux

conducteurs de la

_ligne.

_{On pourra} mesurer en

fonction de l des

_quantités

_{proportionnelles}

à

Fig. À.

l’amplitude-

du courant dans l’entrée de la

_ligne,

en insérant par

exemple

un détecteur convenable en série dans cette entrée. Si les indications _r~ de ce

détecteur sont

_{proportionnelles}

on aura

p étant une constante. L’allure de la courbe

repré-sentant les indications y du détecteur est donc la suivante

_{( fig. 4).}

Pour avoir

1,,

on _pourra

_déterminer,

sur cette

courbe relevée

_{expérimentalement,}

l’horizontale H

qui

la

_partage

en

_segments

_égaux;

la

_longueur

de

ceux-ci est

égale à 03BB

Cette détermination pourra

se faire très facilement en faisant

_glisser

le

_long

de

_Oy

₍₀

_{représentant}

_l’origine

de la

_ligne),

le

côté AB d’un

_abaque

constitué comme

_l’indique

la

figure

5; on cherchera le niveau pour

lequel

il y a

coïncidence sur une même horizontale entre les

points

de la courbe et ceux du faisceau de droites de

l’abaque.

Ce niveau sera H et l’on aura, en même

temps,

la valeur de ~.

Une fois ainsi déterminé

i.,

comment

_pourra-t-on

mesurer n

_{et z?}

Il suffira de tracer les médiatrices

des

_segments

_A1A2,

_A2A.,

etc,

_repérés

sur H _pour

obtenir sur la courbe les

_points

_Ml,

_M,

... et

N,,

N2, ....

Soit Y l’ordonnée d’un

_point

M de

rang K

1 - K

~ On

peut

répéter

toutes ces

opérations

en

_supposant

la

ligne

dans l’air. Nous montrerons

_plus

loin comment on

_peut

déterminer

cette fois

_~,,

_{Y 0}

_{(correspondant}

au

_point

de _rang

_K).

Fig. 5.

Dès lors

4

d’après

les

_{figures représentant}

y. Ces formules âonnent : -.

10 Si les

_pertes

sont

_{petites (tg d ~ 0,1),}

2° Si les

_pertes

sont notables

_0,1),

d’où _{l’on pourra tirer} rt

_{et x}

si l’on sait mesurer y

(voir plus loin).

Nous n’avons décrit ce mode

_{opératoire qu’à}

titre

indicatif,

car, pour les raisons

indiquées

dans

l’intro-duction,

nous n’avons pas utilisé de

ligne

complè-tement

_remplie

_par le

_{diélectrique.}

7, LIGNE COAXIALE DANS

L’AIR;

MESURE DE 03BB.

-D l o 1 d

Dans ce

cas, a

= o

et Pl

T

2013

et le

rapport

de

et

si,

par

exemple,

~K ~

4,

on a

avec les

lignes

usuelles. L’allure de la courbe

repré-sentant y est alors celle de la

figure

6.

.

Fig. 6.

La _{détermination de ~. par la recherche} de l’horizon-tale H est alors

impraticable.

Mais il est évident que, par suite de l’acuité des

pointes

de résonance de courant

_(il

sera démontré

_plus

loin que leur

largeur

à mi-hauteur du maximum est de l’ordre

de 1000)

il est alors

_légitime

de confondre les

_points

1000/

d’abscisse

K 03BB

avec les maxima de y. La distance

entre deux maxima donnera

donc

·

Remarquons

en

_passant

_que la hauteur des maxima est inversement

_{proportionnelle}

à donc inversement

_{proportionnelle}

à

Kf

et, par

suite,

à leur _rang K.

Nous décrirons ultérieurement la réalisation d’un ondemétre basé sur ces résultats

_classiques,

8. LIGNE COAXIALE DANS

L’AIR;

MESURE DU COEFFICIENT DE SURTENSION. - Cherchons

main-tenant la

_largeur

de la

_{courbe y =}

_{1 (1)}

à la hau-teur

-1

de son maximum. Nous savons _que

2

et _que le maximum

_{de y}

a lieu

_lorsque

_{1 Z}

₁

est

minimum,

donc

_lorsque

L =

K ~~

ou 1 = _o. La

valeur du maximum

de y2

est donc

p

avec

_°1

= _sera réduit

â I

P2

_pour

20 ’2

une valeur t’ de 1 telle que

A i’

_correspond

une certaine valeur I’ de l.

