La diffusion des électrons de conduction dans les métaux

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Submitted on 1 Jan 1962

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La diffusion des électrons de conduction dans les métaux

Ph. Taylor

To cite this version:

Ph. Taylor. La diffusion des électrons de conduction dans les métaux. J. Phys. Radium, 1962, 23

(11), pp.881-883. �10.1051/jphysrad:019620023011088100�. �jpa-00236711�

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LE JOURNAL DE PHYSIQUE

ET

LE RADIUM

LA DIFFUSION DES ÉLECTRONS DE CONDUCTION DANS LES MÉTAUX

Par PH. TAYLOR (*),

École d’Été de Physique Théorique ^{de 1961}

^Houches.

Résumé. 2014 La forme des fonctions d’onde des électrons de Bloch dans

métal peut ^nettement

réduire la section efficace de diffusion des impuretés par rapport ^à celle d’électrons libres. On montre qu’à la limite des liaisons fortes, l’approximation de Born est exacte. On détermine la deuxième approximation ^de Born pour

modèle simple,

fonction de la largeur ^de discontinuité

d’énergie ^à la limite de

Abstract.

It is suggested that the band structure of

monovalent metal _may

the

scattering cross-section of impurities ^{to be} considerably less than its value for free electrons. It is shown that in the limit of tight binding, ^{the Born} approximation ^is exact. The second Born

approximation ^is calculated for

simple ^model.

Tome 23 No 11 NOVEMBRE 1962

On peut ^faire le calcul de la résistivité d’un

alliage ^{dilué en} supposant que les électrons de conduction sont indépendamment ^diffusés par des

impuretés ^{ou des} vibrations du réseau dans le métal. Les premiers ^calculs [1] ^{ont traité} l’effet d’un atome d’impureté ^comme celui d’un potentiel ^cou-

lombien écranté. On a calculé la diffusion dans

l’approximation de Born. Le résultat _pour l’aug-

mentation de résistivité due à l’addition des atomes d’une impureté ^était beaucoup trop grand. ^Beau-

coup plus ^{en accord avec} l’expérience ^{était le calcul}

de Friedel [2], qui ^{a évalué} la diffusion _par la mé- thode des déphasages ^et qui ^a incorporé ^{une condi-}

tion de self-consistance _{pour la} charge ^{totale des}

électrons diffusés. Le désaccord ^{avec les} résultats de Mott fut attribué ^à l’inexactitude de l’approxi-

mation de Born pour le potentiel ^coulombien

écranté dont il s’est servi.

Parce _que Mott et Friedel ont tous deux supposé

que les électrons de conduction étaient libres, l’emploi ^de l’approximation ^{de Born} n’était certai- nement pas permis. ^On sait maintenant _que, dans les métaux réels, l’énergie ^{des électrons est loin}

d’être une fonction quadratique ^{du nombre d’onde.}

Les surfaces de Fermi du cuivre, ^de l’argent ^{et de}

l’or coupent ^{la limite de zone dans} la direction (111).

Cependant, ^aucun calcul n’a été fait _pour estimer l’effet de la structure de bande sur la diffusion ; (*) Adresse actuelle : Department ^of Physics, Case Insti- tute of Technology, Cleveland, Ohio, ^{U. S. A.}

même les calculs soigneux ^{de Roth} [3] n’ont pas tenu compte de l’effet de la banne interdite.

Il n’est pas donc nécessairement _{vrai que} l’appro-

ximation de Born n’est pas valable quand ^on l’applique ^aux électrons de conduction d’un métal

comme le cuivre. En effet, ^{si l’on se sert de} l’appro-

ximation des liaisons fortes, ^{on trouve} que la théo- rie des perturbations est exacte au premier ordre,

tous les termes d’ordre plus élevé dans la série pour

la matrice de diffusion étant identiquement ^nuls.

On obtient ce résultat de la ^manière suivante.

