DÉTERMINATION DIRECTE DU COEFFICIENT DE RÉFLEXION DES ÉLECTRONS DE CONDUCTION SUR LA SURFACE DES MÉTAUX

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DÉTERMINATION DIRECTE DU COEFFICIENT DE RÉFLEXION DES ÉLECTRONS DE CONDUCTION

SUR LA SURFACE DES MÉTAUX

F. Abelès, Nguyen Van

To cite this version:

F. Abelès, Nguyen Van. DÉTERMINATION DIRECTE DU COEFFICIENT DE RÉFLEXION DES

ÉLECTRONS DE CONDUCTION SUR LA SURFACE DES MÉTAUX. Journal de Physique Collo-

ques, 1970, 31 (C1), pp.C1-79-C1-84. �10.1051/jphyscol:1970114�. �jpa-00213745�

JOURNAL DE PHYSIQUE

Colloque C 1, supplément au no 4, Tome 31, Avril 1970, page C 1 - ⁷⁹

DÉTERMINATION DIRECTE DU COEFFICIENT DE RÉFLEXION DES ÉLECTRONS DE CONDUCTION SUR LA SURFACE DES -TAUX

F. ABELÈS et NGUYEN VAN VAN Institut d'optique et Faculté des Sciences de Paris

Abstract.

-

Electrical resistivity vs. temperature,

p ( T ) ,

measurements have been performed on thin gold films less than 200 A thick, for temperatures between 65

OK

and 300

"K.

For a given film,

p ( T )

can be interpreted by means of Fuchs's relation and of Matthiessen's rule. The reffection coef- ficient of the conduction electrons at the film surfaces is always positive and comprised between 0.3 and 0.5. It is temperature independent. By controlled annealing, it was found possible to decrease, down to 0.4 pncm, the residual resistivity due to film imperfections. It is possible to have some indi- cations concerning the value of the product

po Z,

where

po

is the resistivity which would correspond to an infinitely thick film, and

^Z

is the mean free path of the conduction electrons

;

this product ought to be a quantity specific for a given metal. It was found that

^po Z =

8.38 x 10-12 ncm2, which corresponds to the value deduced from the simple free electron theory by assuming that each atom of the metal contributes one conduction electron.

Sommaire.

-

Des mesures de résistivité électrique en fonction de la température

^{p ( T )}

ont été effectuées sur des couches minces d'or d'épaisseur inférieure

à

200 A, pour des températures com- prises entre 65

OK

et 300 OK. Pour une couche donnée,

p ( T )

peut s'interpréter en accord avec la relation de Fuchs et la loi de Matthiessen. Le coefficient de réflexion des électrons de conduction sur la surface des couches est toujours positif et compris entre 0,3 et 0,5. 11 est indépendant de la température. Par un recuit contrôlé, il a été possible de réduire jusqu'à 0,4 pncm la résistivité supplémentaire due aux imperfections des couches. Si

^po

désigne la résistivité qu'aurait une couche d'épaisseur infinie et

^Z

le libre parcours moyen des électrons de conduction, on peut avoir quelques indications sur la valeur du produit

po Z

qui devrait être caractéristique du métal. Il semble que I'on ait

po

Z

=

8,38

x

10-12 Qcm2, ce qui correspond

à

la valeur déduite de la théorie simple des électrons libres en supposant que chaque atome de métal fournit un électron de conduction.

1. Introduction !-:]Les couches minces permettent d'étudier de façon relativement commode i'interac- tion des électrons de conduction avec les surfaces.

Dans un métal, ceux-ci sont diffusés par les phonons, par les imperfections et impuretés et par les surfaces.

En réduisant considérablement une des dimensions des échantillons, de façon que leur épaisseur d soit inférieure au libre parcours moyen 1 des électrons de conduction, on peut augmenter sensiblement l'impor- tance relative de la diffusion par les surfaces. La condi- tion dl1 1 signifie qu'il convient d'utiliser de très bons échantillons métalliques qui soient très minces, si l'on veut effectuer les études

à

des températures moyennes.