Admettons

_{provisoirement}

que soit très

petit

et _que

_{~~~ ~1I~}

L ; il

reste

Posons F = ~ --

d,

il vient :

et, avec la même

approximation

_que

plus

haut :

La

_largeur

de la courbe est donc au niveau

T .

2

du maximum du courant

Par

suite,

la

_{surtension Q}

a _pour valeur

Nous verrons _{que, pour les}

_lignes

coaxiales _que

nous avons

_construites,

_Q

est

_supérieur

à ooo;

par

suite,

coinme K n’est pas

supérieur

à

₄

dans

nos mesures, n’est _pas

_supérieur

à _27ro,

c’est-à-dire à 2x x 10-3. Ceci

_légitime

la

_première

hypothèse

faite

plus

haut,

la seconde étant

_justifiée

par le fait que

On démontrerait de la même

_façon

_qu’en

mesu-rant 9, d à la

_{hauteur n 1}

du maximum _{de ~,} on trouve :

Dans la

_pratique,

nous utilisons comme détecteur

un

thermocouple,

de sorte _{que les}

indications

de

l’appareil

de mesure sont

_{proportionnelles}

et non à

_{1 i 1.}

Dans ce cas, la f ormule à

employer

est :

_:.

~ d étant Ia

_largeur

de la courbe

_{y = f (t~}

à la

_{hauteur m}

du maximum.

.

Chapitre

II.

Abordons maintenant l’étude de la méthode _que

nous avons élaborée pour mesurer les constantes n

et Z

d’un

_{diélectrique qu’il}

est

_impossible

de traiter

que ce

diélectrique

est

solide,

soit parce

qu’il

n’est

disponible qu’en

faible

_quantité.

Une

_ligne

coaxiale

_couplée

lâchement à un

oscil-lateur _par son extrémité A

_(cf.

_{f g.}

r ~,

est

baignée

cette _{fois par}

l’air,

mais elle se termine par une

portion remplie

par le

diélectrique

et court-circuitée

en B. Cette

_portion

de

ligne

avec

_{diélectrique}

cons-titue une

_impédance

ZI sur

_laquelle

se trouve fermée la

_ligne

aérienne. On

_{s’arrangera}

dans la

_pratique

pour que les deux

tronçons

de

_ligne

coulissants aient des

_{impédances caractéristiques}

aussi voisines

que

possible.

Soit Z~. la valeur de cette

impédance

caractéristique

commune.

Nous _poserons

Dans le cas

_qui

nous

occupe,

A et B sont fonctions

de n et de _Z.

Nous allons d’abord montrer comment on

_peut

mesurer A et B et nous verrons

_plus

tard comment

on _{pourra passer} de là à la connaissance de n _{et Z.}

1. POSITION DU PROBLÈME. - Le

_{problème qui}

nous _{occupe actuellement} est donc la mesure d’une

impédance

quelconque

placée

à l’extrémité d’une

ligne

de

_longueur

variable 1 dont l’entrée est

_couplée

à un oscillateur.

Il a

_déjà

été traité maintes

_fois,

mais

_toujours

avec des

_hypothèses

_restreignant

la

_{généralité}

des

f ormules

obtenues,

soit que l’auteur suppose nulles les

_pertes

le

_long

de la

_ligne,

soit

_qu’il

se borne à

étudier le cas où A = o, etc. D’autre

part,

la

validité des

_{approximations}

faites lors de la recherche

du maximum de courant a

_toujours

été

_négligée.

D’après

la théorie

_classique

des

_lignes,

l’impé-dance d’entrée de notre

_ligne

fermée sur Z’ est

avec les notations définies au

_Chapitre

I. Za est

égal à

-Écrivons

Z sous la forme Z =

Zc

(.R

₊

jX)

et

remplaçons

Z’ par et _{thPl par} sa

valeur en fonction de 0 = th

~3I

et 1 =

tg

al;

il vient :

2. LIGNE IDÉALE A SURTENSION INFINIE. - Il est facile de montrer

_{d’après (9)}

_que, dans ce cas

_idéal,

on a

éliminions 1

entre ces

_équations;

il vient

qui

montre _que,

_{lorsque 1}

varie,

l’affixe de R

+ jX

décrit un cercle

_appartenant

au faisceau

admet-tant + 1 et -

i comme

_points

de Poncelet. On

constate

que -

1

est minimum

_{quand X -}

o et

Z,

vaut alors OM

(fig. 7).

"

Fig, j.

Par

suite,

_lorsque

le courant d’entrée est

maximum,

la valeur I de celui-ci et la

_longueur

L de la

_ligne

à ce _moment, sont liées à A et B _{par les relations} tirées de

₍₁₀₎

et

_{(11) :}

puisque

en M

p étant une constante.

