Réflexion et transmission à la surface d'un milieu absorbant applicationàa l'étude critique de la méthode du réfractomètre d'abbe pour la détermination des indices de réfraction

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Réflexion et transmission à la surface d’un milieu absorbant applicationàa l’étude critique de la méthode

du réfractomètre d’abbe pour la détermination des indices de réfraction

J. Vincent-Geisse, J. Dayet

To cite this version:

J. Vincent-Geisse, J. Dayet. Réflexion et transmission à la surface d’un milieu absorbant applicationàa l’étude critique de la méthode du réfractomètre d’abbe pour la détermination des indices de réfraction.

Journal de Physique, 1965, 26 (2), pp.66-74. �10.1051/jphys:0196500260206600�. �jpa-00205927�

RÉFLEXION ET TRANSMISSION A LA SURFACE D’UN MILIEU ABSORBANT APPLICATION A L’ÉTUDE CRITIQUE ^{DE LA MÉTHODE DU} RÉFRACTOMÈTRE D’ABBE

POUR LA DÉTERMINATION DES INDICES DE RÉFRACTION.

Par J. VINCENT-GEISSE et J. DAYET, Laboratoire de Recherches Physiques, ^Sorbonne.

Résumé. 2014 Les équations ^données par la théorie électromagnétique permettent ^{de calculer} numériquement les intensités réfléchie et transmise, ^{dans le cas} d’un rayonnement ^{tombant sur la}

surface de séparation ^{entre un milieu} transparent ^{et un} milieu absorbant. Nous ^en déduisons les conditions expérimentales, ^dans lesquelles ^{nous devons nous} placer, pour effectuer des ^mesures exactes d’indices de réfraction par réflexion totale ^ou réfraction limite.

Abstract.

The equations given by electromagnetic theory allow the numerical calculation of reflected and transmitted intensities when radiation falls on the surface separating ^{an absor-} bing medium from a transparent ^{one. We are able to} deduce the experimental ^conditions necessary to achieve exact refractive index measurements by total internal reflexion or critical

angle refraction.

PHYSIQUE 26, 1965,

La m6thode du r6fractom6tre d’Abbe est utilis6e, depuis longtemps, ^dans l’infrarouge [1] : ^{on observe}

soit la reflexion totale, ^soit ]a refraction limite dans le passage d’un milieu, ^{a un autre milieu}

moins refringent ^{et il est facile de mesurer, dans}

ce domaine, 1’6nergie ^{r6fi6chie ou transmise en}

fonction de F angle d’incidence. Le premier milieu,

de haut indice, ^{est choisi} parfaitement transparent.

Si le deuxieme milieu n’absorbe pas, ^il existe

théoriquement, ^un angle d’incidence limite 61 pour

lequel il y ^a discontinuité, aussi bien dans l’inten- site de la lumiere r6fi6chie _{que dans} celle de la lumi6re transmise. Or, lorsque ^{le milieu n’est} plus parfaitement transparent, ^nous n’observons j amais

de discontinuité, ^{mais une variation tres} rapide ^de

l’intensit6 du rayonnement. ^C’est pourquoi, ^{dans la}

m6thode du r6fractom6tre d’Abbe, ^on pointe l’angle

pour lequel la variation d’indice se montre la plus rapide, c’est-à-dire le point d’inflexion de la courbe reliant 1’6nergie ^transmise (ou réflêchie) ^a I’angle

d’incidence [2], [3]. Mais, lorsque l’absorption aug-

mente, ^{on observe un} deplacement progressif ^du point d’inflexion par rapport ^a l’angle ^{limite th6o-} rique (fig. 3). ^Dans quelle ^mesure, la m6thode reste-t-elle valable ? D’autre part, ^{des mesures}

d’indice de l’eau entre I p. ^et 2,5 V par la m6thode du r6fractom6tre d’Abbe, par refraction limite, ^et

par la ^m6thode interf6rentielle [4] donnaient des résultats systématiquement différents, ^et cela,

d’autant plus que l’absorption ^etait plus grande.