L'intérêt des recherches que nous présentons est double. D'une part, elles doivent aider

à

vérifier si une certaine théorie semi-phénoménologique, due

à

Fuchs [l], permet de rendre compte des phénomènes, compte tenu aussi de la loi de Matthiessen. D'autre part, elles présentent un intérêt pratique non négli- geable, du fait qu'elles fournissent un moyen d'ana- lyse de la résistivité due aux imperfections que contient une couche mince, et permettent ainsi un contrôle précis de la qualité des couches, tout au moins en ce qui concerne leur conductibilité électrique.

Le travail qui suit a été effectué sur des couches minces d'or préparées par évaporation sous vide. La deuxième partie contient une description des tech- niques expérimentales. La troisième partie comprend la description des résultats obtenus, qui sont analysés dans la quatrième partie. Enfin, la dernière partie résume brièvement les conclusions auxquelles nous avons abouti.

2. Techniques expérimentales.

-

Dans l'étude des surfaces des couches minces, il est important de pou- voir effectuer toutes les mesures sur les couches dans l'enceinte même où elles sont fabriquées. En effet, nous avons constaté une augmentation importante (de 20

à

30 %) de la résistance des couches minces lorsqu'on les expose

à

l'air

;

un simple effluvage ramène cette résistance

à

sa valeur initiale. Ceci suggère que, pen- dant son séjour dans l'air, la surface des couches a pu adsorber des impuretés. Pour obvier

à

cet inconvé- nient nous avons mis au point un dispositif qui nous permet d'étudier la variation de la résistivité des couches en fonction de la température, dans l'évapora- teur même.

Les couches sont déposées

à

température ambiante sous ultravide. Les pressions sont de quelque torr

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1970114

C l - 8 0 F. ABELÈS ET NGUYEN VAN VAN

pendant l'évaporation, inférieures à IO-' torr avant et après. L'évaporation se fait

à

partir d'un creuset de tungstène chauffé par effet Joule. Nous contrôlons le recuit en observant la variation en fonction de la température de la résistance des couches aussitôt après leur dépôt. Lorsque la température augmente, la résis- tance commence par décroître assez rapidement jus- qu'à une certaine valeur où elle se stabilise pendant quelques minutes, puis elle croît. Deux effets se super- posent, dus au réarrangement des cristaux et

à

l'agi- tation thermique du réseau, qui entraînent respective- ment une diminution et une augmentation de la résis- tivité. Le premier effet atteint son maximum lorsque la résistance commence

à

croître. Le coefficient de température de la couche est

à

ce moment égal

à

celui du métal massif. Le recuit doit alors être arrêté.

Les photos prises en transmission au microscope élec- tronique des couches Au,, et Au,,, d'épaisseurs respectives 155 A et 162 A, montrent l'influence du

recuit sur la taille des cristaux. On constate que la

( b)

couche AU,,, qui est seulement partiellement recuite,

^{FIG. 1. -} Images en transmission par microscopie électronique

contient peu de gros cristaux dans un fond de très

de deux couches minces d'Au ayant subi des recuits différents :

petits cristaux, alors que la couche Au,,, mieux

^{a) Au 14 (d = 162}

A)

bien recuite ; b) Au 12 (d = 155

A)

insuffisamment recuite.

recuite, est essentiellement formée de gros cristaux d'environ 0,5 p (Fig. 1). Il faut insister sur le fait que ces couches, quoique très minces, sont continues.

Le support de verre est fixé sur un bloc de cuivre creux (queue du cryostat) qui sert de réservoir de fluide cryogénique. Une résistance chauffante enrou- lée autour du réservoir permet de faire varier la tem- pérature de la lame de verre depuis la température du fluide utilisé (Hélium ou azote liquides) jusqu'à 450 0K. Le réservoir de cuivre possède une grande inertie thermique pour que la température puisse rester stable pendant la durée nécessaire

à

une mesure.

