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UniversitØ Mohammed V de Rabat FacultØ des Sciences Rabat, Maroc

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Academic year: 2022

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(1)

Université Mohammed V de Rabat Faculté des Sciences

Rabat, Maroc

Filière : Sciences de la matière physique (SMP) Électricité 3

Électromagnétisme dans la matière Année Universitaire : 2019-2020

Adil Belhaj

belhajadil3@gmail.com

(2)

Avant-propos

Ce document de cours présente l’éctromagnétisme dans la matière. Il comporte de nombreuses illustrations et exemples. En particulier, il peut être considéré comme une introduction pédagogique à l’éctromagnétisme traitant les lois et les principes fondamentaux associés. Ces derniers, dans le vide, sont rappelés dans le premier chapitre. Alors que, les autres chapitres sont consacrés à l’éctro- magnétisme dans la matière.

J’espère vous proposer à travers ce document un cours facilement accessible et agréable à lire et dont le contenu centré sur plusieurs notions fondamentales avec le maximun de simplicité possible.

Afin de pourvoir mieux suivre le contenu de ce cours, vous devriez lire les apendices, contenant un formalisme mathématique qui aidera sans doute à bien assimiler les divers concepts et notions pésentés.

(3)

TABLE DES MATIÈRES

1 Électromagnétisme dans le vide 7

1.1 Généralités sur l’électromagnétisme . . . 7

1.1.1 Théorie des interactions . . . 7

1.1.2 Quelques rappels mathématiques . . . 8

1.2 Électrostatique du vide . . . 9

1.2.1 Charge électrique . . . 9

1.2.2 Champ életrostatique . . . 10

1.2.2.1 Loi de Coulomb . . . 10

1.2.2.2 Dipôle électrostatique . . . 11

1.2.3 Distribution continue de charges . . . 13

1.3 Magnétostatique du vide . . . 14

1.3.1 Champ magnétique créé par des charges ponctuelles . . . 14

1.3.2 Loi de Biot et Savart . . . 15

1.3.3 Correspondance entre l’électrostatique et la magnétostatique . . . 16

1.4 Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques . . . 17

2 Milieux diélectriques et aimantés 20 2.1 Généralités . . . 20

2.1.1 Milieux diélectriques . . . 20

2.1.1.1 Diélectrique polaire . . . 21

2.1.1.2 Diélectrique non polaire . . . 21

2.1.2 Milieux aimantés . . . 21

2.2 Étude macroscopique des diélectriques . . . 21

2.2.1 Vecteur de polarisation . . . 21

2.2.2 Potentiel et champ électrique créés par un diélectrique polarisé en un point extérieur . . . 22

2.2.2.1 Potentiel électrique . . . 22

(4)

2.2.2.2 Distribution de charges de polarisation . . . 24

2.2.3 Champ électrique créé par un diélectrique polarisé . . . 25

2.2.4 Vecteur déplacement électrique ou excitation électrique . . . 26

2.2.5 Conditions de continuité à la surface de séparation . . . 27

2.2.5.1 Comportements de la composante normale deD~ à la traversée de la surface de séparation . . . 27

2.2.5.2 Composante tangentielle du champ électrique . . . 28

2.3 Propriétés des milieux diélectriques . . . 29

2.3.1 Milieu linéaire . . . 29

2.3.2 Milieu homogène . . . 30

2.3.3 Milieu isotrope . . . 30

2.3.4 Caractérisation des milieux linéaires homogènes et isotropes . . . 31

2.3.5 Quelques équations générales . . . 31

2.4 Énergie potentielle électrostatique d’une distribution de charges en présence d’un diélectrique . . . 32

2.5 Électromagnétisme dans le milieu aimanté . . . 33

3 Équations de Maxwell dans les milieux 36 3.1 Interprétation physique des équations de Maxwell dans le vide . . . 36

3.1.1 Équations de Maxwell dans le vide . . . 36

3.1.1.1 Régime statique . . . 36

3.1.1.2 Régime variable . . . 37

3.1.2 Contenu physique des équations de Maxwell . . . 38

3.1.2.1 Équation de Maxwell-Gauss . . . 38

3.1.2.2 Équation de Maxwell-Thompson . . . 38

3.1.2.3 Équation de Maxwell-Faraday . . . 38

3.1.2.4 Équation de Maxwell-Ampère . . . 38

3.2 Énergie électromagnétique dans le vide . . . 40

3.2.1 Densité volumique d’énergie électromagnétique . . . 40

3.2.2 Équation de conservation de l’énergie électromagnétique . . . 40

3.3 Équations de Maxwell dans les milieux . . . 42

3.4 Équations de Maxwell dans un milieu linéaire homogène et isotrope LHI . . . 44

3.5 Énergie et puissance dans la matière . . . 47

3.5.1 Énergie électrique . . . 47

3.5.2 Énergie magnétique . . . 48

3.5.3 Densité d’énergie d’un champ électromagnétique . . . 48

4 Propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu LHI 50 4.1 Équations de propagation du champ électromagnétique . . . 50

(5)

4.2 Onde électromagnétique plane . . . 52

4.2.1 Équation de propoagation du champ électromagnétique dans un milieu . . . 53

4.2.2 Solution de l’équation de propagation . . . 53

4.2.3 Ondes planes progressives monochromatiques (OPPM) . . . 55

4.2.3.1 Définitions et exemples . . . 55

4.2.3.2 Notation complexe des ondes harmoniques . . . 57

4.2.4 Caractéristiques des ondes plans progressives monochromatiques (OPPM) . 58 4.2.4.1 Relation de dispersion . . . 58

4.2.4.2 Caractère transversal de l’onde électromagnétique . . . 59

4.3 Polarisation des ondes électromagnétiques (OPPM) . . . 61

4.3.1 Définitions . . . 61

4.3.2 États de polarisation des ondes électromagnétiques . . . 61

4.3.2.1 Polarisation elliptique . . . 62

4.3.2.2 Polarisation circulaire . . . 63

4.3.2.3 Polarisation rectiligne . . . 63

4.4 Aspect énergétique des ondes électromagnétiques . . . 65

4.4.1 Densité d’énergie électromagnétique . . . 65

4.4.2 Valeur moyene temporelle de l’énergie . . . 66

4.5 Ondes dans les milieux LHI absorbants . . . 67

5 Aspects optiques du champ électromagnétique et guides d’ondes 70 5.1 Réflexion et réfraction d’une onde plane harmonique . . . 70