Enfin, ^certains auteurs, ^{comme Jaffe} [5], ^6tudiant

la lumi6re transmise, ^{dans le cas} de corps absor-

bants, ^{ne cherchent} pas le point d’inflexion, ^mais

utilisent un proc6d6 ^un peu different.

Nous avons repris ^ce probleme que, jusqu’ici,

des difficult6s de calcul num6rique ^avaient emp6ch6

de r6soudre ^et qui ^{n’avait donne} lieu, jusqu’à pr6-

sent, qu’à ^{des calculs dans des cas} particuliers [6].

Nous donnons les formules qui ^ont permis ^de

calculer les intensites r6fl6chie et transmise par ^une lame absorbante, puis ^{les resultats} numeriques

obtenus. Les formules de la premiere partie ^sont

celles de Fresnel, mais 1’etude de l’intensit6 de l’onde transmise a travers une lame absorbante

6paisse constitue, ^{a notre} connaissance, ^{un travail} original (1).

I. Transmission et réflexion d’une onde plane ^à

la traversée d’une surface de s6paration ^{entre un}

milieu transparent ^{et un} milieu absorbant.

Nous utilisons les notations de Hadley ^{et Dennison} [7].

Soit X la longueur ^{d’onde de la} lumi6re incidente dans le vide ; gi, Y)i les vecteurs unitaires des normales aux ondes respectivement ^{incidente et}

réf1échie ( fig.1), 92 la ^{normale commune a} E2 ^et H2

FIG. 1.

(1) Au moment de mettre sous presse, ^nous prenons connaissance d’un article de Va’sieek [10], qui, par ^une méthode difTérente, ^{aboutit aux} memes résultats.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0196500260206600

67

dans le milieu 2, g ^{le vecteur unitaire le} long ^de

l’axe Ox.

Nous posons

Le plan x

⁰ repr6sente la surface de separation

entire les deux milieux ; ^on peut choisir 1’axe Oy

dans le plan ^{de la} figure, ^{les milieux 6tant} isotropes.

REMARQUE. -;- ^Les notations Ç2 et 02 ^{ne sont} qu’une ^{extension du cas ou l’on 6tudie un milieu 2} parfaitement transparent. 92 d6signe ^{un vecteur} unitaire, perpendiculaire ^{a tout instant a} E2 ^et H2

et de composantes complexes ^cos 02 ^{et sin} 62-

L’6criture en vecteurs complexes allege ^conside-

rablement les calculs et les expressions correspon- dantes et c’est pourquoi ^nous l’adopterons ^{ici. II}

ne faut pas toutefois perdre ^{de vue sa} signification physique ^sous peine ^{de commettre des erreurs.}

Tous calculs de produits ^{scalaires ou} vectoriels se

montrent possibles ^{sur ces vecteurs} complexes mais,

en fin de compte, ^la grandeur physique ^consid6r6e

est repr6sent6e par la seule partie ^{r6elle du vecteur} correspondant. Cette remarque ^{nous sera} utile par la suite dans le calcul des intensités.

Consid6rons une onde plane monochromatique

se propageant ^dans le milieu 1 suivant gl. (Nous repr6sentons ^la propagation dulvecteur champ 6lectrique) ^{r est le} rayon ^{vecteur du} point ^courant

En traversant la surface de separation, ^{elle donne}

une onde plane ^r6fl6chie

et une onde plane ^transmise

Ð’après la continuite des composantes tangen- tielles des vecteurs champs ^{a la} surface de s6pa-

ration x = 0 nous obtenons les relations entre les 6 vecteurs g, vll 92 Ell E12 ^et E218

I.1. CONSTITUTION ^DES ON’DES.

Nous ecrivons que les composantes tangentielles ^{de E sont} egales

pour ^x

0, quels que soient y ^{et t.} D’après ^la figure ¹

et de meme pour YJl r. Nous obtenons ainsi

a; = 1t - a1 et

C’est la loi de la refraction : elle d6finit un angle

de refraction 02 complexe. ^D’autre part ^{nous avons} les relations suivantes :

en s6parant la partie ^{r6elle et la} partie iinaginaire.

Nous consid6rons les variables auxiliaires X et Y.