Pour mesurer la résistance de la couche, nous utili- sons la méthode classique des quatre pointes, avec inversion du sens du courant afin d'éliminer d'éven-

tuelles forces électromotrices de contact. Les fils de connexions et les deux thermocouples sont soudés

à

l'aide d'indium sur les parties « contacts électriques

⁾⁾

de la lame de verre avant le dépôt de la couche mince.

Les parties « contacts électriques » sont formées d'une couche mince d'environ 50 A de chrome recouverte d'une couche d'or d'épaisseur supérieure

à

10 000 A

(Fig. 2). La sous-couche de chrome a pour rôle de permettre

à

la couche épaisse d'or de mieux adhérer

à

la lame de verre.

I

./ roo rao/ 200 250 7 - Y

FIG. 2.

-

Variation en fonction de la température de la résis- tivité de quelques couches minces d'Au. La géométrie des échan-

tillons est également indiquée.

Erratum : sur la figure, au lieu de d,, = 119 1 A, lire drx = 119 f 1 A.

La température est mesurée

à

l'aide de deux thermo-

couples ((Or-Fer)-Chromel) étalonnés, suivant la

(a)

gamme de températures, soit par rapport

à

une sonde

DÉTERMINATION DIRECTE DU COEFFICIENT DE RÉFLEXION DES ÉLECTRONS C l - 8 1

de germanium, soit par rapport

à

une sonde de pla- admet que la relation de Matthiessen est vérifiée, on tine. Tous les fils sont soigneusement mis à la masse doit avoir po

=

pphonons + constante, donc

thermique avant d'être soudés sur la lame afin d'évi-

ter le plus possible de perturber la température de la Apo/AT

=

Apphonons/AT

=

constante .

lame.

Nous utilisons un voltmètre numérique Solartron D'autre part, en première approximation, avec sortie sur imprimante pour centraliser toutes les

mesures. L'incertitude absolue sur les mesures de Ap/AT = Apo/AT température est de ir 0,2 degré, et l'incertitude rela-

tive, dans le cas le plus défavorable, sur les mesures de résistance de la couche mince ne dépasse pas 0,7 %.

Les incertitudes semblentimportantes

;

cependant, tout au moins dans la partie linéaire de la courbe de la résistance en fonction de la température, la méthode des moindres carrés nous permet de tracer la courbe la plus probable.

L'épaisseur des échantillons est déterminée par deux méthodes indépendantes utilisant les rayons X. La première utilise les franges d'interférences obtenues par réflexion, sous très petit angle, d'un faisceau de rayons X qui se réfléchit sur les deux surfaces de la couche [2]. Pour les observer, l'échantillon doit être une lame

à

faces planes et parallèles, sa structure cris- tallographique n'intervenant pas. On obtient ainsi l'épaisseur mécanique des échantillons. La deuxième méthode utilise les franges d'interférences qui appa- raissent autour de la raie (111) lorsque la structure cristalline des échantillons (essentiellement la dimen- sion et l'orientation des grains) est suffisamment bonne [3]. Les deux méthodes sont très précises et, pour les couches bien cristallisées que nous avons uti- lisées dans ce travail, les résultats qu'elles fournissent sont les mêmes

à

1 % près (donc

à

1 ou 2 A près). Il eût été impossible d'obtenir cette précision

à

l'aide de mesures optiques, du moins dans le domaine d'épaisseurs considéré (100

à

200 A).

3. Résultats expérimentaux. - Nous présentons ici les résultats obtenus sur quatre couches d'or dont les épaisseurs sont comprises entre 120 et 160 A. Celles-ci ont été mesurées après la sortie

à

l'air des couches, ainsi qu'il a été indiqué dans la deuxième partie. La figure 2 représente la variation de la résistivité p des couches en fonction de la température T. La résistivité est déduite de la résistance mesurée, compte tenu des dimensions géométriques des échantillons. L'erreur la plus importante est ici celle qui provient de la mesure des épaisseurs

;

elle ne dépasse toutefois pas 1 %.