L’élément de matrice _pour la diffusion d’un électron d’un état k à un état k’ peut ^s’écrire

où V(k, k’) ^est l’élément de matrice dans l’approxi-

mation de Born et où

Ek étant l’énergie d’un électron dans l’état k. Dans la méthode des liaisons fortes la fonction d’onde s’écrit [4]

LE

JOURNAL

PHYSIQUE

^RADIUM.

23.

N° 11. NOVEMBRE 9 962,

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019620023011088100

882 Donc

ce que ^nous pouvons écrire ainsi :

A la limite de l’approximation ^{d es liaisons} fortes,

seules les fonctions d’onde ^{des atomes les} plus ^voi-

sins chevauchent d’une manière appréciable. Appe-

lons a les vecteurs du réseau vers les atomes les

plus voisins, ^{dans un cristal} cubique simple ^{ou à}

corps centré, ^{nous avons :}

ce. que ^nous pouvons écrire ainsi :

Nous _{pouvons à} présent ^{trouver un vecteur du}

réseau réciproque, g tel que g. a == :f:: ²ⁿ pour tout a. Il est alors également ^vrai que

Ce qui montre que Ek - Eo ^{est une fonction} impaire ^de

v

-

Lorsqu’il y ^{a un} électron de conduction _par atome, ^{la zone} de Brillouin est

remplie ^à moitié, ^et Eo ^devient l’énergie ^{de Fermi.}

L’élément de matrice dans l’approximation ^de

Born est

A la limite de l’approximation ^{des liaisons fortes}

nous ne prenons pour la somme que ^{les termes non} nuls du plus petit ^ordre

c’est-à-dire ceux pour

lesquels ¹

1’.

Alors

ce qui ^{est une} constante, indépendante ^{de k et}

de k’. Il s’ensuit alors que pour ^un métal mono-

valent tous les termes de la série excepté ^le premier disparaissent, ^et que l’approximation ^{de Born est}

exacte.

Bien entendu, le modèle des liaisons fortes n’est pas plus vrai que celui des électrons libres. En vérité il n’y ^a pas de symétrie parfaite ^{entre les}

électrons et les

trous o qui engendre le résultat

ci-dessus, ^{et les} contributions des bandes plus

élevées vont modifier la sommation. Mais le théo- rème montre que l’on ne peut pas prendre ^comme

non valable l’approximation ^{de Born dans le cas}

des électrons de Bloch, pour la seule raison qu’elle

n’est pas justifiée ^{dans le cas} des électrons libres.

Pour illustrer la dépendance ^{de la matrice de dif-}

fusion du réseau du cristal, ^nous discuterons la ^va- riation du second terme de l’équation (1), V1(k, k’),

en fonction de la structure de bande d’un métal monovalent. Dans le modèle des électrons libres il _y a deux facteurs qui ^{influent sur le} signe ^de V1.

Premièrement, ^{Ek, varie} plus ^{vite en dehors de la}

surface de Fermi, ^où Ek - Ek, ^est négatif; ^cela

tend à rendre V1 positif. Deuxièmement, ^il y ^a plus

d’états à l’extérieur qu’à l’intérieur de la surface de Fermi, ^{à cause de sa} courbure ; ^{cela tend à}

rendre V1 négatif. ^Le second effet est le plus grand,

et V 1 ^est toujours négatif pour les électrons libres.

Quand ^le potentiel ^{du réseau} augmente, ^une bande interdite apparaît ^et Ek, varie moins rapi-

dement en dehors de la surface de Fermi. Cela tend à rendre V 1 plus négatif. ^{D’un autre côté, les fonc-}

tions d’onde des états proches ^{de la limite de zone}

sont changées, ^et tendent à moins se mélanger ^avec

celles des états sur la surface de Fermi, ^ce qui ^tend

à rendre V1 plus positif. ^La valeur réelle de V 1 ^est

ainsi une balance délicate entre deux effets opposés,

et aucun calcul ne peut ^être accepté ^{sans de nom-}

breuses confrontations entre les fonctions d’onde et

la structure de bande. Néanmoins, ^{nous cher-}

cherons maintenant la dépendance qualitative ^de V 1 ^{sur la structure de bande} d’un modèle très

simple.

