UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat
Année 2019–2020
Calcul intégrales et formes différentielles.
SMA/M21
Indications des exercices 1, 2, 3 et 4 (a) de la Série # 2
Exercice I.
(a)
∫ 3
−1
∫ 3y 0
(x2+y2)dxdy =
∫ 3
−1
∫ 3y 0
(x2+y2)dxdy
=
∫ 3
−1
[(3y)3 3 + 3y3
] dy
=
∫ 3
−1
12y3dy=[ 3y4]3
−1= 240.
(b)
∫ π
9
0
∫ 3r
π 4
dθdr cos2(θ) =
∫ π
9
0
(∫ 3r
π 4
dθ cos2(θ)
) dr
=
∫ π9
0
[tan(θ)]3rπ 4 dr
=
∫ π
9
0
(tan(3r)−1)dr
= [−1
3 ln|cos(3r)| −r ]π9
0
= 1
3ln(2)−π 9. (c) SoitS la région bornée pary=x2 ety=√
xavecx∈[0,1].
∫ ∫
S
(x2+ 2y)dA =
∫ 1 0
∫ √x x2
(x2+ 2y)dydx
=
∫ 1 0
(x2(√
x−x2) +x−x4)
dx=27 70. (d) Le domaine de l’intégration :
1
∫ 1 0
∫ 1 x
y
x2+y2dydx=
∫ 1 0
1
2[ln(x2+y2)]1xdx= 1 2
∫ 1 0
ln
(x2+ 1 2x2
) dx= π
4. Notez que la dernière intégrale est obtenue en utilisant l’intégration par parties.
Exercice II
(a)
∫ 1 0
∫ 1 x
y
x2+y2dydx =
∫ 1 0
1
2[ln(x2+y2)]1xdx
= 1 2
∫ 1 0
ln
(x2+ 1 2x2
) dx=π
4.
(b) SoitD la région bornée par les cerclesx2+y2= 1etx2+y2= 9,alors
∫ ∫
D
ex2+y2dA =
∫ 3 1
∫ 2π 0
rer2drdθ
= (e9−e)π.
(c)
∫ +∞ 0
∫ +∞ 0
dxdy
(1 +x2+y2)2 =
∫ π
2
0
∫ +∞ 0
r
(1 +r2)2drdθ
= π
2
[ −1 2(1 +r2)
]+∞ 0
= π 4.
(d) Soit R la portion de l’anneau définie par1 ≤x2+y2 ≤4, située dans le premier quadrant, sous la droitey=x.On posex=rcos(θ)ety=rsin(θ)
2
alors on auradxdy=rdrdθ.Par conséquent,
∫ ∫
R
y2
x2dxdy =
∫ π4
0
∫ 2 1
rtan2(θ)drdθ
= 3 2
( 1−π
4 )
.
Exercice III.
(a)
∫ 4π3
3π 4
∫ cos(θ)−5
0
r3sin2(θ)drdθ =
∫ 4π3
3π 4
∫ cos(θ)−5
0
(rsin(θ))2 rdrdθ
=
∫ 0
−5
∫ −x
√3x
y2dydx= 652
12(1 + 3√ 3).
(b) On a
0≤r≤sin(θ)≤1, θ∈[ 0,π
2
]⇐⇒ π
2 ≥θ≥arcsin(r)≥0
Donc ∫ π2
0
∫ sin(θ) 0
sin(θ)drdθ=
∫ 1 0
∫ π2
arcsin(r)
sin(θ)dθdr.
Pour l’évaluation, on a
∫ 1 0
∫ π2
arcsin(r)
sin(θ)dθdr =
∫ 1 0
[−cos(θ)]
π 2
arcsin(r)dr
=
∫ 1 0
√1−r2dr= π 4. (c) Le domaine d’intégration est donné par
3
donc
∫ 1 0
∫ y
−y
f(x, y)dxdy=
∫ 0
−1
∫ 1
−x
f(x, y)dydx+
∫ 1 0
∫ 1 x
f(x, y)dydx
Exercice IV
(a) SoitV le volume du solide borné au dessus par le grapheG1: z= 9−x2−y2 et au dessous par le grapheG2: 1+x2+y2.Les deux graphes s’intersectent au cercle d’équationx2+y2= 4pour lequelz= 5donc
V =
∫ ∫
x2+y2≤4
((9−x2−y2)−(1 +x2+y2))dA
=
∫ 2π 0
∫ 2 0
((9−r2)−(1 +r2))rdrdθ
=
∫ 2π 0
∫ 2 0
(8r−2r3)rdrdθ
=
∫ 2π 0
[4r2−r4 2
]2 0dθ
=
∫ 2π 0
8dθ= 16π.
4