De ces deux

_relations,

on

_pourrait

tirer A et B en fonction de L et I à la condition d’éliminer la

constante p

grâce

à un

étalonnage préalable

avec une

_impédance

connue.

On voit

_{qu’en remplaçant A + jB}

par un

court-circuit,

ces relations conduisent

à

L =

K 03BB

et l = _oo.

Ce dernier résultat est évidemment dû au fait

_qu’on

a

_supposé

nulles les

_pertes

dans la

_ligne.

3. CAS D’UNE LIGNE RÉELLE. - En

partant

de

₍₉₎

on trouve cette

_fois,

_après

identification,

#

Éliminons

1 :

Pour

_chaque

valeur

de l,

l’affixe de R -~-

jX

est

donc encore sur un cercle

_appartenant

au faisceau

admettant + i et -

i comme

_points

de Poncelet. Mais ce cercle

_change

avec 1.

Comme _pour la

_ligne

idéale,

nous allons chercher dans

_quelles

conditions R -E-

jX

est réel.

Soient _{«1 et a2} les

_arguments

_respectifs

du

-on trouve

X est donc nul si 0 = 1

_(l

_infini)

ou encore si

C’est la même _{condition que pour} la

_ligne

idéale.

Soient fi et f2

les racines de cette

_équation;

I

on

_{a f2}

= - ’ Les valeurs de L

pour

lesquelles

Z

tl

est réel sont donc :

valeurs

_espacées

entre elles

de y.

1

D’autre

_part,

_quand

X = _o,

y

1

satisfait

Zc

l’équation

Posons alors :

Des

_{équations (14)}

et

_(15),

on tire

_{respectivement :}

4. CONSTRUCTION GRAPHIQUE DE L’IMPÉDANCE

A +

jB.

- Si

nous savons déduire de

_{l’expérience}

les valeurs de

_{Fl et}

de

_F2,

nous pourrons

construire,

dans le

_plan

OA,

OB,

les cercles

Cl

et

_C2

dont nous venons de trouver les

_équations.

En effet :

io Le cercle

_Cl

passe par + i et son centre a

F1

pour coordonnées 0 et

90 Le cercle

_C2

est

_orthogonal

au cercle

trigono-métrique (centre

0 _{et rayon}

_I)

et son centre a _pour

coordonnées

F2

et 0.

2

CI

et

_C2

sont

_orthogonaux.

Chacun de leurs

_points

d’intersection est donc

_{graphiquement}

_défini

avec

précision. L’impédance

A -f-

jB

est

_{représentée}

_par

I’urt d’eux.

L’ambiguïté

sera facile à lever dans la

_pratique,

car on

_possède

en

général

des

_{renseignements}

sur les

signes

de A ou de B. Pour avoir Z’ il

_suffira

de

multiplter

A et B par Z,

qui

est calculable.

Fig. 8.

Remarquons

en

_passant

_{que l’existence du cercle}

_C2

entraîne que

F2

~.

2.

5. RELATIONS ENTRE L’EXPÉRIENCE ET LES

VA-LEURS DE

_Fi

ET

_F2.

-

Supposons provisoirement

que

nous sachions déceler

expérimentalement

la

va-leur L de la

longueur

de la

_ligne

pour

laquelle

f

_ze est réel. Soit I le courant à l’entrée à ce moment.

Soient

_L.

et

₁₀

les

_grandeurs

_{correspondantes quand}

l’impédance

à mesurer est

_remplacée

_par un

court-circuit.

De la mesure de L on déduira "

D’autre

_{part, F2 peut}

se calculer connaissant

_L,

I,

Lo, I o

et la surtension de la

_ligne.

En

effet,

nous avons vu, dans le

_{chapitre précédent}

au

_sujet

de

la

_ligne

aérienne en

court-circuit,

_{que pour}

_{Lo =}

K - 2

on a

Par suite on

_peut

écrire

posons alors

ce

_qui

est

_{toujours possible,}

car nous verrons, par la

suite,

qu’au

moment de la mesure

Avec ces

notations,

on a

déduire

_Fi

et

_F2

et _{par suite} A _~-

_jB

des données

expérimentales

relevées au moment

où z

est réel.

Z,

Il nous reste à établir comment on

_peut

arriver

Z

à déceler

_{expérimentalement}

le moment est Zc

réel.

