Table 1.1 – Correspondance entre l’electrostatique et la magnétostatique.
1.4 Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques
Une densité de charges électriques, ou une densité de courant, constitue une source de champ électrique et de champ magnétique, or une source électromagnétique. Ainsi, les champs physiques coexistent toujours en régime variable, et on dit qu’ils constituent un champ électromagnétique.
Maxwell a résumé les propriétés générales d’un champ électromagnétique dans le vide par quatre équations différentielles aux dérivées partielles qu’on désigne par les équations de Maxwell. En gé-néral, ces équations se divisent en deux catégories :
1. deux équations à la divergence qui ne couplent pas les champs−→E et−→B. 2. deux équations au rotationnel qui couplent−→E et→−B.
En effet, Maxwell a profondi les idées de Faraday et montre que toute variation du champ magnétique peut créer un champ électrique. À cause de problèmes liés aux condensateurs, il a modifié les deux équations fondamentales des régimes statiques données en fonction du rotationnel. Les équations de Maxwell dans le vide, qui s’écrivent en fonction des grandeurs vectorielles −→E(M,t), −→B(M,t),
−
→j (M,t)et le scalaireρ(M,t), sont présentées dans le tableau 1.2.
Équation Forme locale Forme intégrale
Maxwell-Gauss d i v→−
Table 1.2 – Équations de Maxwell.
Remarques
1. Ces équations constituent les équations fondamentales de l’électromagnétisme traitant les particules chargés (électrons, protons, ....).
2. Elles montrent également que les champs−→E et−→B sont couplés.
3. Pour retrouver les équations fondamentales de l’électrostatique et de la magnétostatique, on prend la limite suivante
∂→−
4. On rappelle que le courant lié au mouvement des charges électriques est noté par I. En revanche, le courant de déplacement qui correspond à un champ électrique variable est noté parID. Sa densité est donnée par
Les équations de Maxwell dans le vide, sans charges ni source, d i v−→
conduisent à des équations d’onde (équations de propagation) du champ électromagnétique dans le vide. Il s’agit des équations aux dérivées partielles qui mettent en relation la variation spatiale et la variation temporelle du champ électromagnétique. Ces équations se déduisent des équations différentielles de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère par une démarche qui consiste á éliminer l’un des deux champs. Quant au champ électrique, on trouve
∆→−
Cette équation se décompose comme suit (uniquement en coordonnées cartésiennes)
∆Ex,x y,z−²0µ0
∂2Ex,y,z
∂t2 =0. (1.50)
De la même façon, on obtient l’équation différentielle qui exprime l’équation d’onde du champ ma-gnétique dans le vide
∆Bx,x y,z−²0µ0
∂2Bx,y,z
∂t2 =0. (1.51)
Ces deux équations montrent que les composantes(Ei,Bi)du champ électromagnétique(−→ E,→−
B)dans un système de coordonnées obéissent à une même équation d’onde de la forme
∆Ψ− 1 c2
∂2Ψ
∂t2 =0, Ψ=Ei,Bi, ... (1.52)
Cette équation différentielle présente le champ électromagnétique comme une onde se propageant
dans le vide avec la vitesse c= 1
p²0µ0≈ 1 q10−10
36π 4π10−7
ms−1=299 792 458ms−1≈3×108ms−1. (1.53)
La solution de ces équations sont des ondes electromagnétiques monochromatiques. En admettant que la direction de l’onde est quelconque, dans la direction du vecteur unitaire→−u, le champ électro-magnéetique peut s’écrire comme suit
−
→E =→−
E0cos(→−
k→−r −w t), →− B =→−
B0cos(−→
k→−r −w t) (1.54)
où→−k =k−→u (→−u vecteur unitaire donnant le sens de propagation) est le vecteur d’onde et−→r =−−→
OM est le vecteur position (O, origine du repère etM le point d’observation).west la pulsation associée.
