Réflexions sur la ≪ Méthode de mesure de distributions de charges électriques de surface ≫ [1]

(1)

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Submitted on 1 Jan 1994

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Réflexions sur la ≪ Méthode de mesure de distributions de charges électriques de surface � [1]

G. Fournet

To cite this version:

G. Fournet. Réflexions sur la≪Méthode de mesure de distributions de charges électriques de surface

� [1]. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1994, 4 (2), pp.423-434. �10.1051/jp3:1994138�. �jpa- 00249113�

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J. Phys, ill France 4 (1994) 423-434 _FEBRUARY 1994, PAGE 423

Classification Physics Abstracts 07.50

Commentaire

Rkflexions _sur la _« Mdthode de _mesure de distributions de

charges dlectriques de surface _» ill

G. Foumet

Laboratoire de Gdnie Electrique de Paris (CNRS D 0127), Ecole Supdrieure d'Electricitd, Universitd de Paris VI _et XI, Plateau du Moulon, 91192 Gif-sur-Yvette Cedex, France

(Re~u le 16 septembre 1993, acceptd le 2 ddcembre 1993)

Rdsumk. Pour d£terminer _ce qui peut ^dtre effectivement mesur£ _au moyen de la mdthode dtudide

[I], _nous _avons cherchd h d6finir _avec pr£cision les diff6rentes grandeurs mises _en jeu. En _ne

consid£rant, dans _une premidre partie, que les deux dimensions _x _et y prises _en compte ^dans [I],

nous ddtaillons les raisonnements pour ^mettre en Evidence, certaines difficultds. Nous _montrons ainsi _que la mdthode prdconis6e _ne peut ^foumir qu'une image ddfonnde de la densitd superficielle de charge _« (y portde _par le didlectrique, la d6fonnation relative dtant d'autant moins marqude que la longueur typique Y de _« (y) est plus grande _par rapport h la distance Ax _a _entre la sonde de

mesure et la surface du didlectrique. Dans _une seconde partie _nous £tendons _nos r£sultats _en

considdrant _un problkme h 3 dimensions oh la densitd superficielle est du type «~y, z).

Abstract. In order to determine what effectively _may be measured by means of the studied method [I], _we have tried _to define precisely the various quantities involved. In the first part, considering only the _two dimensions _x and _y talcen into _account in Ii, we display arguments ⁱⁿ order to point out some difficulties. So _we show that the advised method is able _to deliver _a deformed image only of the surface charge density «~y) carried by the dielectric, the relative deformation being the less pronounced the larger the characteristic length Y of _« (y is with respect

to the distance Ax _a between the probe and the surface of the dielectric. In the second part we

generalize our results by considering _a 3-dimensional problem where the surface charge density is of the type « ~y, =),

I. Introduction.

Dans l'article [I] dtudid, _un calcul simplifid des grandeurs dlectriques utiles est effectud _en supposant « qu'en premiere approximation [es lignes de champ dlectrique restent perpendicu- laires h la surface du didlectrique malgrd une variation de la densitd superficielle de charges _» (cf. la Fig, ^I de Ii). Pour ddterminer le domaine de validitd des rdsultats ainsi obtenus _nous

allons ddvelopper (en conservant (es notations des auteurs) des calculs libres de _toute

(3)

hypothdse. Nous considdrons d'abord, _comme dans [I], le _cas oh seules les deux variables

d'espace interviennent _nous abordons ensuite le _cas gdndral,

2. Prise _en compte de deux dimensions.

Dans cette partie on admet que les phdnomdnes _ne ddpendent _pas de _z, l'axe Oz dtant

perpendiculaire au plan Oxy relatif h la figure 4 de [1],

2,I DffiNiTioNs. Le probldme d'dlectrostatique considdrd dans [I] _peut dtre iddalisd (ii de la fagon suivante _:

. x ~ a milieu I (sonde) _avec Vi (x, y)

=

0 _;

. 0

~ x ~ a milieu 2 (air) _avec _e

= eo ^et p (x, _y

=

0

. d

~ x ~ 0 milieu 3 (didlectrique) _avec _e _~ _eo et p (.~, _y 0 _;

. x ~ d milieu 4 (support) _avec V4(x, _y)

=

0

La densitd superficielle «(x= 0, y)

= «~y) est imposde et on cherche l'expression de

"(a, _y) _" WS(Y).