5.2 Incidence normale . . . 72

5.3 Incidence oblique . . . 75

5.3.1 Polarisation parallèle . . . 75

5.3.2 Polarisation perpendiculaire . . . 78

5.4 Angle d’incidence maximum et angle critique . . . 79

5.5 Guide d’onde . . . 81

5.5.1 Équation de propagation . . . 82

5.5.2 Expressions des composantes tranversales des champs . . . 82

5.5.3 Équations differentielles des composantes longitudinales . . . 83

5.5.4 Fréquence et longueur d’onde de coupure . . . 85

A Analyse vectorielle et systèmes de coordonées 88 A.1 Analyse vectorielle . . . 88

A.2 Opérations sur les vecteurs . . . 89

A.2.1 Produit scalaire . . . 89

A.2.2 Produit vectoriel . . . 89

A.2.3 Produit mixte . . . 90

(6)

A.2.4 Double produit vectoriel . . . 90

A.3 Systèmes de coordonnées . . . 90

A.3.1 Coordonnées cartésiennes . . . 90

A.3.2 Coordonnées cylindriques . . . 91

A.3.3 Coordonnées sphériques . . . 93

A.4 Caractère vectoriel des opérateurs différentiels . . . 95

A.4.1 Opérateurs différentiels . . . 95

A.4.1.1 Opérateur nabla . . . 95

A.4.1.2 Gradient . . . 95

A.4.1.3 Divergence . . . 96

A.4.1.4 Rotationel . . . 97

A.4.1.5 Laplacien . . . 97

A.4.2 Quelques formules très utiles . . . 98

A.5 Quelques théorèmes importants . . . 98

A.5.1 Théorème d’Ostogradsky . . . 99

A.5.2 Théorème de Stokes . . . 99

B Symétrie des champs 100 B.1 Propriétés de symétrie des champs . . . 100

B.2 Symétries continues . . . 100

B.2.1 Symétrie de translation . . . 100

B.2.2 Symétrie axiale . . . 101

B.2.3 Symétrie cylindrique . . . 101

B.2.4 Symétrie sphérique . . . 101

B.3 Symétries discrètes . . . 101

B.3.1 Plan de symétrie . . . 101

B.3.2 Plan d’antisymétrie . . . 102

(7)

CHAPITRE 1

ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE VIDE

L’objet de ce premier chapitre est de rappeler les postulats de l’électromagnétisme classique (non quantique) dans le vide. Ces principes se résument dans les quatre équations de Maxwell sous leurs formes différentielles (locales) et sous leurs formes intégrales (globales).

1.1 Généralités sur l’électromagnétisme

1.1.1 Théorie des interactions

Tous les phénomènes physiques connus peuvent être expliqués à l’aide de quatre interactions fondamentales :

1. interaction gravitationnelle (attraction entre les corps massifs, indépendamment de leur charge électrique).

2. interaction forte (c’est la force qui permet la cohésion du noyau, les quarks constituants les protons et les neutrons interagissent via cette interaction).

3. interaction faible (responsable de certaines désintégrations nucléaires comme les désinté- grationsβ±).

4. interaction électromagnétique (interactions entre les particules chargées).

Il est important de noter que chaque interaction est liée à une théorie physique caractérisée par 1. des notions

2. un formalisme mathématique, 3. des lois (des postulats).

En oubliant les grandeurs physiques d’ordre supérieur appelés tensors (que vous verrez bien plus tard dans vos études), les champs physiques, apparaissant dans l’électromagnétisme, se divisent en deux catégories :

(8)

(a) scalaires : ils varient en fonction de l’espace-temps. Ils sont décrits par une seule fonction de trois variables

X =X(x,y,z,t)

(b) vecteurs : ils varient en fonction de l’espace-temps. Ils sont décrits par trois fonctions de trois variables

X =→−

X(x,y,z,t)=

Xx(x,y,z,t) Xy(x,y,z,t) Xz(x,y,z,t)

 .

Dans ce chapitre, on va reconsidérer l’étude du champ électromagnétique dans le vide. Cette étude correspond à la physique associée à des champs électriques et magnétiques créés, respectivement, par des distributions de charges et de courants (charges mobiles) pour les deux régimes variable et indépendant du temps.

1.1.2 Quelques rappels mathématiques

Afin d’établir les lois de l’éctromagnétisme dans le vide (théorie physique), on utilise les vec- teurs, les scalaires et le calcul intégral. Alors, il est utile de revoir l’analyse vectorielle. En effet, on rappelle, ici, quelques propriétés de l’opérateur différentiel nabla ∇ jouant un rôle important en physique, notamment la physique de l’interaction électromagnétique. Précisément, c’est un opéra- teur qui peut agir sur un scalaire ou un vecteur. On considère une fonction scalaireV et un vecteur

A. On va définir trois opérations définissant les actions locales suivantes

→∇V ≡ un vecteur (1.1)

→∇.−→

A ≡ un scalaire (1.2)

→∇ ∧−→

A ≡ un vecteur. (1.3)

Il est à noter que est considéré comme

1. un vecteur, satisfaisant aux régles des vecteurs (produit scalaire, vectoriel,...)

2. un opérateur différentiel, qui satsfait à toutes les régles qui s’imposent à la dérivation des fonctions.

Les relations sont valables dans tous les systèmes de coordonnées. Certes, on a une forme simple, dans le cartésien, donnée par

→∇ =

∂x→−ux+

∂y−→uy+

∂z→−uz. (1.4)

Remarques

-Dans les autres systèmes de coordonnées, les formules de nabladeviennent plus compliquées.

(9)

-L’opérateur nabla au carré.−→

∇ génère les laplaciens (scalaire et vectoriel)

→∇.−→

∇(scalaire, vecteur)=∆(scalaire, vecteur).