En 6crivant Nous obtenons

Nous avons d’apres les relations (2), (3) ^et (5)

D’après ^cette expression, ^nous constatons que le coefficient d’extinction de l’onde refractee est

n2 V ⁺ x2 U. Les surfaces d’amplitude ^constante

sont des plans x

^Cte parall6les ^{a la surface de} separation. ^{Les surfaces de} phase ^{reelle constante}

sont les plans

Ces plans ^{ont une} normale faisant un angle 62

avec Ox tel que

82 ^est reel, c’ est «( ]’ angle ^de refraction ^» des phases.

L’onde est inhomogene puisque ^les plans d’ampli-

tude constante et ceux de phase ^{constante ne}

coincident en general pas.

1.2. COEFFICIENTS DE TRANSMISSION ET DE RÉ..

FLEXION.

Nous consid6rons les champs ^elec- triques E.1.1, E12, E2 ^{et les} champs magn6tiques HiD Hi2? H2. ^Nous utiliserons toujours par la suite le systeme ^MKSA rationa]isé et ne consi- d6rerons que des milieux de permeabilite 6gale ^à

celle du vide.

L’onde dans le milieu 1 est :

dans le milieu 2 :

Pour consid6rer les equations ^de continuite de

ces ondes, ^{dans le} plan x

^{0, nous devons} s6parer

les cas ou E est normal au plan d’incidence ou

dans le plan d’incidence.

Quand E ^{est normal au} plan d’incidence, ^{H se}

trouve dans le plan d’incidence et decrit une

ellipse.

On ne peut ^{donc definir les} coefficients de trans- mission et de réf1exion t et r que par rapport ^aux

Vecteurs champ 6lectrique.

De la meme fagon, lorsque ^{H est normal au} plan d’incidence, ^nous utilisons les relations semblables utilisant les vecteurs H au lieu des vecteurs E.

1.2.1. E perpendiculaire ^au plan d’incidence.

Pour x

0 les champs ^s’ecrivent

En 6galant ^les composantes tangentielles ^{de ces} champs ^{on obtient :}

Nous r6solvons ces equations ^{en calculant r} et t (7).

Ces formules se présentent ^{sous une forme tres} .simple ^et bien connue. Pour la commodite des calculs sur machine 6lectronique, ^{nous les trans-}

formerons toutefois en faisant intervenir les _quan- tit6s suivantes :

Les nouvelles variables a et b sont reli6es tres

simplement ^{aux variables U et V} introduites pr6-

c6demment. Nous avons en effet

avec ces nouvelles notations

1.2.2. E parallèle ^au plan d’incidence.

Dans ce cas, ^nous 6crirons les equations ^{de conti-}

nuit6 en fonction des vecteurs H puisque ^{c’est le}

vecteur champ magn6tique qui ^reste rectiligne.

Nous obtenons les relations :

Les calculs eff ectues comme pr6c6demment ^avec

t

H21/H11, ^{r =} H.121Hll (7 bis), ^{nous donnent}

et nous am6nent a considerer les deux variables c

et d, fonctions de a et b

nous avons

Avec ces variables auxiliaires _rll et tu s’expriment

en fonction de ^c et d de la meme facon que riL ti ^en

f onction de a et b :

1.3. FACTEURS DE TRANSMISSION ET DE R#-

FLEXION.

Le facteur de reflexion se calcule sans

difY’lcult6.

p - ."*

r* d6signant ^{le nombre} complexe conjugu6 ^{de r.}

Dans le cas du champ ^.E perpendiculaire ^au plan

d’incidence

ou encore

En ce qui ^concerne la transmission nous pouvons 6videmment la calculer comme le complement ^{a 1}

de la reflexion, ^{mais il est} preferable de la deter- miner directement car le calcul pr6sente ^{des diffi-}

cult6s qu’il ^{vaut mieux ne} pas passer ^sous silence.

L’application ^{brutale de la} formule, ^{valable dans}

le cas des milieux transparents, peut ^{conduire a des} r6sultats inexacts. Nous donnerons ici le calcul de la transmission en quantités r6elles, d’abord, ^car

c’est le seul physiquement compr6hensible ^{et nous}

montrerons ensuite comment on pouvait 1’effectuer directement sur les vecteurs complexes.