On constate, pour les quatre échantillons examinés, que p est une fonction linéaire de T entre la tempéra- ture ambiante et environ 140OK. Nous avons tracé sur la même figure la courbe pphOnon, qui représente la résistivité de l'or massif sans défauts

[4].

On constate que les cinq segments de droite correspondant aux variations de p avec T pour la région des hautes tem- pératures sont pratiquement parallèles. Soit po la résis- tivité qu'aurait une couche ayant la même structure cristalline et les mêmes défauts que l'une des couches étudiées, mais dont l'épaisseur serait infinie. Si l'on

pour chaque couche. Ceci explique le parallélisme des divers segments rectilignes des courbes de la figure 2.

Pour les températures plus basses, l'égalité précé- dente AplAT

e

Apo/AT est de moins en moins vérifiée

à

mesure que la température diminue, ou, plus exac- tement, que le libre parcours moyen 1 des électrons de conduction augmente. Ceci explique le fait que pour T inférieur

à

environ 140 OK les courbes représentatives de p(T) s'incurvent vers le bas. En fait, le rap- port (Ap/AT)/(Ap,/AT) est d'autant plus différent de l'unité que le rapport entre l'épaisseur d de la couche et I est plus petit. Ceci explique pourquoi la courbe correspondant

à

la couche la plus épaisse est celle qui s'incurve le moins.

4. Analyse des résultats. - Le fait que l'une des dimensions de l'échantillon soit de l'ordre du libre parcours moyen des électrons conduit

à

ce que l'on appelle un effet dimensionnel. Une fraction non négligeable de ces derniers rencontrera la surface et la façon dont l'interaction électrons-surface a lieu se manifestera dans la valeur de la résistivité mesurée.

Lorsque l'échantillon est une couche mince, c'est-à- dire un long ruban de faible épaisseur (dans notre cas, cette dernière est au moins un million de fois plus petite que la longueur ou la largeur du ruban), le calcul de p a été fait, ainsi que nous l'avons déjà indi- qué, par K. Fuchs [Il. Les hypothèses faites sont extrê- mement simplificatrices. On suppose qu'on peut uti- liser l'équation de Boltzmann avec un temps de relaxa- tion bien défini, que la surface de Fermi est sphérique (tous les électrons ont la même vitesse, dont la répar- tition est isotrope) et que l'interaction électrons-sur- face peut être représentée par un coefficient de réflexion

p.

Dans le cas de la réflexion spéculaire (avec conserva- tion de la quantité de mouvement), p

=

1, tandis que pour une réflexion diffuse

p =

O. Lorsque O <

p

< 1, on suppose que la fraction p des électrons subit une réflexion spéculaire, une fraction égale

à

(1 -

p)

d'entre eux subissant une réflexion diffuse.

Soit p la résistivité de la couche d'épaisseur d ; le

libre parcours moyen des électrons de conduction est 1

et soit p,, ainsi que nous l'avons déjà indiqué plus haut,

la valeur de p lorsque d

-, m.

On sait que, pour un

métal donné, p, I

⁼

constante, indépendante de la

température et des défauts diffusant les électrons de

conduction. Fuchs a montré que

C l - 8 2 F. ABELÈS ET NGUYEN VAN VAN

F étant une fonction de p et de x

=

d/t que l'on sait température une valeur minimum de

p, pmin,

qui cor- calculer et dont l'expression est

:

respond

à

b

=

0 .