-Dans un repère cartésien orthonormé, on écrit

→∇V = −−−−→

g r ad V ≡un vecteur (1.5)

→∇.→−

A = d i v−→

A ≡un scalaire (1.6)

→∇ ∧→−

A = −−→

r ot−→

A ≡un vecteur. (1.7)

-On donne quelques formules relatives à l’opérateur nabla

−−→r ot.−−−−→

g r adV = 0 (1.8)

d i v.−−→r ot−→

A = 0 (1.9)

d i v.−−−−→

g r adV = ∆V (1.10)

−−→r ot.−−→

r ot−→

A = −−−−→

g r ad d i v−→ A−∆−→

A. (1.11)

1.2 Électrostatique du vide

1.2.1 Charge électrique

On appelle charge d’une particule une grandeur qui caractérise les interactions électromagné- tiques qu’elle exerce ainsi que celles qu’elle subit. C’est une propriété fondamentale de la matière.

Elle peut prendre une valeur :

(a) positive (protons(p), positrons(e+)) (b) négative (électrons(e))

(c) nulle (neutrons, neutrinos).

Remarques

1. Toute charge électriqueq est un multiple de la charge élémentairee

q=Z e, e=1, 6.10−19C, Z =un nombre entier relatif. (1.12)

2. La dimension physique de la charge électriqueq est le Coulomb (C)

[q]=[e]≡C. (1.13)

3. Dans l’étude des charges électriques, on distingue deux situations

(10)

— Échelle microscopique : distribution discrète de charges (ponctuelle)1{q1, . . . ,qn}avec des vitessesvi et par conséquent, on peut définir des courants de charges :

q1→→−

J1=q1−→v1, . . . ,qn→−→

Jn=qnvn. (1.14)

— Échelle macroscopique : distribution continue de charges comme dans les circuits élec- triques (courants filiformes) :

−→d J=d q−→v =ρdτ−→v =−→

j dτ (1.15)

j est la densité de courant etest un élément de volume de l’espace physique.

1.2.2 Champ életrostatique

1.2.2.1 Loi de Coulomb

On considère un espace physique qu’on modélise par un espace géométrique tridimensionnel muni d’un repère R. On supposera que l’espace physique est vide de toute matière polarisable, et présente par conséquent la permittivité électrique caractéristique du vide. Soient deux charges ponctuelles q1 et q2, placées en deux points M1 et M2 respectivement. On s’intéresse aux forces apparaîssant entre telles charges. Selon la loi de Coulomb, la force exercée par la charge q1sur la chargeq2s’écrit

F1/2=q1q2 4π²0

−−−−→

M1M2 k−−−−→

M1M2k3= 1 4π²0

q1q2 r2

u (1.16)

²0représente la permittivité(²0'9.109C2N−1m−2)et on a utilisé

k−−−−→

M1M2k =M1M2=r, −→u =

−−−−→

M1M2 k−−−−→

M1M2k

, (1.17)

Remarques

1. Le principe d’action-réaction se traduit par

F1/2= −→−

F2/1. (1.18)

2. Les charges de même signe se repoussent, contraimement à des charges de signe opposé.

3. L’expression de la force qui s’exerce sur une chargeq1enM1de la part d’une chargeq2en M2peut se réecrire en isolantq2

F1/2=q2

µ 1 4π²0

q1 r2

u

. (1.19)

1. charge ponctuelle = particule ou corps chargé dont les dimensions sont négligeables devant la distance d’inter- action.

(11)

Selon la loi de Coulomb, on peut définir un champ électrostatique produit par une chargeq2placée enM1en tout pointM2de l’espace par la relation suivante

E(M1)= 1 4π²0

q1 r2

u. (1.20)

Dans le système international d’unités, cette quantité est exprimée en Vm−1(=NC−1), où V est le symbole du volt. Il est à noter que l’expression du champ électrostatique n’est valable que si lacharge q est immobile.

Propriétés

— Une ligne de champ électrostatique est une courbe tangente en chaque point au vecteur champ électrostatique.

— Le champ électrostatique est à rotationnel nul

−−→r ot−→ E =−→

0 . (1.21)

Considérons maintenant un ensemble de charges q1, . . . , et qn situées aux points M1, . . ., et Mn, respectivement. Le principe de superposition permet d’écrire, pour cette distribution discrète de charges ponctuelles, le champE(M)créé en un pointM

E(M)=

n

X

i=1

E(Mi). (1.22)

On note que le champ électrostatiqueE(M)dérive d’un potentiel scalaireV(M)défini par

E(M)= −−−−−→

g r adV(M). (1.23)

En intégrant cette relation, pour une seule charge électriqueq, et en prenantV(∞)=0, on obtient V(M)= 1

4π²0

q

r. (1.24)

Ainsi, l’énergie potentielle électrostatique de cette charge dans un champ électrostatique dont le potentiel estV(M)s’écrit comme suit

EM =qV(M). (1.25)

1.2.2.2 Dipôle électrostatique

Un dipôle électrostatique est un système constitué de deux charges ponctuelles opposéesqet q, dont les dimensions sont petites par rapport à la distance d’observation. Ces charges sont placées en deux pointsN(q)etP(+q), avecN P=d, et observées à une distancer=OM. On suppose que la distanced est très faible par rapport à la distancer.

Pour établir l’expression du potentiel électrostatique créé par le dipôle électrostatique, on doit utiliser certaines approximations. En effet, on va calculer le potentiel électrostatique au point M situé à une distancer du centre du dipôle (point O) telle quer=OMÀd. C’est l’approximation des

(12)

Figure 1.1 – Dipôle électrique.

grandes distances. En utilisant le principe de superposition, ce potentiel s’exprime comme suit V(M)= q

4π²0

µ1 r2− 1

r1

, r2=P M, r1=N M. (1.26)

Vu que−−→P M =−−→

OM−−−→

OP, on obtient r22=P M2=(−−→

OM−−−→

OP)2=r2r dcosθ+d2 4 =r2

µ

1−dcosθ r + d2

4r2

. (1.27)

En utilisant l’approximation des grandes distances, le calcul donne 1

r2=1 r µ

1−dcosθ r + d2

4r2

12

'1 r µ

1+dcosθ 2r

. (1.28)

En procédant de manière similaire, on trouve 1 r1'1

r µ

1−dcosθ 2r

. (1.29)

En définitive, on obtient le potentiel qui s’écrit comme une fonction der etθ V(M)=V(q)+V(−q)= q