2.2 PRfSENTATION. Dans le cas limite off la composante E~

~

du champ E~ est nulle, les Equations div D

=

0 _et _rot E

=

0 _montrent que E~~(x, y) est constant. On _en d6duit que

V(.~ ₌ 0, y) est dgalement constant et que, par consdquent, la seule composante ^alors non

nulle de E~, c'est-h-dire E~~(x, y), est encore une constante puisque V(-d, v)

= 0. Si

E~ est perpendiculaire h la surface (x

=

0) du didlectrique, la densitd de charge «ly)

=

(so E~

~

eE~~) ne peut ^donc dtre qu'une constante.

Dans l'hypothdse oh, _en premidre approximation (cf. [I]), _E~ est perpendiculaire h _cette surface, la densitd «~y) est constante avec la mdme approximation l'utilisation de cette

hypothdse restreint donc le domaine d'applications des conclusions que l'on peut ^ainsi ^obtenir.

Par ailleurs,si _une grande largeur d'dlectrode permet ^de supposer que loin d'une unique singularitd de

« (y) on observe E~

=

iE~

~,

il faut remarquer _que c °est prdcisdment _au voisinage

de _cette singularitd _que la ddtermination de E~ et E~ est importante.

Pour augmenter ^la ^fiabilitd ^des prdvisions nous avons cherchd h rdsoudre compldtement le

probldme sans den imposer _a priori.

2.3 ExPREssioN _DES _POTENTIELS V~ (x, y) _ET V~ (x, y). II est possible d'essayer la mdthode de sdparation des variables [2] puisque la relation AV + ~

=

0 _montre que les laplaciens

e

AV~ et AV~ sont nuls. Cette r~dthode ^impose ^des ^variations ^des ^types exp(a,<') _et