Le facteur de transmission est donne par le

rapport des flux du vecteur radiant a travers un

meme element de la surface de separation.

69

Le vecteur radiant changeant ^{de direction en} chaque point ^de la surface il ^nous faudra calculer

sa valeur moyenne ^en fonction _{de y.}

Nous effectuons le calcul dans le ^cas du champ 6lectrique perpendiculaire ^au plan d’incidence.

Il nous faut transformer (a

ib) ^en exponen- tielle imaginaire

En valeurs r6elles et pour x

0

Calculons maintenant le flux du vecteur radiant a travers la surface unite : Nous prenons, ^comme dimension de la surface unite suivant Oy, ^{un mul-} tiple ^{de l’élément} p6riodique de y, tel que ^nous le trouvons dans les expressions ^de Hll, ^et H12V, ^soit

II ne nous reste plus qu’h calculer les valeurs moyennes ^en fonction de y.

Or

d’ou la transmission

ou encore

On a done bien

Remarque : ^{Ce calcul ne se montre valable} que si on peut effectivement prendre ^{la valeur} moyenne du flux c’est-à-dire si le faisceau lumineux a des dimensions suffisantes.

Voyons maintenant comment on aurait _pu con-

duire le calcul, ^sans passer par les parties r6elles,

D’après 1’expression ^{de T} (12) ^nous voyons que

nous devons prendre ^tout simplement ^la partie

r6e]le de P21/Pl1, ^ce qui ^n’jtait pas ^{du tout éçident}

a priori, ^mais simplifie considérablement le calcul.

Autrement dit, pour calculer la transmission, ^nous

pOUCJons conduire te calcul ^comme si les vecteurs consi- dérés itaient réels et, ^{en dernier} lieu, ^nous prenons la partie ^{r6elle du} rapport ^obtenu.

Dans le cas où les milieux considérés n’absorbent pas, la formule de la transmission, ^{bien connue} donne, ^{avec nos} notations :

Pour 6tendre maintenant cette formule aux

milieux absorbants et tenant compte ^{des relations} (9) ^et (10) ^nous voyons qu’elle ^{doit s’écrire}

of fll d6signe ^la partie ^{r6elle de} 1’expression ^entre parentheses.

Dans le cas du champ ^H perpendiculaire ^au plan

d’incidence il suffit de remplacer a ^{et b par c et d.}

ou encore, ^avec la definition ^{de t} (7 bis)

1.4. Conclusions.

Si nous avons tenu a con-

duire jusqu’au ^{bout ces calculs, dont} la derniere

partie ^{est seule} originale, c’est pour ^{en tirer} quel-

ques conclusions et insister ici sur un point qui

nous parait essentiel. La difference entre ]a lon-

gueur du calcul en quantités ^{r6elles et} 1’616gance

et la simplicité ^{du calcul en} quantités complexes ^se

montre flagrante. ^{On est donc tente} d’abandonner le premier point ^{de vue, et c’est ce} que font la

plupart ^{des auteurs. Ce serait une erreur, a notre} avis, car, le r6sultat simple, obtenu, suppose impli-

citement la surface de separation infinie ; ^{dans le}

cas contraire, seule, la m6thode r6elle, ^{nous montre}

ce qui ^se passe ^en chaque point de la surface.

Enfin 1’emploi ^d’un angle de refraction complexe

nous masque le fait essentiel que le ^vecteur radiant

change de direction a chaque ^{instant et} que, par

consequent, ^{on ne} peut plus parler de rayon lumi-

neux dans un milieu tres absorbant. Arzelies [6]

avait deja ^{fait cette} remarque ^{et en} avait conclu que l,introduction ^d’un angle complexe devait etre abandonn6e comme source d’erreur ; ^ce point ^de

vue nous semble excessif dans 1’autre sens. La

compréhension totale des phénomènes exige 1’emploi

des quantités ^{réelles mais} l’utilisation _pure ^et simple

des résultats se montre tellement plus simple ^en quantitgs complexes qu’al ^est raisonnable de t’adopter

4 condition d’en avoir bien compris ^la signification

C’est ce que nous avons tenté de faire ^ici.