4π²0

dcosθ

r2 . (1.30)

En utilisant le vecteur moment dipolairep défini parp =q−−→

N P, ce potentiel prend la forme suivante V(M)=

p.−ur 4π²0

1

r2, −→ d =−−→

N P. (1.31)

(13)

On calcule le champ électrostatique grâce à la relationE = −−−−−→

g r ad V(M). En exploitant les coor- données polaires (dégénérées), ce champ électrostatique s’écrit

E(M)= −∂V(M)

∂r

ur−1 r

∂V(M)

∂θ →−uθ. (1.32)

Par conséquent, l’expression du champ électrostatique créé par le dipôle enM devient

E(M)=2pcosθ 4πε0r3

ur+ psinθ 4πε0r3

uθ. (1.33)

Remarques

1. Ce champ décroît comme r13, plus vite que le champ associé à une seule charge.

2. Sur l’axe à l’extérieur associé àcosθ=1, l’expression du champ se réduit à

E(M)= 2p 4πε0r3

ur. (1.34)

1.2.3 Distribution continue de charges

Les expressions précédentes sont données pour une distribution discrète de charges. Pour des distributions continues de charges dans un volumeV, sur une surfaceSou le long d’une courbeC, il suffit de faire les substitutions suivantes

Distr. discrète Distr. volumique Distr. surfacique Distr. linéique

Pi PV PS PC

qi ρ(P)dτ σ(P)dS λ(P)`

Σi

Ð

V

Î

S

R

C

Les quantités ρ(P), σ(P) et λ(P) sont, respectivement, les densités volumiques, surfaciques et li- néiques de charge au pointP.,dSetd`sont les éléments de volume, de surface (c’est à dire l’aire infinitésimale) ou de longueur autour deP. Pour calculer facilement le champ électrostatique créé par des distributions de charges, on pourrait utiliser le théorème de Gauss. Selon ce théorème, le flux du champ électrostatique sortant d’une surface ferméeS est égal à la charge totaleQi nt enfermée dans cette surface divisée par²0

Φ= Ï

S

E−→

dS=Qi nt

²0

. (1.35)

À l’aide de la formule de Green-Ostrogradsky, on obtient la forme locale du théorème de Gauss donnée par

d i v−→

E(M)=ρ(M)

²0

. (1.36)

Remarques

1. En présence de charges, le potentiel vérifie l’équation de Poisson

V(M)+ρ(M)

²0

=0. (1.37)

(14)

2. Dans une région de l’espace où il n’y a pas de charges(ρ=0), on obtient l’équation réduite de Laplace

V(M)=0. (1.38)

1.3 Magnétostatique du vide

Les charges électriques se déplaçant à vitesse constante créent des courants permanents dont les effets magnétiques entrent dans le cadre de la magnétostatique. Cette dernière est l’étude des champs magnétique, créés par des aimants permanents ou par des courants constants.

1.3.1 Champ magnétique créé par des charges ponctuelles

On considère une particule de chargeqsituée en un pointP et animée d’une vitessev = −→v(P) dans un référentiel galiléen. Le champ magnétique B créé par cette particule en un point M est donné par la relation suivante

B(M)= µ0

q−→v

−−→P M k−−→

P Mk3

(1.39) oùµ0est une constante dimensionée appelée la perméabilité magnétique du vide(µ0=4π10−7H m−1). Remarques

— Le champ magnétiqueB dépend de deux choses :

— la charge électriqueq

— la position deM où on calcule le champ magnétiqueB.

— Pour déterminer l’orientation de B, on peut utiliser la règle des trois doigts de la main droite.

— Siq=0ouv =−→

0, il n’y aura pas de champ magnétiqueB.

— La dimension physique deB est

[B]=[µ0][q][v]

[d]2 . (1.40)

— Dans le système international, l’unité du champ magnétiqueB est le Tesla (T)

[B]≡T. (1.41)

Il se mesure à l’aide d’un Teslamètre.

— Le champ magnétique est donné par un produit vectoriel. Tout compte fait, c’est un pseudo- vecteur. Cette propriété joue un rôle important dans la simplification du calcul duB. On considère une distribution continue de charges. Chaque élément de charge d q centré autour d’un pointP va créer un élément du champ magnétique−→d B qui s’écrit sous la forme suivante

−→d B(M)=→−

b dτ, = élément de volume

(15)

Dans ce cas, le champ magnétiqueb est donné par

b(M)=µ0

ρ−→v

−−→P M k−−→

P Mk3 .

En effectuant une intégration sur le volume total, le champ magnétique totalB, créé par une distri- bution de courants stationnaires de densitéj , s’écrit alors comme suit

B(M) = Ñ

vol ume

−→d B= Ñ

vol ume

µ0

4πρ→−v

−−→P M k−−→

P Mk3

= µ0

4π Ñ

vol ume

j

−−→P M k−−→

P Mk3 .

Figure 1.2 – Champ magnétique créé par une distribution de courants.

1.3.2 Loi de Biot et Savart

Biot et Savart ont postulé une expression afin de calculer le champ magnétique créé par une source définie par un élément de courant (courant filiforme). Pour établir la loi de Biot et Savart, on doit exploiter :

— l’expression du champ magnétique créé par une distribution de courants stationnaires de densitéj

B(M) = µ0

4π Ñ

vol ume

j (P)∧

−−→P M k−−→

P Mk3dτ,

— la décomposition de l’élément de volume=−→

d`.−→

dS,

— la relation suivante définissant le courant électrique I=d q

d t = Ï

S

j(P)−→

dS.

(16)

En utilisant ces relations, on obtient la formule de Biot et Savart déterminant le champ magnétique créé par un courant stationnaireI transporté par un circuit filiforme

loi locale:−→

d B(M) = µ0

I−→

d`

−−→P M k−−→

P Mk3

(1.42) loi intégrale:−→

B(M) = µ0

4π Z

ci r cui t

I−→

d`

−−→P M k−−→

P Mk3

. (1.43)

Propriétés du champ magnétique

— Cette loi permet de calculer, d’une manière directe, le champ magnétiqueB créé, en un pointM quelconque de l’espace, par un circuit filiforme quelconque étant parcouru par un courant électrique stationnaire.