expoax" ) d'ob _a ^~

=

~~~

=

~'~

pour les deux variables x' et,r" (ici _,r et y, ou y et.<).

dx'~ dx"~

Le choix

v~(x, yi ₌ j~~ ^iA(a ⁾ ^ch ^(axi ⁺ ^B(a ⁾ ^sh ^(ax)] ^expoay) ^da ¹¹⁾

(1) Les conditions Via, y)

= 0 et Vi- d, _y

=

0 _ne _sont rdalisdes que sur l'intervalle Ay relatif h la dimension correspondante du didlectrique h analyser. L'iddalisation consiste h supposer que ces

conditions sont ~atisfaites quelle _que soit la valeur de j'ce qui ^n'entraine (sauf prks des bords) _que de faibles _erreurs si Ay esi irks grand (ce qui esi le cas) devani

a et d.

(4)

N° 2 REFLEXIONS SUR LA METHODE DE MESURE DE DISTRIBUTIONS 425

permettra d'utiliser, _pour reprdsenter _« (y), une intdgrale de Fourier du type

« (y

=

£ j~ ^~ ^C ^(a ^exp ^g ^a^y) ^da ⁽²⁾

avec

era

t j~ ^~ ^«(y> ^exp(-jay) ^dy. ⁽³⁾

Pour tenir compte ^de V~(a, y)

= 0, nous particularisons l'expression gdndrale (I) _sous la forme

v~i.<, ,v)

= j~ ^~ ^y~(a ^~~ ))_))j~~~~ expvay) da _; (41 l'introduction de sh (aa) _permettra de simplifier les calculs suivants.

De fagon analogue nous posons

v~(>, y) _t j~ ^°' ^y~(a ^~~ )) _)))j~~~ expoay) da (5)

qui ^satisfait ^bien AVI

=

0 et V~(- d, _y

=

0

Pour satisfaire l'dgalitd V~(x

= + 0, y)

= V~(x ₌ 0, y) ^il ^suffit ^de poser

Y3(a)

=

Y2(a) ⁽⁶⁾

La continuitd des composantes tangentielles E~~(x = + 0, _y

= E3y(x = 0, _y est ainsi satisfaite et il _reste h imposer

« (o, y1 _~ _« ~y)

~ (~oE~ ~E~i~ _o. ^I = eo E~~(x

~ + o, y) eE~ ~(x _~ o, _y ). (7) Les expressions :

E~~(x, y) j)j~ ^y~(a1~ ~~~)(j)j ^~~~ ^expoay) ^da ⁽⁸⁾

E~>(x, y)

= j~ ^°' ^y~(a ^~ _~~~)()~~) ^~~~ ^expvay) ^da ⁽⁹⁾

fournissent ainsi

«~yi

= j~ ^~ â ^y~(a ^)jeo ^coth ^(aa) ⁺ ê ^coth ^(ad)i êxpgay) ^da ⁽¹⁰⁾

Par comparaison avec l'expression (2), _nous obtenons

~ ~~j C(a

~ ~~

2 _ara jeo coth (aa) ₊ _e coth (ad)1

En essayant ^la ^m6thode ^de s6paration des variables _nous _avons satisfait toutes les conditions

aux limites _nous _avons donc obtenu la solution du probldme.

(5)

2.4 ExPREssioN _DE «~(y). L'expression gdndrale

"s(Y)

= EoE2x(X ₌ a 0, _Y (12)

fournit, h partir de (8) _et (11),

«s~yi ₌ £ _j~ ^~

~J (a i e(a i expoay) da (13)

avec

eo sh (ad)

'~ ~~

"

eo ch (aai sh (ad) + e ch (ad) sh (aa) ^~~~~

La fonction

1~ (a ) ^ddcroit depuis

11 (0)

= j° ^~ =

~

= 1~ (cf. II j) (15)

Eo ^+Ea +aEs

pour tendre vers la forme asymptotique

2 eo

1~ (a _- exp(- _aa ). (16)

a ~ m E~ ⁺ E

La comparaison entre les expressions (13) et (2) montre que la relation locale proposde [I]

«s(y)

= ~J«(y) (17)

correspond aux cas oh

1~ (a serait identique h

1~ (0)

= 1~. En revanche, l'inversion de (13), soit

~J (a e(a )

t j~ ^~ ^«s(yi ^exp(-jayi ^dy, ⁽¹⁸⁾

d'ob jcf. (9)1

j~~ ^«s(y)dy t ~J(oic(o) ₌ _~J j~~ ^«~y)dy, ⁽¹⁹⁾

montre que le rapport ^des intdgrales des charges est bien rdgi _par le paramdtre _1~ introduit par les _auteurs.

2.5 TENSION V OBTENUE APR~S INTfGRATION. Nous considdrons le _cas oh la section de la

sonde dans le plan x=a est un rectangle de cbtds 2b (dans la direction Oy) et

2 _c (direction 02). Quand la position _moyenne de la sonde est ddfinie par y, sa charge ^s'obtient par

qs(Y)

=

2 _c ~~~

«~(y') dy'

=

) _j~~

1~ (a e(a ^~ ~~~~~~~

expoay) da (20)

y-b _-m

A partir de (cf. ddfinitions dans Ii) :

V~ = GV~

= RgGi

~ ⁼

+ RgG ^~~~ (2 Ii

V

= _{R, Ct} iV~ ^dt _, ⁽²²⁾

(6)

N° 2 RtFLEXIONS _SUR LA MtTHODE DE MESURE DE DISTRIBUTIONS 427

on obtient, _en intdgrant dans l'intervalle (to, t) [qui correspond aux positions _moyennes de la sonde yo et y],

V~Y) ₌ ~~~ ^qs~Y) ⁽²³⁾

si V~yo) et q~lyo) sont nuls. Le rdsultat final _est ainsi

~ (Yl

" ~~~ )

i~ ^~ ^'l ^(a ¹¹^(a ^~ ^~~~ ^~~~~ ^exp ^{g ay)} ^da ⁽²⁴⁾

qui correspond, _avec

~~~ ~ _~ ~~~

~ ~'~ ~~' j~ ^~ ^~ ^~~ ^~ ^~~a~~^~~ ^~XP aY da

,

(25)

au rdsultat des auteurs quand _1~ (a

m 1~ (0)

= 1~.

2.6 IITUDE _DE «~(y). La comparaison de (13) et (2) montre que l'on peut espdrer _que la relation locale (17) soit h peu pr6s r6alisde quand les deux conditions suivantes sont rdalisdes _:

pour a ~ a i, [e(a )/tf(0)] reste tr6s petit _par rapport h l'unitd, dans la plage 0

~ a ~ a1, 1~ (a reste h peu prbs constant,

c'est-h-dire quand la longueur typique Y qui rdgit les variations de _« (y ) est assez grande devant

a et d.