6. RECHERCHE EXPÉRIMENTALE DES CONDITIONS Z

OÙ z

EST RÉEL. - Nous

avons démontré que,

Zc

pour une

_ligne

à surtension

infinie,

Z

était réel

Zc

en même

_temps

_que

Z

1

était

_{stationnaire,}

c’est-Zc

à-dire au moment où le courant d’entrée était maximum ou minimum

_(en

_fait,

on mesure seulement

les maxima du

_courant).

Or,

pour nos

_{lignes, o}

est très

_petit.

_{Nous pouvons} donc nous demander dans

_quelle

mesure il est

Z encore

_possible

de trouver les

_points

OÙ î-,

est

Zc

réel,

en recherchant les maxima du courant à l’entrée

de la

_ligne.

Nous allons donc étudier

dans

_quelles

conditions nous avons encore le droit _que,

pour une

_Iigne

à surtension

_finie,

z

est station Zc

.

naire

_qûand

ze

est réel. |Zc|

Soient p

et a le module et

_l’argument

de R -E-

jX.

On tire des

_équations

₍₁₂₎

et

₍₁₃₎

et en se servant

de

₍₁₇₎

_pour mettre en évidence

_F,

et

_{F2 :}

°

en

_négligeant

les termes en b2 devant

_l’unité,

ce

qui

est

_légitime

_{puisque 0 = p l}

sera de l’ordre de 6. 10-1 au

_plus

dans nos mesures. Comme d’autre

_part,

1

F2 j

1

est

_supérieur

ou

_{égal à}

2, la

première

relation

peut

s’écrire p sera stationnaire si

do

= o, c’est-à-dire si da ou encore si

Or,

_d’après

(21),

donc,

d’après (23)

et

_{(21), lorsque}

_p est stationnaire

(soit

alors L’ la valeur de

1),

d’où

Par

suite,

d’après (23),

as

_désignant

_l’argument

de z

_lorsque

stationnaire.

Dès

_lors,

la valeur L’ _{de 1 pour}

_laquelle

1

est

stationnaire,

s’obtient en

_égalant

les deux valeurs de

_{tg as}

_{fournies par}

₍₂₁₎

et

_{(24) :}

Cette

_égalité

fournit,

en

_posant

et,

en se

_rappelant

_que

Telle est

_{l’équation}

_qui

relie la valeur L’

corres-pondant

à ) g)

1

stationnaire à la valeur _{L pour}

laquelle

2013

est réel.

Zc

Nous voici donc en mesure d’étudier les condi-tions nécessaires et suffisantes dans

_lesquelles

on a

le droit d’admettre

que -y-

est réel au moment où Zc

le courant est maximum.

Première condition. - L’-L doit être inférieur

ou

_égal

à la

_plus

_petite

variation dl de

_longueur

mesurable

_{expérimentalement.}

Deuxième condition. -- La valeur du minimum

de p

doit être la même _{que celle obtenue pour a =} o.

Ceci sera très sensiblement vérifié

si ~

tg

o,o i

car,

l’équation

(22)

se réduit alors à

tandis que pour a == _{o, on} a

qui

est _{la même que la}

_précédente

si L et L’ sont

suffisamment voisins.

Examinons successivement ces deux

_{points :}

1° Nous allons d’abord montrer _que,

_quelle

_que

puisse

être la valeur

_prise

_{par L’ au} moment du

maximum de _courant, la valeur absolue de

_{tg as}

est bornée

_{supérieurement}

_par un nombre aussi

petit qu’on

le

veut,

pourvu que A +

jB

soit dans

une certaine

_région

du

_plan

_complexe.

En

effet,

d’après (24),

en

posant

d’autre

_part,

On en

déduit,

en se servant de

_(25),

la relation

importante

Par

_conséquent,

_{tg2 as}

s’annule seulement si T’ =

T,

donc,

d’après

(25),

si T’ = T = o. Pour T’

_infini,

T

_prend

la valeur finie T

_{== - ;00}

_(~),

donc

_tg2

as

possède

une

_asymptote

d’ordonnée 82. D’autre

_part,

on _{trouve que}

Cette dérivée s’annule si

ainsi que pour 7~ = _{oo, car} alors

d7’

== 0

(’).

Fig. 9.

Si nous choisissons 10-2,

_{l’équation (27)}

ne

_peut

être vérifiée que pour des valeurs de T et T’

très

voisines,

et _par

suite,

pour

T’ ~

o la

relation

_(25)].

Or,

si T’

_~

o,

tg2

as vaut très sensi-blement S2

T’2,

donc est

_{beaucoup plus petit}

_que

_{52 ;}

par

suite,

la courbe

représentant

tg2

as en fonction

de T’ est certainement à ce moment-là en dessous

de son

_asymptote.