— Le champ magnétique est inversement proportionnel à la distance au carré séparant l’élé- ment de courant et le pointM.

— Son intensité décroît rapidement avec la distance et il s’annule à l’infini.

— Une propriété générale du champ magnétique est donnée par le théorème d’Ampère. En ef- fet, la circulation du champ magnétiqueB long une courbe ferméeΓdélimitant une surface Ségale au produit deµ0par la somme algébrique des courantsIi traverssant cette surface

I

Γ

B.−→

d`=µ0

X

i

Ii. (1.44)

Remarques

(a) C’est l’équivalent du théorème du Gauss en électrostatique.

(b) Pour déterminer le champ magnétiqueB en utilisant ce théorème, il faut d’abord choi- sir le contourΓditcourbe d’Ampère.

(c) Γdoit passer par le pointM où on calcule le champ magnétiqueB.

En se basant sur l’analyse vectorielle, les équations fondamentales décrivant la lois de la magnéto- statique peuvent être obtenues. Ces équations sont données par

d i v→−

B = 0

−−→r ot→−

B = µ0→− J .

1.3.3 Correspondance entre l’électrostatique et la magnétostatique

Après avoir examiné les équations précédentes, on peut présenter dans le tableau suivant mon- trant une correspondance entre l’electrostatique et la magnétostatique

(17)

Électrostatique magnétostatique Chargeq Courantj

E →−

B

²10 µ0

d i v−→

E =²ρ0 d i v→− B =0

−−→r or−→ E =−→

0 −−→

r ot→−

B =µ0→− J Loi de Coulomb Loi de Biot et Savart Théorème de Gauss Théorème d’Ampère Potentiel scalaireV Potentiel vecteurA

E = −−−−−→

g r adV −→

B =−−→

r ot→− A

Table 1.1 – Correspondance entre l’electrostatique et la magnétostatique.

1.4 Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques

Une densité de charges électriques, ou une densité de courant, constitue une source de champ électrique et de champ magnétique, or une source électromagnétique. Ainsi, les champs physiques coexistent toujours en régime variable, et on dit qu’ils constituent un champ électromagnétique.

Maxwell a résumé les propriétés générales d’un champ électromagnétique dans le vide par quatre équations différentielles aux dérivées partielles qu’on désigne par les équations de Maxwell. En gé- néral, ces équations se divisent en deux catégories :

1. deux équations à la divergence qui ne couplent pas les champsE etB. 2. deux équations au rotationnel qui couplentE etB.

En effet, Maxwell a profondi les idées de Faraday et montre que toute variation du champ magnétique peut créer un champ électrique. À cause de problèmes liés aux condensateurs, il a modifié les deux équations fondamentales des régimes statiques données en fonction du rotationnel. Les équations de Maxwell dans le vide, qui s’écrivent en fonction des grandeurs vectorielles E(M,t), B(M,t),

j (M,t)et le scalaireρ(M,t), sont présentées dans le tableau 1.2.

Équation Forme locale Forme intégrale

Maxwell-Gauss d i v→−

E =ερ0 Î

S

E.−→

dS=Qεi nt0 Maxwell-Thomson d i v−→

B =0 Î

S

B.−→

dS=0 Maxwell-Faraday −−→r ot−→

E = −∂tB H

C

E.−→

d`= −d td Ò

S

B.−→

d S Maxwell-Ampère −−→r ot−→

B =µ0−→

j +µo²0

∂tE

H

C

B.−→

d`

Sµ0(→−

j +²0

∂tE ).−→

dS

Table 1.2 – Équations de Maxwell.

Remarques

1. Ces équations constituent les équations fondamentales de l’électromagnétisme traitant les particules chargés (électrons, protons, ....).

2. Elles montrent également que les champsE etB sont couplés.

(18)

3. Pour retrouver les équations fondamentales de l’électrostatique et de la magnétostatique, on prend la limite suivante

→− E

∂t =→−

0 , −→ B

∂t =−→

0 . (1.45)

4. On rappelle que le courant lié au mouvement des charges électriques est noté par I. En revanche, le courant de déplacement qui correspond à un champ électrique variable est noté parID. Sa densité est donnée par

−→ jD=²0

→− E

∂t . (1.46)

Les équations de Maxwell dans le vide, sans charges ni source, d i v−→

E =0, d i v→−

B =0, (1.47)

−−→r ot−→ E =−→

0 , d i v−→

B =µ0−→

j (1.48)

conduisent à des équations d’onde (équations de propagation) du champ électromagnétique dans le vide. Il s’agit des équations aux dérivées partielles qui mettent en relation la variation spatiale et la variation temporelle du champ électromagnétique. Ces équations se déduisent des équations différentielles de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère par une démarche qui consiste á éliminer l’un des deux champs. Quant au champ électrique, on trouve

∆→− E²0µ0

2−→ E

∂t2 =→−

0 . (1.49)

Cette équation se décompose comme suit (uniquement en coordonnées cartésiennes)

Ex,x y,z²0µ0

2Ex,y,z

∂t2 =0. (1.50)

De la même façon, on obtient l’équation différentielle qui exprime l’équation d’onde du champ ma- gnétique dans le vide

Bx,x y,z²0µ0

2Bx,y,z

∂t2 =0. (1.51)

Ces deux équations montrent que les composantes(Ei,Bi)du champ électromagnétique(−→ E,→−

B)dans un système de coordonnées obéissent à une même équation d’onde de la forme

∆Ψ− 1 c2

2Ψ

∂t2 =0, Ψ=Ei,Bi, ... (1.52)

Cette équation différentielle présente le champ électromagnétique comme une onde se propageant

(19)

dans le vide avec la vitesse c= 1

p²0µ0≈ 1 q10−10

36π 4π107

ms−1=299 792 458ms−13×108ms−1. (1.53)

La solution de ces équations sont des ondes electromagnétiques monochromatiques. En admettant que la direction de l’onde est quelconque, dans la direction du vecteur unitaireu, le champ électro- magnéetique peut s’écrire comme suit

E =→−

E0cos(→−

k→−rw t), →− B =→−

B0cos(−→

k→−rw t) (1.54)

k =k−→u (u vecteur unitaire donnant le sens de propagation) est le vecteur d’onde etr =−−→

OM est le vecteur position (O, origine du repère etM le point d’observation).west la pulsation associée.