Pour donner quelques prdcisions, nous allons considdrer quatre exemples typiques _en _nous

limitant _au dispositif simple (et ^voisin de la rdalitd cf. Fig. I de Ii oh _a

=

d _ce qui conduit h _:

1~ (a _pour _a

=

d)

= 1~_ (a ₌ ^~ _ml~ (26)

eo ⁺ e ch (aa) ch (aa)

Le premier exemple conceme le _cas trbs favorable d'une fonction «(y) trbs rdgulibre

«ly) ₌ _«o _exp (- ^~ 2 ⁽²⁷⁾

Y

qui correspond [« ly est une fonction paire h lf(a

=

2 «o j~ exp(- ^~ ^j cos (ay) dy

= «o / _Y

exp ~- ^~ ⁽²⁸⁾

o Y 4

Pour obtenir tf(a

~ a1) _~ [tf (0)/10] il faut _a

j Y _~ 2 ,fi

= 3,035 tandis que

~~ (a

= 0,9 _1~ conduit h (ai a)

=

0,467 _; il _en rdsulte que, si

Y 3,035

~ ~~ (29)

I ^~ _0,467 ' '

on peut espdrer _que, _pour l'expression de «(y) considdrde, la relation locale (17) soit h peu

prbs satisfaite.

Le deuxibme exemple, ^relatif ^h ^la ^variation abrupte ^ddfinie par

1«(y) ⁼ ^«o ^(y( ^~

Y

~~o~

«(y)

=

o (y(

~

Y'

(7)

peut dtre traitde complbtement. En effet,

Y _sin _(aY)

e~~ (31)

=

2 _«o _cos (aYl dY ₌ ² _"o

~ a

foumit

~~~~ ~ _o~~

e ch laa) ^~ ~°

~~~ ~~~ ~°~ ~~~~ ~~

~~ ^Yar

= -1~~ «o

~

Arc tg ^~ ^~ (32)

"

ch ~"

2 _a

Si la relation locale (17) dtait vdrifide l'Arc o qui intervient dans l'Arctg de (32)

correspondrait soit h ar/2, soit h zdro suivant que y ~ Y _ou _j,

~ Y. Pour diverses valeurs de

Y (Y ₌ na) nous avons considdrd [es variations de (21ar) Arc o _en fonction de (y/Y) _; les

rdsultats ainsi obtenus pour n ₌ 1, 3, 5 _et lo _sont portds _en trait plein _sur la figure I la courbe

en tiretd correspond h l'approximation _1~= (a _=1~~ (0) _=1~~. Les rdsultats _exacts (trait

plein) s'approchent dvidemment d'autant plus des rdsultats approchds lids h (17) (courbe _en tiretd) _que _n

=

(Yla) est plus grand.

Le troisibme exemple, _pour lequel

«ly) ₌ «o(I ⁺ ^cos ^~ ^"~ ,

(33)

Y

.2

-Y= _a

-y= 3a

-

O.8 -Y= sa

°~ -Y=10a

~"

fi O.6

~

o"

' O.4

O.2

O

O O.5 _1.5 ₂

y/y

Fig. I. En trait plein variation de «,(y)/~~ _«o _en fonction de v/Y quand «(y )/«~ est la fonction

paire ddfinie _par la courbe _en tiretd ((.) Y

= a, (+) Y 3 _a. (.) Y 5 _a, (A) Y 10 a).

jln solid line the variation of «~(y)/~~ _«~ as a function of y/Y when «(_y)/«o is the _even function defined by the curve in dashed line.]