II. Transmission d’une lame i faces parallèles, absorbante, baignant ^{dans un milieu} transparent.

-

Le calcul a d6jh ^{ete fait} (voir par exemple [7])

dans le cas d’une lame dite mince, c’est-a-dire pour des vibrations coh6rentes, Nous l’avons eff ec- tu6 ici pour ^une lame epaisse, parce que c’était le

cas rencontre expérimentaIement. ^{Ce calcul} pr6-

sente d’ailleurs un intérêt en lui-m6me, ^{car il se}

montre different du precedent ^et plus ^{d6licat. La}

transmission d’une lame mince n’exige ^{rien d’autre}

en effet, que 1’etude de la propagation ^des champs ^E

et H ^et 1’ecriture des conditions de continuite. Ici,

au contraire, ^{nous devons 6tudier la} propagation

de 1’energie transmise dans la lame.

Le probleme n’a 6videmment de sens physique

que si l’on ^{a une} couche d’6paisseur finie du milieu absorbant ^et si 1’on calcule ^le rayonnement ^trans-

mis a la deuxieme surface de separation ^{du milieu 2}

et du milieu 1 ( fig. 2).

FIG. 2.

Consid6rons une couche d’épaisseur s ^{et d’indice} complexe n2 - iX2 plong6e ^{dans un milieu trans-} parent, ind6fini, ^d’indice nl. Nous supposons, pour

ce calcul, qu’il n’existe pas de coherence de phase

entre les ondes successivement r6fl6chies a l’int6- rieur de la lame et que celle-ci ^{est assez} 6paisse

pour qu’il n’y ait pas lieu de tenir compte ^de

l’onde evanescente.

Nous avons vu pr6c6demment (6q. ^{8) que le}

coefficient d’extinction de l’onde se propageant

dans le milieu 2 s’ écrit

les plans d’6gale amplitude ^{6tant les} plans x

^Cte.

Donc, l’ amortissement de I’amplitude ^{des vec-}

teurs E ou H, lors de la travers6e d’une couche

d’épaisseur s ^est 6gal ^{4 e-k1bs.}

Par suite, l’intensit6 varie suivant le facteur e-2k1b,.

D’autre part, ^la lame a faces parall6les ^d’indice

n2 - iX2 ^{transmet une} s6rie d’ondes parall6les ^entre

elles. Leurs intensites successives dans le plan

x = s s’écrivent (nous supposons 6gale ^{a l’unit6}

l’intensite du vecteur incident) :

d’ou

ou encore, ^en explicitant k1 ^{b :}

Remarque : ^{11 faut} naturellement considérer,

dans le calcul de T, ^{les deux cas ou E est} perpen- diculaire au plan d’incidence ^et ou il lui est paral-

16le (T.L ^{se calcule en fonction de} T,.L ^{et de} R,.L, Tll ^en fonction de T 1/1 ^{et de} RIll).

Ce calcul se pr6sente ^{sous une} forme tr6s diffé- rente de celle correspondant ^aux substances trans-

parentes ; ^{dans ce dernier cas, en} effet, ^{on construit}

les rayons successivement reflechi s ^a l’int6rieur de la lame. Ici l’application ^{de ce} proc6d6, ^{avec des} angles complexes, conduirait a des resultats inexacts. D’autre part, la determination pr6sente

de T appelle ^la remarque suivante : le calcul de la transmission 7B (1.3) ^{ne tient} compte que de la

composante ^{du vecteur radiant le} long ^{de Ox.}

Quelle ^{est l’aetion} de 1’autre composante,

suivant Oy ? ^Elle correspond ^{a un} transport ^d’éner- gie parall6lement ^{a la surface et,} puisque ^celle-ci

est infinie, elle n’intervient _{donc pas} dans le calcul de la transmission.

III. Courbes de r6fleXion.

Ijes courbes de r6flexion n’avaient j amais, ^{a notre} connaissance 6t6 d6termin6es d’une mani6re syst6matique, ^{en fonc-}

(I) Cette formule a 6t6 donn6e sous une forme erron6e,

dans un article précédant [9].