Dans ces conditions, on peut écrire

F ( p , x )

=

1 - d t . d

d d

2 x x(T)=-=-po(T)=--(p ph on on^(^) + ^b }. (3)

KT) ~ 0 . 1 ~ 0 . 1 La relation (1) peut se mettre alors sous la forme

Dans le membre de gauche, il n'y a maintenant que des quantités mesurées @ et d) ou connues (p, 1). La relation (2) fournit une relation entre

p

et x et ne suffit pas

à

les déterminer simultanément. Physiquement, elle signifie que pour déterminer le libre parcours moyen des électrons de conduction dans la couche

à

partir de la valeur de sa résistivité

à

une température donnée, il faut çonnaître l'interaction des électrons avec la surface.

Etant donné que Z varie avec T, il s'ensuit que x est aussi une fonction de T. Supposons que la loi de Matthiessen s'applique c'est-à-dire que les contribu- tions des divers mécanismes de diffusion des électrons sont additives pour donner po(T). Nous pouvons écrire

L'expression (3) contient dans son membre de droite une seule quantité inconnue, b, qui doit être cons- tante. Nous venons ainsi de préciser la loi de varia- tion avec T de la variable x. Ainsi donc, l'utilisation de (2) et (3) fournit une relation entrep et b pour chaque température soit p,(b).

Dans ce qui suit, nous montrerons que, pour les couches étudiées, et dans le domaine de températures compris entre 65 OK et 300 OK, p ne dépend pas de T.

Dans ce cas, il s'agit de trouver, pour une couche mince donnée, deux nombres positifs, dont un infé- rieur

à

l'unité

:

p, tels que l'on puisse reproduire la courbe expérimentale donnant p(T)

à

l'aide des rela- tions (2) et (3). C'est un problème d'optimisation, ou encore des moindres carrés. En fait, étant en posses- sion de tables

à

double entrée de la fonction F(p, x)/x,

Aul6 d

=

132 A po Z

=

Cte

=

838 P R C ~ A

b étant une constante indépendante de la température

^{. 4 -}

et représentant la résistivité résiduelle correspondant

à ^*

négatif

la couche mince, due aux imperfections statiques que -,,

O

0,l négatif

.e .4 . b .a P

O

O,]

négatif

celle-ci contient. D'après sa définition même, b O.

3. - Détermination graphique du de réflexion

Comme p est une fonction croissante de

PO

(pour une

des électrons de conduction sur les surfaces d'une couche mince

température donnée), ceci implique qu'il existe

à

chaque

d'Au (d= 132A).

O 0,l

négatif

DÉTERMINATION DIRECTE DU COEFFICIENT DE RÉFLEXION DES ÉLECTRONS C l - 8 3

nous avons, pour une température donnée, donné

à

p

les valeurs 0

;

0,l

;

0,2

;

...

;

1 et avons déduit les valeurs de b correspondantes. Les valeurs de p et de b qui conviennent sont celles pour lesquelles p et b ne dépendent pas de T. Le tableau 1 montre la façon dont nous avons procédé pour une couche d'épaisseur 132 A.

Dans le cas de l'or, po I

⁼

838 pQcm. A dans l'ap- proximation des électrons libres. On constate que, pour

p =

0,3, b

=

0,44 + 0,02 pQcm. On remarque que l'on peut aussi obtenir la valeur de p (puis celle de b) en traçant Ab

⁼

b(300 "K) - b(65 "K) en fonc- tion de p (Fig. 3) et en cherchant son intersection avec l'axe des abscisses.

Le même procédé, appliqué

à

une couche unpeu plus mince (d

=

119 A) fournit le résultat suivant

:

On trouve dans la littérature des valeurs du pro- duit po 1 qui peuvent être très différentes pour un métal donné. Ainsi, par exemple, dans le cas de l'or, on cite des valeurs comprises entre 8,20 x 10-l2 et 12 x 10-l2 Rcm2 suivant la façon dont p, 1 a été déterminé [5]. Nous avons voulu examiner l'influence de la valeur choisie pour p, 1 sur p et b déterminés plus haut. Dans le cas de la couche mince d'épais- seur d

=

119 A, une variation de p, 1 de presque 30 % (p, 1

=

1071 pncmA) conduit

à

p

=

0,6

;

b

⁼

0,40 pQcm. Le point essentiel que nous voulons souligner est que l'analyse des variations de la résis- tivité d'une couche avec la température ne permet pas de préciser la valeur du produit p, 1.