(20)

CHAPITRE 2

MILIEUX DIÉLECTRIQUES ET AIMANTÉS

2.1 Généralités

La matière est constituée d’un ensemble d’atomes et se présente dans l’un des trois (quatre) états physiques : solide, liquide ou gaz (plasma). À l’état solide de la matière, les atomes sont conden- sés et figés par des liaisons chimiques. À l’état liquide, ils sont condensés mais non figés. Dans un gaz, les atomes évoluent librement en occupant tout le volume disponible.

Il est à noter qu’un atome de numéro atomiqueZ possède un noyau portant la charge élec- trique positive +Z e, où e est la charge électrique élémentaire. La charge électrique positive de l’atome lui permet de s’approprier un nombre Z d’électrons de charge (−e) chacun. L’atome pré- sente ainsi dans son état naturel avec une charge électrique globale nulle. Les électrons liés à un atome évoluent autours du noyau de ce dernier dans des domaines appelés orbitales atomiques. En effet, chaque orbitale atomique se caractérise par une forme géométrique et un rayon moyen. Les électrons qui évoluent dans les orbitales périphériques (externes) de l’atome constituent la couche de valence.

On appelle milieu matériel tout espace renfermant de la matière. Quand on applique un champ électromagnétique à un milieu matériel, sa structure électronique est sollicitée par des forces élec- tromagnétiques de Lorentz. Cette sollicitation génère généralement, dans le milieu, des dipôles élec- triques et magnétiques. La structure atomique du milieu se transforme alors en une source élec- tromagnétique secondaire qui contribue dans la valeur du champ électromagnétique dans le milieu matériel. Effectivement, le milieu présente une permittivité électrique, ou une perméabilité magné- tique, différente de celle du vide.

2.1.1 Milieux diélectriques

Les diélectriques sont des milieux isolants et neutres. Ils sont constitués d’atomes ou de mo- lécules autours desquels gravitent des électrons. Ces derniers qui ne peuvent pas quitter les atomes

(21)

sont appelées charges liées. Il est à noter que les diélectriques ne possèdent pas de charges libres contrairement aux conducteurs. En présence d’un champ électrique externe, les seuls mouvements possibles sont de minuscules déplacements en sens contraires des charges négatives (électrons) et des charges positives (protons). Nous rappelons que ces déplacements sont très faibles par rapport aux dimensions atomiques (moins deÅ). De tels déplacements induisent des dipôles électriques in- duits au sein du diélectrique. Par conséquent, un diélectrique se comporte comme un ensemble de dipôles éctriques qui s’orientent dans le sens du champ éelectrique extérieur. En d’autres termes le diélectrique est polarisé par le champ électrique. Généralement, on distingue deux types de diélec- trique : diélectrique polaire, diélectrique non polaire

2.1.1.1 Diélectrique polaire

Il s’agit de milieux qui possèdent une polarisation permanente, par exemple la molécule H2O.

Dans ce genre de matériaux, les dipôles éctriques ont tendance à s’aligner avec un champ électrique externe. Par conséquent, l’alignement se produit mécaniquement, à cause du couple de force élec- trostatique qui agit sur le dipôle.

2.1.1.2 Diélectrique non polaire

En absence de champ électrique externe, ces matériaux ne présentent pas de dipôles perma- nents, par exemple la molécule de CO2. Une polarisation macroscopique du matériau apparait lors- qu’un champ externe est appliqué. En effet, ce champ crée tels dipôles puis les oriente. Cette polari- sation est dite polarisation induite.

2.1.2 Milieux aimantés

Les mouvements orbitaux des électrons autours des atomes sont assimilables à des petites boucles de courant (dipôles magnétiques) donnant ainsi un magnétisme dit "orbital". Il est à noter que chaque électron possède un moment intrinsèque donnant un magnétisme dit de spin. D’un point de vu macroscopique, un milieu aimanté se comporte alors comme une répartition en volume de boucles de courants (dipôles magnétiques) placées dans le vide. Dans ce cas, la polarisation sera remplacée par l’aimantation.

2.2 Étude macroscopique des diélectriques

2.2.1 Vecteur de polarisation

On considère un diélectrique polarisé. On ne se préoccupe pas pour l’instant de la source de la polarisation. Soitp le moment dipolaire moyen par molécule (ou atome ou encore ion). Du point de vue macroscopique, un élément de volumedu diélectrique polarisé est équivalent à un dipôle dont le moment dipolaire d→−p est la somme vectorielle des moments élémentaires des molécules

(22)

contenus dans le volume . On en déduit que, du point de vue macroscopique, un diélectrique polarisé se comporte comme une distribution volumique de dipôles électriques caractéerisée par le vecteur polarisationP (ou la densité volumique de moment électrique dipôlaire) défini par

P =d−→p

. (2.1)

Remarques

— Le vecteur polarisationP est un champ vectoriel qui dépend du milieu et du temps

P =→−

P(→−r ,t). (2.2)

— La dimension physique deP est Coulomb par mètre carré [−→

P]=[−→p][dτ]1=Cm2. (2.3)

2.2.2 Potentiel et champ électrique créés par un diélectrique polarisé en un point extérieur

2.2.2.1 Potentiel électrique

On considère un diélectrique polarisé (neutre) de volumeτdélimité par une surfaceS. On note parP le vecteur polarisation en un pointQ(x0,y0,z0)du diélectrique. Un élément de volumese comporte comme un dipôle élémentaire d−→p =−→P dτ. En exploitant l’expression du potentiel créé

Figure 2.1 – Diélectrique polarisé.

par un dipôle, le potentiel électrique élémentairedV créé en un point éloignéM(x,y,z)(extérieur) s’exprime comme suit

dV = 1 4πε0

d−−−→

p(Q).−−→

Q M

Q M3 , Q M= k−−→

Q Mk, (2.4)

(23)

où le vecteur−−→Q M est donné par

−−→Q M= −→r =

xx0 yy0 zz0

. (2.5)

En utilisant ce vecteur, on peut écrire dV = 1

4πε0

P.→−r

r3 , =d x0d y0d z0. (2.6) On peut montrer les relations suivantes

→∇M

µ1 r

= µ

∂x

ux+

∂y

uy+

∂z

uz

¶ µ1 r

= −

r

r3 (2.7)

