UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat
Année 2019–2020
Calcul intégrales et formes di¤érentielles.
SMA4/M21
Corrigé EX:5-6. SERIE-3
a) Puisque les fonctions
P(x; y) = sin4(x) +e2x; Q(x; y) = cos3(y) ey
ont des dérivées partielles;
@P
@x(x; y) = 4 cos(x) sin3(x)+2e2x; @P
@y(x; y) = 0 = @Q
@x(x; y); @Q
@y(x; y) = 3 sin(x) cos2(y) ey;
qui sont continues sur la surface D délimitée par la courbe fermée C d’équation : x4+y4 = 16.
D’après le théorème de Green-Riemann dans le plan, on a:
R
CP(x; y)dx+Q(x; y)dy= ZZ
D
(@Q@x(x; y) @P@y(x; y))dA= ZZ
D
0dA= 0:
Ce résultat con…rme le théorème (15) d’indépendance du cours
En e¤et, le champ de vecteurs(sin4(x) +e2x; Q(x; y) = cos3(y) ey) dérive d’un potentiel f; et la courbe C est fermée, par conséquent:
R
CP(x; y)dx+Q(x; y)dy =f(A) f(A) = 0:
b) Puisque les fonctions;
P(x; y) = xx22+1y ; Q(x; y) = arctan(x)
ont des dérivées partielles continues sur la surface Ddélimitée par la courbe fermée : C: 4x2+ 25y2 = 100.
De plus,
@Q
@x(x; y) = 1
x2+ 1 = @P
@y(x; y) D’après le théorème de Green-Riemann dans le plan, on a:
R
CP(x; y)dx+Q(x; y)dy= ZZ
D
(@Q@x(x; y) @P@y(x; y))dA= ZZ
D
0dA= 0:
c) Puisque les fonctions;
1
P(x; y) = ex x2y; Q(x; y) = 3x2y
ont des dérivées partielles continues sur la surface Ddélimitée par la courbe fermée : y=x2,x=y2.
De plus,
@Q
@x(x; y) = 6xy;@P
@y(x; y) = x2 D’après le théorème de Green-Riemann dans le plan, on a :
R
CP(x; y)dx+Q(x; y)dy = ZZ
D
(@Q@x(x; y) @P@y(x; y))dA= ZZ
D
(6xy+x2)dA:
Les deux courbes y=x2,x=y2s’intersectent aux points (0;0);(1;1):
Donc, le domaineD=f(x; y)=0 x 1; x2 y p xg: ZZ
D
(6xy+x2)dA=R1 0
Rpx
x2 (6xy+x2)dydx=R1
0[3xy2+x2y]
px x2 dx ZZ
D
(6xy+x2)dA=R1
0(3x2+x2p
x 3x5 x4)dx ZZ
D
(6xy+x2)dA=h
x3+ 27x72 12x6 15x5i1 0
= 4170:
d) D’après le théorème de Green-Riemann dans le plan, on a : R
C(2xy)dx+ (y2)dy = ZZ
D
(@y@x2 @2xy@y )dA= ZZ
D
(0 2x))dA:
Les deux courbes y= x
2; y =p
xs’intersectent aux points (0;0);(4;1):
Donc, le domaineD= (x; y)=0 x 4;x2 y p x : ZZ
D
( 2x)dA =R4 0
Rpx
x 2
( 2x)dydx =R4
0 [2xy]pxx
2 dx
ZZ
D
( 2x)dA=R4 0(2xp
x+x)dx ZZ
D
( 2x)dA=h
4
5x52 + x33i4 0
= 6415:
Indications : Devoir.
2
EX2 :
1) Utiliser le théorème 14 page 45.
2) utiliser le théorème 15 page 49, fermée.
EX3 :
1) Déterminer l’intersection entre les deux cercles d’équations:
x2+y2 y= 0 et x2+y2 x= 0.
Tracer les deux cercles pour déterminer D:
Utiliser le changement de variables ( pages 61-62) x=rcos ; y =rsin pour calculer l’intégrale.
2) Déterminer l’intersection entrer les deux paraboles:
x= y22 4 etx= y224: Tracer les deux paraboles pour déterminer P:
P est un domaine régulier. Utiliser le théorème 19 page 57.
Remarquer qu’on a une symétrie pour calculer yG (Exemples54-55, page 56).
EX4 :
1) Utiliser le changement de variables
x=arcos ; y =brsin .
Voir aussi exemple 73, page 75 pour une autre méthode, en remplaçant 1 parR2 dans l’équation de l’ellipse.
2) Utiliser le changement de vaiables:
x=a q
1 + z22 cos , y=b q
1 + z22 cos ; z =z:
En utilisant le théorème 27 page 80, vous pouvez aussi remarquer que V =R2
1( aire de l’ellipse xa22 + yb22 1 + Zb22)dz:
3) Utiliser les coordonnées cylindriques page 100.
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