Revenons un instant

à

ce que nous avons indiqué dans la section précédente au sujet de la pente des courbes p(T). Nous avons affirmé qu'en première approximation, c'est-à-dire si on néglige l'effet dimen- sionnel, AplAT = Ap,/AT. Ceci fournit même une méthode commode pour déterminer

in situ

l'épais- seur des couches minces conductrices [ 6 ] . En fait, nous pouvons préciser la relation qui existe entre la vraie épaisseur d'une couche mince, d, et l'épaisseur do calculée en supposant que AplAT

=

Ap,/AT. En effet, il est facile de voir que, pour une couche dont la résis- tance est R, on a

:

Reprenons l'exemple de la couche d'épaisseur d

=

119 A pour préciser les ordres de grandeur.

Pour T

⁼

80 OK, on trouve

tandis que (dp/dT)/(dp,/dT) mesuré expérimentale- ment est 1,32. On constate que ceci tend

à

confirmer la valeur de p, 1 déduite de la théorie simple des élec- trons libres, avec un électron de conduction de masse normale par atome. En fait, il convient de ne pas sous- estimer l'incertitude sur la détermination expérimen- tale de dp/dT.

Conclusion. - Essayons de résumer brièvement les résultats obtenus. Des mesures de résistivitéélectrique en fonction de la température effectuées sur des couches minces d'or d'épaisseurs comprises entre 120 et 160A ont montré que

:

a) Pour des températures comprises entre 65 OK et 300 OK, p(T) pour une couche donnée peut s'inter- préter en accord avec la relation de Fuchs et la loi de Matthiessen.

b) Le coefficient de réflexion des électrons sur la surface des couches considérées, p, est toujours positif et compris entre 0,3 et 0,5 environ. Dans le domaine de températures exploré, p est indépendant de la température.

c) La résistivité supplémentaire, due aux imperfec- tions, est de l'ordre de 0,4 pQcm. Les imperfections des couches étudiées sont essentiellement constituées par les joints de grains. On peut exprimer cecid'une façon un peu différente en disant que pour des échan- tillons d'or massif ayant la même densité d'imperfec- tions, le rapport des résistivités

à

la température ambiante

à

4,2 OK serait légèrement inférieur

à

7.

d ) Il est difficile de préciser la valeur exacte du pro- duit po

1

pour les couches étudiées. Toutefois, si l'on tient compte de la valeur de dp/dT mesurée aux tem- pératures les plus basses, et si l'on connaît par ailleurs l'épaisseur exacte de nos échantillons, il semble que l'on ait p, 1

=

8,38 x Rcm2, cette valeur étant celle qui est déduite de la théorie simple des électrons libres en supposant que chaque atome de métal dp/dT longueur de la couche contribue avec un électron de conduction.

d

⁼ ---

.

dR/dT largeur de la couche

^'

Il serait souhaitable d'étendre cette étude vers les températures plus basses, ce qui permettrait, peut-

Il s'ensuit que être, de répondre aux questions qui ne sont pas encore

résolues et de vérifier si la description phénoméno- d dp/dT

- = ---

logique simple de l'interaction des électrons de do d ~ o / d T

^'

conduction avec la surface

à

l'aide du coefficient de

réflexion

p

reste encore valable.

Compte tenu de la relation (l), on obtient, en suppo-

sant p indépendant de la température, Remerciements.

-

Ce travail a bénéficié d'une

aide financière de la Direction des Recherches et

Moyens d'Essais que nous sommes heureux de remer-

(4) cier ici.

F. ABELÈS ET NGUYEN VAN VAN

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