L’allure de cette courbe est donc nécessairement celle donnée par la

figure

g.

Nous _{voyons donc que, si}

S ~ r~ ~ ~

Io-2, nous pou-vons _{affirmer que} l’on a

et _{que, par}

suite,

la deuxième condition

_{posée plus}

haut est satisfaite.

(1) Gomme il est _légitime de s’attendre à ce _que L’ --- L

et _as soient très _petits, on _peut décider _quelle valeur de T’ tirée de _(25), il faut faire correspondre à une valeur de T donnée ou _{réciproquement.} Ainsi, déduisons-nous de (25)

que, pour T‘ = _o, T est également nul et que pour T’ infini,

T prend la valeur - P-

désignant la grandeur finie de P pour une valeur de L’ _qui rend Z" infini.

(3) D’après (25), la dérivée

f

s’écrit :

avec

Lorsque T" devient infini,

,2013

reste fini, T tend vers

2013 -2013 ~

et enfin 1 ₊ 2 PT tend vers -

2° D’autre

_part,

on a,

d’après (26),

Cette

_{inégalité peut}

s’écrire,

en

_remplaçant

P _par sa valeur et en

_remarquant

_que, dans les mesures,

o n a L’ _ z î. et _{que 9 est} de l’ordre de

y Si l’on

choisit n

suffisamment

petit,

on pourra

en déduire

h,lg. I 0.

On voit donc que la

première

condition

_{posée plus}

haut sera à son tour satisfaite si l’on choisit

sufi-103

samment

_petit

_{pour que}

2 ( 103)

1

soit inférieur à la

_plus

_petite

variation de

_longueur

décelable

_{expérimentalement.}

Finalement,

nous _pouvons

conclure,

_d’après

cette

discussion,

que nous aurons le droit

_{d’appliquer}

les

formules

_{(18), (19)}

et

₍₁₇₎

aux résonances de courant, à la condition de choisir Y3 étant un

nombre assez

_petit

_{pour que}

n2(2 + I03)

ait

7u _F2

une valeur

compatible

avec la

_précision

des mesures

de

_longueur.

L’inégalité

s’écrït :

où

_Q

est la surtension de la

_ligne.

L’affixe de A +

jB

doit donc être en dehors de la zone hachurée sur

la

_figure

10 ou bien sur le cercle

_qui

en est une des

limites. La

_grandeur

du cercle limite

_dépend

des cas

d’espèce.

A titre

_d’exemple,

_prenons le cas où

_F2

est

infini;

on

_peut

alors choisir r~ = 10-2

puisque

la

précision

des mesures de

_longueur

ne

_dépasse

pas 2 X 10-4 03BB. Le centre du cercle a alors pour

20

ordonnée

2 Q,

soit environ 20.

100

7. RÉSUMÉ DU PROCESSUS DE LA MESURE D’UNE

IMPÉDANCE QUELCONQUE. - En

définitive,

les différentes

_phases

d’une mesure sont les suivantes :

I°

_{L’impédance}

inconnue étant

court-circuitée,

on cherche le Klèmc maximum de _courant; on note

_I.

grandeur

du courant dans l’entrée et l’on

_repère

la

longueur

de la

_ligne.

2° On branche

_{l’impédance}

inconnue à

l’extré-mité de la

_ligne.

Pour retrouver la résonance,

il faut modifier la

_longueur

de la

_ligne

d’une quan-tité M et l’on aura

_{L = Lo - M}

avec

Lo = K ~

·

On note, de

_plus,

l’intensité I du courant à la

résonance.

30 On calcule

_FI

et

_F2

_{par les} formules

₍₁₈₎

et

_(19).

4°

On construit

_{graphiquement}

A +

jB

(ci. §

4).

5°

_{L’impédance}

inconnue est alors Zc X

_(A

+

jB),

Zc étant

_{l’impédance caractéristique}

calculable de

la

_ligne.

Le résultat obtenu sera valable si

A ~

jB

appartient

au domaine délimité au

paragraphe

précédent (s’il

n’en _{était pas}

ainsi,

on

pourrait,

théoriquement,

recommencer la mesure avec une

ligne

de _Z, convenablement

_choisi).

Il ne nous reste

_plus

_{qu’à appliquer}

ces résultats

à la recherche des constantes n

_{et x}

d’un

diélec-trique quelconque,

en constituant

_{l’impédance}

A-f-jB

par des éléments

dépendant

de n et de _~.