(8)

N° 2 RfFLEXIONS _SUR _LA MfTHODE _DE _MESURE _DE DISTRIBUTIONS 429

peut ^dtre pris en compte en remarquant qu'il correspond formellement [cf. (2)] h e(a)

= ar«o(2 ^8(a ⁰⁾ ⁺ ⁸ (a ^~ ^" + (a +

~ "

,

(34)

Y Y

d'ou ici. (13)1

«~(y)

= -1~ «o ⁺ ^cos

~ _"~

l. ⁽³⁵⁾

~ 2 _ara Y

~ Y

Pour diffdrentes valeurs du rapport _p ^=Yla nous avons considdrd [es variations de

[- «~(y)/1~~ «o] en fonction j~/Y. ^Les ^courbes en trait plein de la figure 2 [relative ^h

p =

5 et p =

10] fournissent _ces rdsultats la courbe _en tiretd _conceme _ce qui serait obtenu _en utilisant l'approximation

«~(y)

= 1~ «o ii + cos

~ _"~

(36) Y

life h la loi locale (17).

Le quatribme exemple, ^ddfini _par

« (y)

= «o(2 ⁺ ^cos ^~ /~ + sin ~ /~

,

(37) correspond h

«~(y) ₌ _1~ o12

+ cos

~ "~

+ sin ~ "~ (38)

~ 2 _ara Y

~ 4 _ara Y

~

Y ^~ Y

2

-Y= sa

1.6 ^~~"~°~

-~

°~~ l.2

$

~

O" _O.8

,

O.4

O

O O.5 1.5 2

y/y

Fig. ^2. ^En ^trait plein ^variation de «~jy )/~~ _«~ _en fonction de y/Y quand «(y )/«o est la fonction pdriodique _sans hannonique ddfinie par ^la ^courbe en tiretd ((.) Y 5 _a, IA) Y IO a).

[In solid line the vanation of «,(y )/~ _«o as a function of y/Y when «(y)/«~ is the periodic function without harmonics defined by the _curve in dashed line.]

(9)

Sur la figure 3 _nous _avons portd en trait plein [- «~(y)/1~~ «o] en fonction de ly/Y) _pour Y

= 5 _a et Y

=

lo _a la courbe _en tiretd correspond toujours h l'approximation _1~~ (a)

=

'~= (o)

" l~=. /

En conclusion, «~(y) est une image ddformde de «ly), ^(es ^variations de «~(y) ^6tant plus

dtaldes que celles de

« (y). La ddformation relative est d'autant moins marqude _que la longueur typique Y de «(y) est plus grande _par rapport ^h la distance _a. Les symdtries de

«~~y) sont lifes h celles de _« ly) : (es 3 premiers exemples, de symdtrie paire, mettent bien _en dvidence cette propridtd. En revanche, dans le _cas de formes complexes (quatribme exemple) (es extrdma de _« (y n'ont pas toujours d'dquivalents dans «~ (y) _; le calcul montre que la partie

descendante [O,66~ (y/Y)~ O,84] de (37) n'a plus d'dquivalent dans (38) h partir de

Y _~ 7,55 _a [cf. (es courbes relatives h Y

= 5 _a et Y

= lo _a de la Fig. 3]. ^De fagon gdndrale, h

partir de «~(y) _on peut probablement repdrer (es variations importantes de _« ly) [le quatri~me exemple est significatifl mais la _mesure de

« ly), au sens strict du terme, parait plus d61icate.

2.7 IITUDE _DE q~(y). La variable principale du systdme proposd Ii est q~(y) qui est donna

par la _mesure de V (23). D'aprds sa ddfinition (20)

y~b

q~ly)

=

2 _c «~(y') dy', (39)

j,-b

(es variations de q~~y) sont en principe encore plus _« dtaldes _» que celles de «~~y), elles-mdmes images plus ou moins ddformdes de «~y).

Dans le _cas du troisibme exemple ddcrit prdcddemment _nous obtenons ainsi _:

(«~(y))

=

~~~~~

= 1~ o~l

+

~~~ ~

cos

~ _"~

~ ~~ (40)

ch ~ _"~ ~

~~

~

Y Y

4

~~

/~ /~

-~=1~~

3

? 2.5

H" '~ '~

) ²

~

l,5

1

~'~ iw iw

O

O O.5 1.5 2

y/y

Fig. 3. En trait plein variation de «~~y)/~~ _«~ _en fonction de y/Y quand «~y)/«~ est la fonction

pdfiodique avec harmonique ddfinie _par la courbe _en tiretd ((.) Y

= 5 _a, IA) Y ₌ IO a).

[In solid line the variation of «~(y)/~ _«~ as a function of y/Y when «(y)/«~ is the periodic function with harmonics defined by the _curve in dashed line.]