→∇Q

µ1 r

= µ

∂x0−→ux+

∂y0→−uy+

∂z0→−uz

¶ µ1 r

=

r

r3. (2.8)

Par conséquent, on a

→∇M

µ1 r

= −−→

Q

µ1 r

. (2.9)

Par substitution, on obtient dV = 1

4πε0

µ−→ P.→−

Q

µ1 r

¶¶

= − 1 4πε0

µ−→ P.→−

M

µ1 r

¶¶

dτ. (2.10)

Le potentiel créé par tout le volumeτdu diélectrique en un pointM(x,y,z)extérieur s’exprime V(M)=

Ñ

τ

1 4πε0

µ−→ P.→−

Q

µ1 r

¶¶

. (2.11)

En utilisant la relation vectorielle suivante d i v³

f→− A´

=f d i v→− A+−→

A−→

∇(f) f =une fonction (champ) scalaire, (2.12) le potentiel électrique prend la forme

V = 1 4πε0

Ñ

τd i v Ã→−

P r

!

+ 1 4πε0

Ñ

τ

Ã

d i v→− P r

!

. (2.13)

En appliquant le théorème de la divergence (théorème de Green-Ostrogradsky) Ñ

τd i v→− A dτ=

Ï

S

A.−→

dS, (2.14)

(24)

Sest la surface délimitant le volumeτ, on obtient le potentiel créé en un point extérieur, par les dipôles du diélectrique polarisé

V(M)= Ï

S

1 4πε0

Ã−→ P.−→

dS r

! +

Ñ

τ

1 4πε0

Ã−d i v−→ P r

!

, (2.15)

−→dS=dS−→n etn est le vecteur unitaire perpondiculaire à la surfaceSet orienté vers l’extérieur du diélectrique.

Remarques

1. Le premier terme est une forme du potentiel produit par une distribution de charge sur la surfaceS, tandis que le second présente un potentiel généré par une distribution de charge en volume.

2. Pour un milieu diélectrique uniformement polarisé (polarisation uniforme), le calcul de- vient simple puisque la polarisationP est indépendante des coordonnées deQ qui sont les variables d’intégration. Dans ce cas particulier, l’expression du potentiel est

V =−→ P.

Ñ

τ

1 4πε0

r

r3=→− P.−→

EI, (2.16)

EI est le champ élétrique créé par une densité de charge volumique unité(ρ=1Cm3) repartie dans le volumeτ.

2.2.2.2 Distribution de charges de polarisation

À l’éxtérieur du diélectrique, le potentiel créé par le diélectrique polarisé est la somme de deux potentiels créés par les deux distributions de charges fictives placées dans le vide

1. une répartition (distribution) volumique de charges ρpol = −d i v−→

P = −∇−→

P (2.17)

2. une répartition (distribution) surfacique de charges σpol =−→

P.−→n. (2.18)

Ces deux répartitions de charge, qui permettent de représenter le matériau diélectrique en électrosta- tique, ne sont pas seulement des charges fictives obtenues avec des équivalences mathématiques. En effet, elles correspondent bien à des densités réelles qui résultent des excédents locaux (en volume et en surface) de charges liées apparues sous l’action de polarisation dans un milieu diélectrique globalement neutre. Elles sont appelées également charges de polarisation. Ces charges sont liées.

(25)

Alors, on peut écrire le potentiel sous la forme suivante Vpol(M)=

Ï

S

σpoldS 4πε0r +

Ñ

τ

ρpol

4πε0r . (2.19)

Remarques

1. On constate que le potentielVpol(M) créé par la polarisation est identique à celui d’une distribution de charges de densité volumiqueρpol et densité surfaciqueσpol.

2. Il est à noter que le diélectrique est globalement neutre. Sa charge électrique totaleQt doit être toujours nulle. Autrement dit, on a la relation suivante

Qt = Ï

Sσpol(t,→−r )dS+ Ñ

τρpol(t,→−r )dτ=0. (2.20) 3. Pour une polarisation uniformeP =−−→

c t e, on a ρpol = −d i v−→

P = −∇−→

P =0, σpol=−→

P.→−n 6=0. (2.21) Dans ce cas particulier, on n’aura que les charges de polarisation de surface.

Considérant un diélectrique chargé par l’apport de charges étrangères à sa structure que l’on appelle charges libres avec des densitésρ` etσ`, le potentiel total s’exprime comme suit

V(M)=Vpol(M)+V`(M)= Ï

S

σpol+σ` 4πε0r dS+

Ñ

τ

ρpol+ρ`

4πε0r . (2.22)

2.2.3 Champ électrique créé par un diélectrique polarisé

Le champ électrique, en tout point de l’espace, est calculé en fonction du potentielV(M) à travers la relation suivante

E(M)= −−−−−→

g r adV(M). (2.23)

Pour une densité de charges liées, le champ électriqueEpol(M)à l’extérieur du diélectrique est alors donné par l’expression suivante

Epol(M)= µÏ

S

σpold S 4πε0r2+

Ñ

τ

ρpol 4πε0r2

¶−→ur, −→ur=

r

r . (2.24)

En introduisant des charges libres dans le diélectrique, l’expression deE(M)devient

E(M)=→−

Epol(M)+→−

E`(M)= Ï

S

¡σpol+σ`¢ dS 4πε0r2

ur+ Ñ

τ

ρpol+ρ`

4πε0r2 −→ur. (2.25)

(26)

2.2.4 Vecteur déplacement électrique ou excitation électrique

On onsidère des diélectriques polarisés qui contiennent des charges libres(ρ`). En admettant cette situation, la forme locale du théorème de Gauss est décrite par l’équation suivante

d i v→−

E(M)=ρt

²0

=ρpol+ρ`

²0

. (2.26)

En exploitant le vecteur poloration (d i v→−

P =ρpol), cette forme locale devient

²0d i v→−

E(M)+d i v→−

P(M)=ρ`. (2.27)

Un nouveau champD(M)s’introduit naturellement tel que

D(M)=²0−→

E(M)+−→

P(M). (2.28)