71 tion des differentes variables. Nous les avons fait

calculer sur machine 6lectronique ^en y joignant ^la

determination automatique ^du point d’inflexion

(represente ^{sur les} figures par ^un cercle). ^{Le trac6}

des courbes de reflexion differe sensiblement lorsque

nous considerons les representations ^de Rlj. ^ou

celles de RIll ^{en fonction de} 1’angle 6r. ^{Nous 6tu-}

dions d’abord la reflexion perpendiculaire ^{et nous}

utilisons la formule (12).

111.1. ETUDE DE RI.L. - Consid6rons le reseau de courbes de la figure ^3. Quand ^il n’y ^{a pas} d’absorption, ^{il existe un} angle ^limite Oli, à; partir duquel il y ^a reflexion totale

1. Pour la valeur 011, ^{la courbe} pr6sente ^un point anguleux.

FIG. 3.

Pouvoir r6flecteur jRi ^en fonction de l’angle

d’incidence 61 pour n

0,5 ^et differentes valeurs de x.

Nous constatons que, lorsque l’absorption ^{est tr,es} faible, la r6flexion est pratiquement totale, ^à partir

de 1’angle On, ^{mais il} _{y a} continuite de la courbe.

Lorsque 61= 0, ^le pouvoir réflecteur est 6gal ^a

ce que ^nous pouvons v6rifier. Quand l’absorption augmente R varie continuement depuis ^cette

valeur jusqu’à la valeur 1 qu’il ^{atteint a l’inci-}

dence 7c/2, ^{mais il} n’y ^a plus ^de reflexion totale.

La courbe, ^en realite, poss6de ^deux points ^d’in-

flexion dont l’un se situe a une incidence voisine de 611 et 1’autre, ^{invisible a 1’echelle} choisie, ^tres pres ^de l’incidence 1C/2. ^{Ces deux} points d’inflexion

se rapprochent ^{l’un de} l’autre, lorsque ^{x devient}

plus grand, ^et n’existent plus pour les ^fortes

absorptions (x > 0,204). ^Le phenomene ^{est indi-} que par la figure ^{4 ou} nous avons repr6sent6, ^en

fonction de l’indice d’absorption x, 1’ecart entre 1’indice limite et ceux correspondant ^{aux deux} points d’inflexion. La branche I se rapporte ^{a un}

maximum de la d6riv6e R’ de .R et la branche II a un minimum. Seule la branche I correspond ^au point d’inflexion r6ellement utilise dans les mesures

d’indices mais il etait int6ressant de ^se rendre

.

compte ^{comment on} passe d’une courbe a points

d’inflexion a une courbe sans points d’inflexion.

Lorsque ^nous utilisons la m6thode du r6frac- tom6tre d’Abbe, ^nous pointons ^le point d’inflexion d’abscisse 01 et nous posons n

sin 6i. ^En realite,

n

sin 01 ; ^{nous faisons "done} une erreur syst6- matique ^{sur l’indice}

FIG. fin.

Reart entre l’incidence limite et celle corres-

pondant ^aux points d’inflexion en fonction de l’indice

d’absorption. ⁿ

^0,7.

Nous avons construit un reseau de courbes An en

fonction de _x, pour différentes valeurs de n (fig. 5).

FIG. 5.

Erreur

An fonction de loglo ^x pour diff6rentes

valeurs de n, dans la m6thode par r6flexion.

Nous voyons que, lorsque ^x 10-3, ^la quantité ^An

est pratiquement nulle ; puis elle passe par ^un maximum n6gatif ^assez plat, ^{s’annule et} change ^de signe ^en augmentant ^{ensuite très} rapidement.

Si la pricision ^de I’appareil ^{de mesure ne} dépasse

pas 3 ^X 10-3, ^nous pouvons utiliser la mithode de la r6flexion totale pour des ^mesures d’indice de réfrac-

tion à condition que l’indice d’absorption ^ne dépasse

p as 10-2.

III.2..GTUDE ^DE Rtll.

Lorsque ^{les radiations}

sont polarisées parallèlement ^au plan d’incidence

(formule 13) ^{les courbes de r6flexion se montrent}

bien différentes pour ^de faibles angles d’incidence

(fig. 6;, ^En effet, ^elles présentent ^{un minimum}

FIG. 6.