Considérons ^{un métal} qui ^{a une surface de Fermi} sphérique, ^surface qui remplit ^{à moitié une zone de}

Brillouin sphérique. ^{Nous nous} bornons à examiner la diffusion vers l’avant, pour laquelle ^k

^{k’ dans}

l’équation (1), ^d’où

Si nous définissons comme Ik

k’I, ^nous

devons avoir

pour ^notre modèle isotrope. ^Nous remplaçons ^la

sommation _par l’intégration, ^ce qui ^donne

où seulement la partie principale ^de l’intégrale ^est prise, ^{et 0 est} l’angle ^{entre k et k’} ( fig. 1). ^Pour l’énergie ^nous prenons l’expression ^{de la} théorie des

perturbations de second ordre [5],

883

qui ^{donne E en fonction de la} largeur ^{de la bande} interdite, ² U, ^{et un vecteur} g, du réseau réciproque.

(Dans ^notre modèle, g ^est le diamètre de la zone

de Brillouin.) ^{La forme de V n’a} pas tellement

d’importance ; pour simplifier ^nous prendrons ^une

forme d’un puits ^{carré :}

FIG. 1.

La géométrie ^{de la diffusion.}

L/intégrale ^{réduit à}

On peut ^{trouver le} paramètre p, ^{en se servant} de la valeur expérimentale ^{de la} résistivité due aux

impuretés ^de substitution, ^{en même} temps que de la

règle ^{de somme de Friedel} [1] ; ^{entre les} deux, ^V peut être éliminé. De cette manière p ^est approxi-

mativement égal ^à 0,7 ^{kf. La formule} (2) pour

l’énergie ^admet que la fonction d’onde de l’électron est un mélange ^de deux ondes planes dont les pro-

portions ^{sont faciles à} déterminer [5]. ^{Écrivons les}

fonctions d’onde ainsi :

Nous devons inclure ^un autre terme

dans l’intégrale (3), pour tenir compte du fait que seulement les composants ^{de vecteurs d’onde} proches peuvent ^se mélanger. L’intégrale (3) ^n’est

alors maintenant qu’une fonction de la largeur ^{de la}

bande interdite, ^{2 U.}

L’intégration ^{a été} numériquement exécutée. La variation de V1(k, k) ^{en fonction de} la=grandeur ^de potentiel ^{du réseau se} voit dans la figure ^{2. Comme}

FIG. 2.

La variation de Vi(k, k) ^en fonction de la largeur ^{de la} bande interdite.

on s’y attend, ^{V décroît d’abord} paraboliquement porportionnellement ^{à la} largeur ^{de la bande inter-}

dite. Le développement ^{de ’Y en deux ondes} planes

cesse d’être valable quand ^la largeur ^{de la bande}

interdite devient de l’ordre de grandeur ^de l’énergie

de Fermi, ^mais auparavant V, ^{est devenu} beaucoup

moindre _que sa valeur pour les électrons libres.

Il faut souligner que ^ces résultats ont seulement

une signification qualitative. ^Ils suffisent, cepen-

dant, ^{à montrer} que l’approximation ^{de Born} peut

être bien plus exacte pour les électrons de conduc- tion dans les métaux que les calculs de déphasages

ne le montreraient.

Manuscrit reçu le 30 mai 1962.

BIBLIOGRAPHIE [1] ^MOTT (N. F.), Proc. Camb. Phil. Soc., 1936, 32, 281.

[2] ^FRIEDEL (J.), ^Phil. Mag. Supp., 1954, 3, 446.

[3] ^ROTH (L.), Thèse, Harvard, ^1957.

[4] ^REITZ (J. R.), Solid State Physics, 1955, ^{tome 1.}

[5] ^MOTT (N. F.) ^{et JONES} (H.), Metals and Alloys, Oxford,

1936, p. ^61.