En utilisant ce champ vectorielD, le théorème de Gauss peut se mettre sous la forme locale suivante d i v−→

D(M)=ρ`. (2.29)

Il est à noter que l’équation de Maxwell-Gauss vérifiée par le champD a alors la même forme que celle vérifiée par²0−→

E dans le vide, en présence des seules sources libresρ`. Remrques

1. D est appelé vecteur déplacement électrique (ou induction électrique).

2. Les relations précédentes indiquent la dimension physique deD est Coulomb par mètre carré

[→−

D]=[²−→ E +→−

P]=[→−

P]≡Cm−2. (2.30)

3. En appliquant le théorème de la divergence, on obtient la forme intégrale du théorème de Gauss

Ï

S

D−→

dS= Ñ

τd i v−→

D dτ=Q`, (2.31)

Q`est la charge libre contenue dans la surface ferméeS. En d’autres termes, le flux du vecteur déplacementD à travers une surface ferméeS est égal à la somme des charges libres contenues à l’intérieur de cette surface.

4. Les formules précédentes ne contiennent que les charges libres et leurs densités, c’est l’avan- tage que procure l’introduction du vecteur inductionD.

5. Pour un diélectrique polarisé et non chargé (σ`=0etρ`=0), le champD est à flux conser- vatif

d i v→−

D=0. (2.32)

(27)

2.2.5 Conditions de continuité à la surface de séparation

On propose d’étudier le comportement des champs E etD au voisinage d’une surface de séparation (Sp) deux milieux différents. En effet, on considère de deux milieux(1)et(2)portant des densités de charges volumiques libresρ`1 etρ`2. Pour traiter le cas général, on admet que la surface de séparation contient une charge libre surfaciqueσ`.

2.2.5.1 Comportements de la composante normale de D~ à la traversée de la surface de séparation

On se place au voisinage de la surface de séparation.

Figure 2.2 – Comportement de la composante normale deD~. Dans le milieu 1, on a

D1=D1n−→n12+D1t−→t. (2.33) Dans le milieu 2, on écrit

D2=D2n−→n12+D2t−→t. (2.34) Considérons un cylindre élémentaire de bases−→dS1et−→dS2, de surface latérale d−→

SLa et de hauteur h=M1M2.dSindique l’élément de la surface de séparation. On va appliquer le théorème de Gauss sur un cylindre de hauteur h infiniment petite et dont les deux bases ont des surfaces respectives dS1(du côté du milieu (1)) etdS2(du côté du milieu (2)). Ces deux bases sont considérées petites de sorte queD1n etD2n soient constants sur les deux bases. Le flux sortant du vecteurD à travers la surface du cylindre est donné par

φ= Ï

S

D−→

dS= Ï

S1

−→D1(M1)−−→

dS1+ Ï

S2

−→D2(M2)−−→

dS2+φLa=Q`, (2.35) oùQ`est la charge libre contenue dans la surface de Gauss. En développant le calcul, on obtient

φ=→−

D2n−→n12S−→−

D1n→−n12S+φLa=σ`S. (2.36)

(28)

En considérant la limite où h tend vers zéro h→0 (M1,M2)→M ( correpondant à φLa →0), la relation de passage s’écrit pour le vecteurD à la traversée de la surface du diéletrique sous la forme suivante

³−→ D2−→−

D1´

.−→n12=σ`. (2.37)

Remarques

1-À la surface de séparation, la composante normale deDest discontinue s’il y a présence de charges libres de surface(σ`6=0)

D2n6=D1n. (2.38)

2-Cette composante devient continue si la surface de séparation est non chargée(σ`=0)

D2n=D1n. (2.39)

3- En combinant les relations deE etD, on obtient

E2nE1n=σ`+σpol

²0

, (2.40)

où on a utilisé la propriété de superposition

σpol =σpol1+σpol2=→−

P1.→−n12+→−

P2.(−−→n12). (2.41)

2.2.5.2 Composante tangentielle du champ électrique

Calculons la circulation du champ électrique~E le long d’une courbe élémentaire fermée orien- téeΓ=ABC D A, rectangulaire de cotés parallèles et perpendiculaires à la surface de séparationSp.

Figure 2.3 – Comportement de la composante tangentielle deE~. En régime permanent, on a

−−→r ot−→ E =−→

0 . (2.42)

En appliquant le théorème de Stockes, la circulation du champE le long du contour rectangulaire s’écrit

Ï

S

−−→r ot−→ E =

Z

Γ

E−→

d`=0, (2.43)

(29)

Sest une surface qui est délimitée parΓ. En développant le calcul, on obtient Z

Γ

E−→

d`= Z

AB

−→ E1−−→

d`1+ Z

C D

−→ E2−−→

d`2+ Z

BC

E.−→

d`+ Z

D A

E.−→

d`=0. (2.44)

En tendantD AetBC vers zéro, on arrive à Z

Γ

E−→

d` = Z

AB

−→ E1−−→

d`1+ Z

C D

−→ E2−−→

d`2 M1,M2M (2.45)

= E1tLE2tL (2.46)

= 0, (2.47)

où on a utiliéL=AB=C D. En définitive, on trouve

E1t=E2t. (2.48)

Remarques

1. À la surface de séparationS(chargé ou non), la composante tangenetielle du champ élec- triqueE est continue.

2. Une autre écriture équivalente, souvent utilisée, est donnée par

³−→ E2−−→

E1´ .−→

t =0, ³−→ E2−−→

E1´

∧ −→n12=0. (2.49)

2.3 Propriétés des milieux diélectriques

La polarisationP présente la réponse d’un diélectrique à un champ extérieurE. De façon générale,P etE ne sont pas forcément parallèles. En effet, les composantes deP s’écrivent comme suit

Pi=

3

X

i,k=1

αi kEk. (2.50)

αi k est une quantité bivectorielle physique qui peut dépendre du pointM(x,y,z)et du champ élec- triqueE =(Ex,Ey,Ez)

αi k=αi k(M,k−→

Ek). (2.51)

2.3.1 Milieu linéaire

La réponse du milieu est linéaire si (en chaque point du milieu) chaque composante (carté- sienne) du vecteur polarisationP est une forme linéaire des composantes du vecteur champ élec- trique au point considéré

∂α

∂E =0. (2.52)

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