Pouvoir r6flecteur RIll ^en fonction de l’angle

d’incidence 61 pour n

0,6 ^et differentes valeurs de x.

pour l’incidence brewsterienne 63 _{telle que} tg ^OB

^{n. Ce minimum est d’autant} plus ^faible

que ^{x est} petit, ^{et s’annule} lorsque ^x

^0.

Toutefois, ^{a une abscisse} sup6rieure ^a 6B, ^les

formes des r6seaux de courbes (fig. ^{3 et} fig. 6) ^se ressemblent, ^{surtout au} voisinage ^de l’ angle ^limite.

Les courbes R1//(61) présentent ^{un ou trois} points

d’inflexion. Le premier ^se situe ^avant 1’incidence

brewstérienne, ^{il existe} toujours. ^{Les deux autres}

ont des positions ^relatives identiques a celles que

nous avons trouv6es pour la vibration perpendi-

culaire. ^{Mais le} point d’inflexion, ^{dont on 6tudie la} position ^{dans la} m6thode du r6fractom6tre d’Abbe,

se trouve plus près ^{de 61} que dans le ^cas precedent,

et la precision ^{de la m6thode se montre donc meil-}

leure. On ^trouve pour ^ces deux points d’inflexion

une courbe semblable a celle que ^nous avions obtenue pour R,.L (fig. 4).

Le reseau de courbes An en fonction de ^x (flg. 7),

tout ^en pr6sentant ^{les memes} particulari-tes que FIG.

7. ^- Erreur A/t// ^fonction de loglo ^x pour differentes valeurs de _n, dans la m6thode par reflexion.

celui de la figure 5, ^{se montre un} peu different car

il se replie ^{sur lui-m6me} lorsque ^{n varie et s,’étale}

donc moins ; ^{1’erreur s’en trouve diminu6e. Nous .}

constatons que lorsque ^x 10-3, ^{An est} prati- quement ^nul.

Il serait possible ^{d’aller au dela de cette valeur}

en faisant une correction a partir du reseau de courbes des figures ^{5 et 7 et} cela, ^{tant que le} point d’inflexion existe, ^{mais il est alors tres diffi-}

cile a rep6rer ^avec precision.

Remarque : ^Nous constatons aussi sur les figures 3

et 6 que, pour ^un angle d’incidence 61 donne, ^tel

que 61 > 611, 1’6nergie ^{r6fi6chie est d’autant} plus

faible _que ^x est plus grand. L’existence de ce

phenomene ^{a ete mise a} profit ^{dans la methode}

de la ^« reflexion totale att6nu6e ^» [8].

IV. Courbes de transmission a travers une lame.

-

Nous _avons, comme précedemment,fait ^calculer

sur machine 6]ectronique ^{les courbes de trans-}

mission a travers une lame et la position ^du point d’inflexion, ^a partir ^{de la formule} (14). ^{Il y a ici}

une variable de plus, 1’epaisseur ^{de la lame. Les}

deux r6seaux (fig. ^{8 et} 9) présentent, pour l’inci- dence brewstérienne, ^{la meme} difference _{que celle} que ^nous avions observ6e _{pour les} courbes de

reflexion ; ^mais lorsque x2 > 5 X 10-4 ces courbes

se montrent tout a fait semblables. Quand ^x

⁰

la courbe correspondante pr6sente ^un point ^{a tan-}

gente horizontale ou T est maximum. Lorsqu’il y ^a

absorption, ^T varie continuement en fonction de 61,

et il _y a une brusque décroissance, accompagn6e

d’un changement ^de signe ^de la courbure au voisi- nage de 611. Nous avons calcule et construit ^les courbes d’erreurs An en fonction de _x, pour diffé- rentes valeurs de 1’epaisseur ^{s. Cette} determination

se montre delicate car elle exige ^une grande pr6-

cision de la machine. La figure ¹⁰ repr6sente ^la

courbe relative a Onl, ^{celle de} Anjj ^{est tres sensi-}

blement la meme.. Une difference essentielle saute

aux yeux quand ^on compare les courbes de la

73

FIG. 8.