(10)

N° 2 R#FLEXIONS _SUR _LA MfTHODE _DE _MESURE _DE DISTRIBUTIONS 431

La seule nouveautd, _par comparaison _avec l'expression correspondante (35) de «~(y), est

l'introduction du facteur sin (2 orb/Y)]/[2 orb/Y] dont (es valeurs pour 2 b

= a [cf. la Fig. I

de [Ii) et, soit Y

=

5 _a, soit Y

=

lo _a _sont respectivement de O,935 et 0,984. Dans _ces conditions (es courbes [- («~~y))/1~= «o] relatives h (40) sont trds voisines des courbes

[-«~(y)/1~~ «o] 6tablies ~ partir de (35) _: _sur la figure 2, (es croix indiquent _pour

Y

= 5 _a (es valeurs extrdmales correspondant h l'utilisation de («~ly)).

Les rdsultats du quatribme exemple sont dgalement _peu modifids puisque, _par exemple, c'est alors pour ^Y ~ 8,18 _a, au lieu de Y

~ 7,55 _a, _que disparait la partie descendante signalde.

Sur _ces exemples _nous _voyons _que, _pour le choix 2b=a, (es diffdrences _entre

(«~(y)) et «~ly) sont faibles _tant que Yla _est suffisamment grand. Les faibles valeurs de Yla peuvent ^ndanmoins ^entrainer ^des mdcomptes, le facteur correctif [sin (ara/y) II [ara/Y]

dtant respectivement (gal h zdro, (0,636), (0,826), et 0,900 _pour Yla

= 1, 2, 3 _et 4.

2.8 UNE _AUTRE PossiBiLiTf. II existe, thdoriquement, une m6thode de _mesure de

«(y). En effet l'inversion de (24) foumit

2c1~(a)c(a)~~~~~~~~~ =

$ ~~°'V(y)exp(- ^jay)dy ⁽⁴¹⁾

et, comme 2c, 1~(a) et sin (ah) _sont _connus, _on _peut _en extraire tf(a) _pour obtenir

«(y) _par l'interm6diaire de (2). L'expdrience seule peut montrer si _cette mdthode, exigeant

des calculs numdriques, est effectivement praticable dans le _cas examine ok les ph6nombnes _ne

varient pas en fonction de

z.

3. Cas g4n4ral.

3. I DffiNiTioNs. Nous considdrons maintenant le _cas gdndral oh la variable _z peut jouer _un

role. Nous _conservons (es ddfinitions donndes _au ddbut de la premibre partie _en (es adaptant

pour le _cas de 3 dimensions. Le but est de ddterminer par l'intermddiaire de «~(a, _y, z)

=

«~ly, z) la densit6 superficielle imposde «(0, _y, _z

= «(y, z).

3.2 ExPREssioN _DES POTENTIELS V~(x, _y, _z ET V~(x, _y, _z). Les expressions gdndrales des

potentiels V~(x, _y, z) et V~(x, _y, z)

~ j+ ^m j~ ^m ^~ ^sh

iwm _(x

a )1

~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~

~ ~'~' ~ ~

m m

~~ ~'

sh prim _al ^~~ ^~~ ^~~~ ^~ ^~

~ j~ ^~ j+ ^~

sh [fi

(x + d)]

~~~'~'~~

_~ _~

~~~~'~~

~~j ~2~p2~j ^~

x exp ay exp @pz da dp (43)

vdrifient bien _que AV~=0 [puisque chaque terme V~,~p ^de l'intdgrale est tel que

AV~, _~p = 0], AV~ ₌ 0, V~(-r

= a, y, z)

= 0, [V~(x ₌ o, _y, _z ₌ V~(x

= 0, _y, _z )] et

V~(x

= d, _y, z)

=

0. Ces expressions, qui gdndralisent (4) et (5), permettront de reprdsenter

«(y, z) _par _une transformde de Fourier [cf. (48)].

Les composantes ^normales ^des champs E~ et E~,

~ 2

~ ² ~ a

fi ch l'~

~~

E2x(X, Y'~~ ~~ ~~ x

~~~~~ ~~

~~ ~' ~~~ ~~~~

x exp Q ay exp Qpz da dp (44)