CHAPITRE 2
MILIEUX DIÉLECTRIQUES ET AIMANTÉS
2.1 Généralités
La matière est constituée d’un ensemble d’atomes et se présente dans l’un des trois (quatre) états physiques : solide, liquide ou gaz (plasma). À l’état solide de la matière, les atomes sont conden-sés et figés par des liaisons chimiques. À l’état liquide, ils sont condenconden-sés mais non figés. Dans un gaz, les atomes évoluent librement en occupant tout le volume disponible.
Il est à noter qu’un atome de numéro atomiqueZ possède un noyau portant la charge élec-trique positive +Z e, où e est la charge électrique élémentaire. La charge électrique positive de l’atome lui permet de s’approprier un nombre Z d’électrons de charge (−e) chacun. L’atome pré-sente ainsi dans son état naturel avec une charge électrique globale nulle. Les électrons liés à un atome évoluent autours du noyau de ce dernier dans des domaines appelés orbitales atomiques. En effet, chaque orbitale atomique se caractérise par une forme géométrique et un rayon moyen. Les électrons qui évoluent dans les orbitales périphériques (externes) de l’atome constituent la couche de valence.
On appelle milieu matériel tout espace renfermant de la matière. Quand on applique un champ électromagnétique à un milieu matériel, sa structure électronique est sollicitée par des forces tromagnétiques de Lorentz. Cette sollicitation génère généralement, dans le milieu, des dipôles triques et magnétiques. La structure atomique du milieu se transforme alors en une source élec-tromagnétique secondaire qui contribue dans la valeur du champ élecélec-tromagnétique dans le milieu matériel. Effectivement, le milieu présente une permittivité électrique, ou une perméabilité magné-tique, différente de celle du vide.
2.1.1 Milieux diélectriques
Les diélectriques sont des milieux isolants et neutres. Ils sont constitués d’atomes ou de mo-lécules autours desquels gravitent des électrons. Ces derniers qui ne peuvent pas quitter les atomes
sont appelées charges liées. Il est à noter que les diélectriques ne possèdent pas de charges libres contrairement aux conducteurs. En présence d’un champ électrique externe, les seuls mouvements possibles sont de minuscules déplacements en sens contraires des charges négatives (électrons) et des charges positives (protons). Nous rappelons que ces déplacements sont très faibles par rapport aux dimensions atomiques (moins deÅ). De tels déplacements induisent des dipôles électriques in-duits au sein du diélectrique. Par conséquent, un diélectrique se comporte comme un ensemble de dipôles éctriques qui s’orientent dans le sens du champ éelectrique extérieur. En d’autres termes le diélectrique est polarisé par le champ électrique. Généralement, on distingue deux types de diélec-trique : diélecdiélec-trique polaire, diélecdiélec-trique non polaire
2.1.1.1 Diélectrique polaire
Il s’agit de milieux qui possèdent une polarisation permanente, par exemple la molécule H2O.
Dans ce genre de matériaux, les dipôles éctriques ont tendance à s’aligner avec un champ électrique externe. Par conséquent, l’alignement se produit mécaniquement, à cause du couple de force élec-trostatique qui agit sur le dipôle.
2.1.1.2 Diélectrique non polaire
En absence de champ électrique externe, ces matériaux ne présentent pas de dipôles perma-nents, par exemple la molécule de CO2. Une polarisation macroscopique du matériau apparait lors-qu’un champ externe est appliqué. En effet, ce champ crée tels dipôles puis les oriente. Cette polari-sation est dite polaripolari-sation induite.
2.1.2 Milieux aimantés
Les mouvements orbitaux des électrons autours des atomes sont assimilables à des petites boucles de courant (dipôles magnétiques) donnant ainsi un magnétisme dit "orbital". Il est à noter que chaque électron possède un moment intrinsèque donnant un magnétisme dit de spin. D’un point de vu macroscopique, un milieu aimanté se comporte alors comme une répartition en volume de boucles de courants (dipôles magnétiques) placées dans le vide. Dans ce cas, la polarisation sera remplacée par l’aimantation.