Transmission Tj_ ^en fonction de l’angle ^d’inci-

.

dence 0,, n

0,8, 47rs/X

¹ 000, ^s epaisseur ^{de la}

lame absorbante.

FIG. 9.

Transmission Tll ^{en fonction de} l’angle ^d’inci-

dence 01, n

0,8, 41ts /À

¹ 000, s epaisseur ^{de la}

lame absorbante.

figurel ^{0 et} celles des figures ^{5 et} 7. Alors que, dans le cas précédent, 1’erreur d’abord négative, ^s’annu-

lait et changeait ^{de sens, ici elle se montre} toujours positive. ^{La m6thode} du r6fractom6tre d’Abbe par transmission, pr6sente toujours une erreur

FIG. 10.

Variation de 1’erreur An.L, pour la m6thode par transmission, ^en fonction de _x2 pour n

0,8 ^et n, = 1,5 ^et differentes 6paisseurs.

systématique) ^{dans le meme sens. Plus} 1’epaisseur

est grande, plus 1’erreur devient importante. ^Nous

constatons ainsi, que la m6thode par transmission est bien moins bonne que celle utilisant la réflexion ;

avec une epaisseur moyenne de 0,04 mm, ^{nous ne} pourrons d6passer ^la valeur X2

^{5 X ’l0-4 si nous}

prenons pour limite d’erreur 0,03. ^{Le calcul a}

montre que la variation de 1’erreur en fonction de _x2 pour ^{une meme} epaisseur ^et differentes valeurs de n est pratiquement ^{la meme. En} effet, ^dans 1’expression ^de T, le facteur exponentiel ^{du nume-} rateur, c’est-h-dire l’absorption ^{dans la} lame, ^se

montre preponderant. L’observation de ces courbes

nous montre en outre que la m6thode qui ^consiste

a chercher, ^non pas le point d’inflexion, ^{mais le} point ^{ou la} transmission _{tombe par} exemple ^{a 1} %

de sa valeur maximale, ^{comme le fait Jaffe} [5], ^se

r6v6le bien meilleure.

D’autre part, nous avons essay6 d’utiliser ces

calculs _pour expliquer la difference syst6matique

trouv6e lors de la mesure de l’indice de l’eau entre

I V. ^et 2,5 (.L, soit par la m6thode du r6fractom6tre d’Abbe [2], soit par interferences [4]. ^{Nous avons} pris ^{les valeurs de} x2 d6termin6es par Centeno ^et calcule 1’erreur An2, ^Cette correction, ^effectu6e par le calcul, explique, ^en grande partie, les differences trouvees en utilisant l’une ou l’autre des deux m6thodes.

Conelusion.

Nous avons calcul6, ^{dans ce} qui precede, les r6seaux de courbes correspondant,

d’une part ^a l’intensit6 de la lumiere r6fl6chie a la surface de separation ^{entre un milieu} transparent

et un milieu absorbant, ^d’autre part ^a l’intensit6 transmise par ^une couche relativement 6paisse ^du

milieu absorbant. Dans le present travail, ^ces

courbes nous ont permis ^{de fixer avec} precision ^les

limites d’utilisation des m6thodes de determination

d’indices _par reflexion totale ou refraction limite,

lorsqu’on repere ^le point d’inflexion des couches

R1(O) ^ou T(O).

L’etude du rayonnement réfléchi fournit de bons

résultats, meme pour des corps ^assez absorbants.

I,’etude du rayonnement ^{transmis se montre au}

contraire assez delicate et peut ^{conduire a des}

resultats systématiquement erron6s, pour ^une

absorption ^{meme faible de la} couche travers6e.

Nous remercions tres vivement M. et Mme Feau-

trier, ^de l’Observatoire de Meudon, qui ^{ont eu} l’obligence ^d’établir les programmes ^{et ont} eff ectue les calculs en double precision, ^{sur machines IBM.}

Notre gratitude ^s’adresse 6galement ^{a M.} Lecomte,

Directeur du D6partement Infrarouge, ^dans lequel

ces travaux ^ont ete effectues.

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